重难点01 与四边形有关的7种模型（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

第五章 四边形 重难点01 与四边形有关的7种模型 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 四边形的半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 【命题预测】 这七大模型是中考几何四边形板块的核心考点，覆盖选填基础 / 压轴、解答题中档/压轴全题型，命题以模型识别 + 性质应用 + 构造转化为核心，常结合三角形全等 / 相似、勾股定理、平面直角坐标系、函数综合考查，各地考情略有差异，但正方形半角、翻折、梯子模型是全国中考的高频压轴考点，中点四边形为基础送分必考点， 题型01 垂美模型 垂美四边形定义：对称线互相垂直的四边形为垂美四边形. 已知：四边形ABCD中，，如图1： 结论：（1）; （2） 【典例1】（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是对等垂美四边形，理由见解析 (3)3或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； （2）是，理由如下： 解：连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ∴， 即 在和中， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形 （3）解：当是直角时，点与点重合，如图， ∴点到的距离即为， ∵， ∴点到的距离为3； 当为直角时，如图， ∵，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， ∴， 综上，点到的距离为3或． 【变式1】（2023·河南周口·二模）问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】解：（1）根据，可得和都是等腰直角三角形，则可求得 ，，利用勾股定理可得的长度； （2）由题意可知，，， ，，化简后可得； （3）连接，，易证，可得 可视为绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质知，，得到四边形 为“垂美四边形”．根据， ，，可得，， ，可求得，根据为直角三角形， 为其斜边上的中线，可得． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ． ∴． （2）由题意可知，，， ∴，① ，， ∴，② ∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是 （3）连接，． ∵， ，， ∴． ∴可视为绕点逆时针旋转 后得到的． 由旋转的性质知，． ∴四边形为“垂美四边形”． ∴由（2）知，． 又，， ∴，，． ∴， ∴， ∴ 又为直角三角形，为其斜边上的中线， ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解“垂美四边形”的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2024·山东·中考模拟）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 题型02 中点四边形 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =sABCD 证明： 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=BD ∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=AC ∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=AC ∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=BD ∴EH = FG =BD 则EH+FG= BD 同理EF = GH =AC 则EF+GH=AC ∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC 证明：CEFGH =AC+BD 过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M s▱PHEQ=PQ•MN=AN•BD=•(AN•)= S△ABD 同理s▱PGFQ = S△BCD ∴sEFGH =sABCD 证明：sEFGH =sABCD 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 已知条件 模型 证明过程 特例 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形. 根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形 ∵AC⊥DB ∠DOC=90° ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF ∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 ° ∴四边形EFGH是矩形. 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形. ∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF= ∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG= ∴EF= 同理EH= ∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形. 已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程） ∵AC⊥DB ∴EF⊥EH ∴四边形EFGH是正方形 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 【典例2】（2024·青海·中考真题）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形    【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 【变式2】（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积 ， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 【变式3】（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 题型03 梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型. 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题. 模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°， AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB 最大值. 思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等） ∴OB≤ OP+BP ∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值 OB= OP+BP =AC+= AC+ 即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值. 模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在 边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保 持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时 线段OD 取最大值. 思路：∵OP+PD ≥ OD （三点共线时，取相等） ∴OD≤ OP+PD ∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值 OD= OP+DP =AB+= AB+ 即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值. 【典例3】（2025·山东临沂·二模）矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质，斜边中线的性质．取的中点，连接和，利用直角三角形的性质求得，利用勾股定理求得，得到，当共线时，有最大值，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接和， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接，，，由四边形为矩形，则，又为中点，所以，，通过勾股定理得，因为，所以当三点共线时，最大为，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴当三点共线时，最大为， 如图， 故答案为：． 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，，等边的边长为，点，分别在射线，上滑动，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，勾股定理，取的中点，连接，则，，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，等边的边长为， ∴，， ∴ ∴ ∴ 当在上时，取的最大值为 故选：C． 【变式3】（2025·河北邯郸·一模）如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确；④延长至点，可证，可得④正确； 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图1： ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图1，取的中点为，连接、， ∵， ∴， 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图2： 当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点，如图1， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④ 题型04 正方形半角模型 【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型. 