第三单元：运算律（知识清单）数学人教版四年级下册

该小学数学单元复习讲义系统梳理了人教版四年级下册第三单元“运算律”内容，涵盖加法交换律结合律、减法性质、乘法交换律结合律分配律及除法性质等核心知识，构建了从知识梳理到典例分析再到变式练习的递进式学习支架。 清单以“知识点分类+易错点警示+考点分层”呈现知识体系，如标注乘法分配律漏乘等5类易错点，结合高斯求和典例培养抽象能力与运算能力，设计“凑整技巧”“符号规则”等实用提示，助力学生系统掌握运算规律，教师可依托分层练习实施精准教学，提升复习实效。

人教版四年级数学下册第三单元：运算律（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：加法运算定律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 用字母表示：a＋b＝b＋a 2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。 用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 作用：可以把两个结合相加的数，凑成整十、整百……使计算更加简便。 3、减法的性质： （1）一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和，也可以交换减数的位置。 用字母表示：a－b－c＝a－（b＋c）＝a－c－b （2）减法的逆运算 a－（b＋c）＝a－b－c 拆括号时，把括号里的加号改成减号。 a－（b－c）＝a－b＋c 拆括号时，把括号里的减号改成加号。 4、加法简便计算技巧 （1）凑整法：找和为整十、整百、整千的数先结合计算。 （2）去括号/添括号规则： ①括号前是“+”，去/添括号后，括号内符号不变。 ②括号前是“−”，添括号后括号内符号要变号。 知识点02：乘法运算律 1、乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b＝b×a 2、乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变 用字母表示：（a×b）×c＝a×﹙b×c﹚ 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 用字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 扩展：（a＋b＋c）×d＝a×d＋b×d＋c×d 4、除法性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的“积”。 简单记为：连续除，除以积。 用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c） 5、乘法简便计算技巧 （1）观察数字特征：优先找25、125、5等特殊数，搭配4、8、2凑整。 （2）去括号/添括号规则：括号前是“÷”，添括号后括号内符号要变号。 （3）逆用运算律：出现相同因数时，逆用乘法分配律提取公因数。 （4）拆分数字：把接近整十、整百的数拆成“整十/百±几”。 【易错点】 （1）乘法分配律漏乘：计算（50+2）×25时，错写成50×25+2，忽略2×25。 （2）去括号/添括号符号错误：把 365−（65+30）错算成365−65+30，忘记变号。 （3）运算律混用：减法用交换律时顺序错误，如100−25−75错写成100−75+25。 （4）凑整误区：乘法凑整时，只看数字忽略运算符号，如25×4÷25×4错算成（25×4）÷（25×4）=1，正确结果是16。 （5）分配律逆用错误：提取的因数不相同，如25×3+25×7错写成（25+25）×（3+7）。 考点1：加法交换律和加法结合律 【典型例题1】在植树节这天，实验小学开展了植树活动。据统计，该小学二年级学生植树237棵，三年级学生比二年级学生多植树99棵，三年级学生比四年级学生少植树63棵。该小学四年级学生植树多少棵？ 【答案】399棵 【分析】根据题目可知，要求四年级学生植树多少棵，就要知道三年级学生植树多少棵。由“三年级学生比二年级学生多植树99棵”，可知三年级学生植树（237＋99）棵；又因为“三年级学生比四年级学生少植树63棵”，所以四年级学生植树（237＋99＋63）棵。观察算式237＋99＋63，可以看出237和63可以凑成整百数，所以把63和99交换位置后与237结合起来计算比较简便。 【详解】237＋99＋63 ＝237＋63＋99 ＝300＋99 ＝399（棵） 答：该小学四年级学生植树399棵。 【典型例题2】阅读材料，解决以下问题。 材料：高斯是德国著名的数学家，他在上小学时，有一次数学老师让他们算1加到100的和，即1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100＝？老师以为这道题要算很久，刚坐下，高斯就交出了答案“5050”。老师很惊讶，问他是怎么算的，他说先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。 （1）高斯的做法也可以写成如下算式，下面算式利用了加法的（     ）律和（     ）律 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 （2）利用题（1）的做法，计算1＋2＋3＋…＋49＋50。 【答案】（1）结合；交换 （2）1275 【分析】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100变化为（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51），加数交换了位置，且将（1＋100）、（2＋99）和（50＋51）等结合起来算，据此解答。 （2）利用加法交换律和加法结合律进行计算，先算1＋50＝51，2＋49＝51，3＋48＝51……这样一共有25个51，据此解答。 【详解】（1）1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 因此，算式利用了加法的结合律和交换律。 （2）1＋2＋3＋…＋49＋50 ＝（1＋50）＋（2＋49）＋（3＋48）＋…＋（24＋27）＋（25＋26） ＝25×51 ＝1275 【练习1】计算“________”时，在横线上补充下面选项的部分后，不能运用运算律进行简便运算的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把每项的数值补充在试题中，看是否能运用加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算。 【详解】A．276＋435＋65 ＝276＋（435＋65） ＝276＋500 ＝776 能运用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算。 B．276＋435＋224 ＝276＋224＋435 ＝500＋435 ＝935 能运用加法交换律a＋b＝b＋a进行简算。 C．276＋435－176 ＝276－176＋435 ＝100＋435 ＝535 能运用了加法交换律a＋b＝b＋a进行简算。 D．276＋435－369，不能运用运算律凑整进行简便计算。 故答案为：D 【练习2】用简便方法计算下面各题。 346＋57＋43           126＋（74＋29）           112＋64＋88＋136 【答案】446；229；400 【分析】根据加法交换律、加法结合律进行简便运算。 【详解】346+57+43 =346+(57+43) =346+100 =446 126+(74+29) =126+74+29 =200+29 =229 112+64+88+136 =(112+88)+(64+136) =200+200 =400 考点2：减法的性质 【典型例题1】986－297的简便算法是（     ）。 A．986－300－3 B．986－300＋3 C．986－200＋97 D．1000－297＋14 【答案】B 【分析】297接近300，把297看作300，把986－297看成986－300。因为297＝300－3，300比297大3，现在986－300就比原来986－297多减了3，要使得数不变，要把986－300的得数加上3。也就是986－297＝986－300＋3。 【详解】A．986－300－3 ＝686－3 ＝683 B．986－300＋3 ＝686＋3 ＝689 C．986－200＋97 ＝786＋97 ＝883 D．1000－297＋14 ＝703＋14 ＝717 986－297的简便算法是986－300＋3。 故答案为：B 【典型例题2】京东推出的6.18购物节，有一系列的大型促销活动。下面这台笔记本电脑的原价是4800元，买这台电脑实际要花多少元？ 【答案】4000元 【分析】根据题意，原价4800元，先降价446元，同时获赠价值354元的家电补贴券，可视作冲抵相应费用，用4800减去446，再减去354，就是买这台笔记本电脑实际要花的钱数；根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），进行简便计算即可。 【详解】4800－446－354 ＝4800－（446＋354） ＝4800－800 ＝4000（元） 答：买这台笔记本电脑实际要花4000元钱。 【练习1】下列算式中，与139－41－39的计算结果相等的有（     ）个。 ①139－（39＋41）    ②139－（41－39）    ③139－（41＋39）    ④139－39－41 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】减法的性质一： 定义：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个减数的和。 公式：a－b－c＝a－（b＋c） 减法的性质二： 定义：一个数连续减去两个数，交换两个减数的位置，差不变。 公式：a－b－c＝a－c－b 加法交换律： 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变，这叫做加法的交换律。 公式：a＋b＝b＋a 【详解】根据减法的性质一可知：139－41－39＝139－（41＋39）； 根据加法的交换律可知：139－（41＋39）＝139－（39＋41）； 根据减法的性质二可知：139－41－39＝139－39－41； 则139－41－39＝139－（41＋39）＝139－（39＋41）＝139－39－41； 下列算式中，与139－41－39的计算结果相等算式有①③④，共3个。 ①139－（39＋41）    ②139－（41－39）    ③139－（41＋39）    ④139－39－41 故答案为：C 【练习2】如果□＋〇＝150，△－□－〇＝150，则△＝（     ）。 A．450 B．300 C．150 【答案】B 【分析】根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可知：△－□－〇＝△－（□＋〇），再把□＋〇＝150，代入算式计算即可。 【详解】根据分析可知： □＋〇＝150 △－□－〇＝△－（□＋〇）＝150 △－150＝150 △＝150＋150＝300 如果□＋〇＝150，△－□－〇＝150，则△＝300。 故答案为：B 考点3：乘法交换律和乘法结合律 【典型例题1】小丹在用计算器计算1258×49时，发现数字键“4”坏了。如果还是使用这个计算器，要算出正确结果，你能帮小丹想到什么办法？你想到的办法是（ ）。 【答案】把49拆成7×7 【分析】三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。依据乘法结合律和表内乘法口诀，可以把“49”看成“7×7”。据此解答。 【详解】1258×49 ＝1258×（7×7） ＝1258×7×7 ＝8806×7 ＝61642 综上可知，数字键“4”坏了，我们可以将1258×49转化为1258×7×7，计算结果也不会发生改变。 【典型例题2】根据乘法运算律，在横线上填适当的数。 （1）21×18＝18×                （2）56× ＝a× （3）125×（8× ）＝（125× ）×14 （4）25×58×4＝ × ×58 （5）9×2×12×50＝（ × ）×（ × ） 【答案】 21 a 56 14 8 25 4 9 12 2 50 【分析】（1）根据乘法交换律可知：； （2）根据乘法交换律可知：； （3）根据乘法结合律可知：； （4）根据乘法交换律可知：； （5）根据乘法交换律和结合律可知：。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【练习1】用乘法交换律或乘法结合律计算。 25×66×4              80×（63×125）              125×16×25 【答案】6600；630000；50000 【分析】（1）交换66和4的位置，利用乘法交换律进行简算； （2）交换125和63的位置，再利用乘法结合律进行简算； （3）把16拆成，利用乘法结合律进行简算。 【详解】25×66×4 =25×4×66 =100×66 =6600 80×（63×125） =80×（125×63） =80×125×63 =10000×63 =630000 125×16×25 =125×（8×2）×25 =（125×8）×（2×25） =1000×50 =50000 【练习2】春季运动会开幕式上有4个方阵，每个方阵有6排，每排站了25人，每人手拿2个啦啦球。学校准备1250个啦啦球够吗？ 【答案】够 【分析】用每排的人数乘排数求出一个方阵的人数，再乘方阵的个数，即可求出实际有多少人。每人手拿2个啦啦球，用总人数乘2即可求出需要啦啦球的个数。将需要啦啦球的个数与1250个进行比较，即可得到结论。 【详解】 = = =1200（个） 1200 答：学校准备1250个啦啦球够了。 考点4：乘法分配律 【典型例题1】下面是一套运动服上衣和裤子的价格。 某商店一周售出60套这种运动服，一共收入多少钱？ 【答案】7200元 【分析】根据单价×数量＝总价，分别用上衣的价钱和裤子的价钱去乘售出的数量，再加起来，即可算出一共收入了多少钱。据此解答。 【详解】75×60＋45×60 ＝（75＋45）×60 ＝120×60 ＝7200（元） 答：一共收入7200元。 【典型例题2】数学门诊。（对的打“√”，错的打“×”并改正） （1）         （2） 【答案】（1）×；2575；（2）×；7326 【分析】（1）该题计算错误，错在没有正确运用乘法分配律。计算时，先把103转化为，然后利用乘法分配律将原式转化为，而不是； （2）该题计算错误，错在没有正确运用乘法分配律。计算时，先把99转化为，然后利用乘法分配律将原式转化为，而不是。 【详解】（×） 改正：25×103 =25×（100＋3） =25×100＋25×3 =2500＋75 =2575 （×） 改正：74×99 =74×（100－1） =74×100－74 =7400－74 =7326 【练习1】下面算式中，运用了乘法分配律的是（     ）。 A．25×（4＋8）＝25×4＋25×8 B．25×4×8＝25×（4×8） C．25×4＋8＝100＋8 D．25×（4＋8）＝25×12 【答案】A 【分析】整数乘法的运算定律：乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答。 【详解】A．25×（4＋8）＝25×4＋25×8，运用了乘法分配律； B．25×4×8＝25×（4×8），运用了乘法结合律； C．25×4＋8＝100＋8，运用了四则运算规则：先算乘法，再算加法； D．25×（4＋8）＝25×12，运用了四则运算规则：先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。 故答案为：A 【练习2】海海在计算（200－25）×□时，漏看了小括号，算出的结果是100。这道题的正确结果应该是多少？ 【答案】700 【分析】因为在计算（200－25）×□时，漏看了小括号，所以海海计算错的算式是200－25×□＝100，由此可知 有减法和乘法，先算乘法，再算减法，所以200减去一个数等于100，那么25×□的结果是100，由此即可求出□是100÷25＝4，之后再把4代入原来的式子即可。 【详解】200－100＝100 100÷25＝4 （200－25）×4 = = =700 答：这道题的正确结果应该是700。 考点5：除法的性质 【典型例题1】为积极响应“健康中国”倡议，幸福小学采购了2400根跳绳。计划把跳绳平均分给25个体育社团，每个社团有4个小组。平均每组能分到多少根跳绳？ 【答案】24根 【分析】平均分用除法。用2400÷25求出平均每个体育社团分得多少根跳绳，再除以4就是平均每组能分到多少根跳绳。在计算过程中可用除法的性质使计算简便。 除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。 【详解】2400÷25÷4 ＝2400÷（25×4） ＝2400÷100 ＝24（根） 答：平均每组能分到24根跳绳。 【典型例题2】除法的简便计算。 74000÷125÷8              4800÷32              2000÷25÷4÷2 【答案】74；150；10 【分析】根据整数除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，125和8正好可以凑整； 把32写成8乘4，除以两个数的乘积等于连续除以这两个数； 25和4可以凑整，2000先除以2，再除以25和4的乘积。 【详解】74000÷125÷8 =74000÷（125×8） =74000÷1000 =74 4800÷32 =4800÷（8×4） =4800÷8÷4 =600÷4 =150 2000÷25÷4÷2 =（2000÷2）÷（25×4） =1000÷100 =10 【练习1】计算1200÷48时，下面计算方法错误的是（     ）。 A．1200÷6÷8 B．1200÷12÷4 C．1200÷40＋1200÷8 D．（1200÷6）÷（48÷6） 【答案】C 【分析】根据除法的性质和除法的商不变性质，逐项判断；我们还可以通