已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则： ①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长 ④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G） ⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点 ⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆 ⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=OP (12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD (14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形 (16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X) 【典例4】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解． 【详解】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取.连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题. 【详解】（1）.证明如下： 由旋转，可知：，，，. ∴点E、B、C共线， ∵， ∴. 在和中， ， ∴. ∴， ∵， ∴； （2）.证明如下： 在上取.连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， ∴点E、D、C共线， 由（1）同理可得， ∴， ∴. 【变式2】（2024·山西·模拟预测）如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【答案】(1)①；详见解析；②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；详见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识： （1）①由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论；②由，得出，那么它们都加上四边形的面积，即可四边形的面积=正方形的面积，从而求出其面积； （2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 【变式3】（2022·山东德州·二模）探究问题： (1)方法探索： 如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证． 根据所给的辅助线并完成证明． (2)方法拓展： 如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想． (3)知识应用： 如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度． 【答案】(1)见解析； (2)当时，结论成立； (3)的长度为． 【分析】(1)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ADEΔABG，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题； (2)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ABGΔADE，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题； (3)过点C作交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得． 【详解】（1）证明：如图①中，延长CB到点G，使BG=DE，连接AG， 四边形ABCD是正方形， AD=AB，， 在△ADE和△ABG中， ， ∴△ADEΔABG(SAS)， AE=AG，， ， ， 在△AEF和GAF中， ， ∴△AEF△AGF(SAS)， ∴EF=FG， FG=BG+BF=DE+BF， ∴EF=DE+BF． （2）当时，结论 EF=DE+BF成立． 理由：如下图，延长CB到点G使BG=DE连接AG， ，， ， 在△ADE和△ABG中， ， △ADE △ABG(SAS)， ， ， ， 在中， ， ∴△AEFΔAGF(SAS)， ， ， ． （3）如下图中，过点C作，交AD的延长线于点G， 由(1)知：DE=DG+BE， 设BE=x，则AE=5-x，DE=x+1， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： ， ， 解得， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定结合求解的综合题，考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 题型05 四边形翻折模型 【解题技巧】翻折问题属于图形变换中的实际问题，在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多.比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角.总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了. 【典例5】（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． (1)【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； (2)【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； (3)【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 【答案】(1) (2)作图见解析，； (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； 延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 【变式1】．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 【变2】（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （3）分两种情况，利用矩形的性质和勾股定理，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； （3）解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形，， ， ， ，， 根据折叠可得，， ， 四边形为矩形， ， 设，则，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 同理可得四边形为矩形，则， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或． 【变式3】（2025·四川·模拟）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．    (1)如图①，当平分时，的度数为______； (2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标； (3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，见解析 【分析】（1）由折叠的性质，平分，可得，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）由轴，为等腰直角三角形，可得，，如图②，连接，则三点共线，是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可； （3）如图③，连接，由折叠、正方形的性质可知，，，证明，则，即，然后作答即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵轴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图②，连接，    ∵正方形，点坐标为， ∴，， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， 由勾股定理得，，即，解得， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图③，连接，    由折叠、正方形的性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长不变． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式4】（2024·河南商丘·二模）在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析；（3）4或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）． 由折叠的性质，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）存在，． 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． （3）4或． 根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为4或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式5】（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)【问题探究】 如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】若，求出的最小值． 【答案】(1)， (2)的面积为定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明，即可得出结论； （2）作于N，证明，得出，即可得出结论； （3）作点C关于的对称点Q，连接，，，利用证明，得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 理由：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：的面积为定值， 理由：作于N， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （3）解：作点C关于的对称点Q，连接，，， 则垂直平分， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题等，将转化为的长是解决第（3）的关键． 【变式6】（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 题型06 十字架模型 【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF=MN 【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直. 【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等. 【典例6】（2025·甘肃张掖·一模）【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）．见解析 （2）．理由见解析 （3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，关键是要能根据题意构造出全等三角形，即作出合适的辅助线，截取等长线段作辅助线是解决此类题型常用的方法． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，连接．再证明．由（1）知，即可得出结论； （3）在上取一点，使，连接，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴， ， ∵正方形， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ； （2）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． ∵正方形， ∴， ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ． 由（1）知， ； （3）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接， 由平行且等于得四边形为平行四边形， 平行且等于． ，． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【变式1】（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： 设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ∴； （3）解：如图，过点F作， ∴， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， ∴, ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 题型07 对角互补模型 【模型介绍】 类型一 90°对角互补模型 如图，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则 ①AD = CD ②AB+BC=BD ③S△ABD+S△BDC=BD2 类型一 120°对角互补模型 如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则 ①CD=CE ②OD+OE=OC ③S△DCO+S△COE= 【典例7】（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点、点，连接（如图），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想：有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明平分． 思路二：如图，延长到点，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图），，． （1）请直接写出 度； （2）经测量，求四边形的面积． 【答案】[验证猜想]，见解析；[拓展应用]（）；（）． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． [验证猜想]根据正方形性质，全等三角形的判定与性质即可求证； [拓展应用]（）直接利用[验证猜想]即可求解； （）过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，由猜想可知平分，然后根据角平分线性质可得，证明，则有，然后得出 四边形是正方形，故有，最后代入求解即可． 【详解】[验证猜想]思路一证明： 如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为， 证明：由题意得 ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分； 思路二证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ 平分； [拓展应用]（）∵，， ∴由猜想可知：平分， ∴， 故答案为：； （）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点， ∵在四边形中，，， 由猜想可知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ． 【变式1】（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解； (2)CB+CD=AC；理由见详解； (3)或 【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论； （2）结论：CB+CD=AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论； （3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．    ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ADC=180°， ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠DAE=∠BAC，AE=AC， ∴∠CAE=∠BAD=60°， ∴△ACE的等边三角形， ∴CE=AC， ∵CE=DE+CD， ∴AC=BC+CD； （2）解：结论：CB+CD=AC． 理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．    ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠CDA+∠CBA=180°， ∵∠ABN+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABN， ∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB， ∴△AMD≌△ANB（AAS）， ∴DM=BN，AM=AN， ∵AM⊥CD，AN⊥CN， ∴∠ACD=∠ACB=45°， ∴AC=CM， ∵AC=AC．AM=AN， ∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL）， ∴CM=CN， ∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC； （3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．    ∵∠CDA=75°，∠ADB=45°， ∴∠CDB=30°， ∵∠DCB=90°， ∴CD=CB， ∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD， ∴OP=OQ， ∴， ∴， ∵AB=AD=，∠DAB=90°， ∴BD=AD=2， ∴OD=． 如图3-2中，当∠CBD=75°时，    同法可证，， 综上所述，满足条件的OD的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式2】（2022·江西萍乡·一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)①；②4 (2)，证明见解析 (3)①见解析；②的值是2或 【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求出答案； ②根据“对补四边形”的定义，可由，得出∠，再运用勾股定理即可得出答案； （2）延长EA至点K，使得，连接BK，依据“对补四边形”的定义，可证明，再证明，从而可证得结论； （3）①过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥AC于点N，则，可证R，进而可证得结论； ②设，可得，再运用面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， 设， 根据“对补四边形”的定义， ， 即， 解得， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． ②在“对补四边形”中，连续， ∵， 则， 在中，， 在中， ∴， 故答案为：4； （2）解：，理由如下： 延长至点，使，连接， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴； （3）（3）①证明：过点作，垂足为，，垂足为，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即与互补， ∴四边形是“对补四边形”； ②由①知四边形是“对补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：或， ∴的值是2或． 【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形判定和性质，准确理解并能够应用新定义“对补四边形”解决问题． 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 2．（2025·山西长治·二模）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定与性质是解题的关键． 先得到四边形为平行四边形，通过证明得到，继而可知四边形为菱形，而可得为等边三角形，则，那么，同理可证明为菱形，且，那么． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ， ∵取边中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理可证明为菱形，且， ∴， 故选：B． 4．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．． 如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E．可证明，则，化简得，而得到，如图：取中点F，连接．则，由勾股定理得，由得当点O、F、D三点共线时，取得最大值即可． 【详解】解：如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E． ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 如图：取中点F，连接． ∴， 在中，根据勾股定理，， 在中，，的最大值为． 故选A． 5．（2025·广东深圳·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长不变，周长为； (4)的长为或． 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． （2）解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含的直角三角形特征、勾股定理、平行四边形性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 6．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)① ；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）①，理由见解析；② 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）①把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．②先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点，、共线， 则，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：，； （2）当时，，理由如下： 如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，， ，， ， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即； 故答案为：； （3）①，理由如下： 把旋转到的位置，连接，，如图，则，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， ②，，， ， ， ∵， 的边上的高为， ． 1．（2023·江苏扬州·模拟预测）【问题情境】：如图，在中，，于，，，求的长． 【问题解决】小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点，设为，在中运用勾股定理，可以求出的长．    （1）说明四边形是正方形； （2）求出的长． 【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题： （3）如图，四边形中，，，，，求的最大值． （4）如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值为 （直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最大值为；（4） 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，，，，可证四边形是正方形； （2）由正方形的性质可得，，由勾股定理可求解； （3）将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，由折叠的性质可求，当，，三条线段共线时，有最大值为，即可求解； （4）由折叠的性质可得，，，，，，可求，当，，三条线段共线时，有最大值． 【详解】解：（1）将沿着翻折得到，将沿着翻折得到， ，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）设， 四边形是正方形， ，， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； （3）如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ，，，，， ， ， ， ，，， ， 当，，三条线段共线时，有最大值， 则的最大值； （4）如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，   ，，，，，， ， ， ， ， 当，，三条线段共线时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，利用折叠的性质添加辅助线是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．    观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____； 问题探究： （2）如图2，若，，，求的长； 拓展延伸： （3），，若F为的三等分点，请求出的长． 【答案】（1）45，（2）（3）9或 【分析】（1）根据折叠重合部分全等得到角度关系求出即可；设长度利用直角三角形勾股定理列方程即可． （2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其边长特点进行计算即可； （3）构造矩形，根据两个共边直角三角形设元列方程进行计算即可，但要区分三等分点的位置分别计算． 【详解】由折叠可知，， ， 矩形， ， ， 设， 则， ， ， 中， ， 解得， 故； 故答案为：； （2）延长交于K，    由折叠可知，，，， 又，， 为等腰直角三角形， ， ， 由得为等腰直角三角形， ， ， ； （3）过F做的垂线交于点I，连接，    由得四边形为矩形， 中，，中，， ， 当点F是靠近D的三等分点时， ，， 设，则，， 由得， 解得， 当点F是靠近A的三等分点时， ，， 设，则，， 由得， 解得， ． 综上，的长为9或． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，包含角度和边长计算，需要根据实际情况寻找直角三角形，利用设元列方程进行求解．通常遇到两个点有垂直折线进行矩形构造来求两点间距离．实际问题中如果遇到特殊角度可利用特殊三角形进行快速求解． 2 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 重难点01 与四边形有关的7种模型 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 四边形的半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 【命题预测】 这七大模型是中考几何四边形板块的核心考点，覆盖选填基础 / 压轴、解答题中档/压轴全题型，命题以模型识别 + 性质应用 + 构造转化为核心，常结合三角形全等 / 相似、勾股定理、平面直角坐标系、函数综合考查，各地考情略有差异，但正方形半角、翻折、梯子模型是全国中考的高频压轴考点，中点四边形为基础送分必考点， 题型01 垂美模型 垂美四边形定义：对称线互相垂直的四边形为垂美四边形. 已知：四边形ABCD中，，如图1： 结论：（1）; （2） 【典例1】（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【变式1】（2023·河南周口·二模）问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 【变式2】（2024·山东·中考模拟）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 题型02 中点四边形 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =sABCD 证明： 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=BD ∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=AC ∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=AC ∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=BD ∴EH = FG =BD 则EH+FG= BD 同理EF = GH =AC 则EF+GH=AC ∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC 证明：CEFGH =AC+BD 过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M s▱PHEQ=PQ•MN=AN•BD=•(AN•)= S△ABD 同理s▱PGFQ = S△BCD ∴sEFGH =sABCD 证明：sEFGH =sABCD 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 已知条件 模型 证明过程 特例 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形. 根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形 ∵AC⊥DB ∠DOC=90° ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF ∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 ° ∴四边形EFGH是矩形. 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形. ∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF= ∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG= ∴EF= 同理EH= ∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形. 已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程） ∵AC⊥DB ∴EF⊥EH ∴四边形EFGH是正方形 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 【典例2】（2024·青海·中考真题）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【变式2】（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【变式3】（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 题型03 梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型. 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题. 模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°， AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB 最大值. 思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等） ∴OB≤ OP+BP ∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值 OB= OP+BP =AC+= AC+ 即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值. 模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在 边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保 持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时 线段OD 取最大值. 思路：∵OP+PD ≥ OD （三点共线时，取相等） ∴OD≤ OP+PD ∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值 OD= OP+DP =AB+= AB+ 即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值. 【典例3】（2025·山东临沂·二模）矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，，等边的边长为，点，分别在射线，上滑动，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【变式3】（2025·河北邯郸·一模）如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型04 正方形半角模型 【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型. 已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则： ①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长 ④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G） ⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点 ⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆 ⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=OP (12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD (14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形 (16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X) 【典例4】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【变式3】（2022·山东德州·二模）探究问题： (1)方法探索： 如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证． 根据所给的辅助线并完成证明． (2)方法拓展： 如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想． (3)知识应用： 如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度． 题型05 四边形翻折模型 【解题技巧】翻折问题属于图形变换中的实际问题，在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多.比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角.总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了. 【典例5】（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． (1)【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； (2)【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； (3)【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 【变式1】．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【变2】（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【变式3】（2025·四川·模拟）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．    (1)如图①，当平分时，的度数为______； (2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标； (3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由． 【变式4】（2024·河南商丘·二模）在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 【变式5】（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)【问题探究】 如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】若，求出的最小值． 【变式6】（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 题型06 十字架模型 【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF=MN 【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直. 【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等. 【典例6】（2025·甘肃张掖·一模）【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 【变式1】（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【变式3】（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 题型07 对角互补模型 【模型介绍】 类型一 90°对角互补模型 如图，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则 ①AD = CD ②AB+BC=BD ③S△ABD+S△BDC=BD2 类型一 120°对角互补模型 如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则 ①CD=CE ②OD+OE=OC ③S△DCO+S△COE= 【典例7】（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点、点，连接（如图），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想：有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明平分． 思路二：如图，延长到点，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图），，． （1）请直接写出 度； （2）经测量，求四边形的面积． 【变式1】（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 【变式2】（2022·江西萍乡·一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．（2025·山西长治·二模）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 4．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 6．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 8．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 1．（2023·江苏扬州·模拟预测）【问题情境】：如图，在中，，于，，，求的长． 【问题解决】小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点，设为，在中运用勾股定理，可以求出的长．    （1）说明四边形是正方形； （2）求出的长． 【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题： （3）如图，四边形中，，，，，求的最大值． （4）如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值为 （直接写出结果） 2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．    观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____； 问题探究： （2）如图2，若，，，求的长； 拓展延伸： （3），，若F为的三等分点，请求出的长． 6 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $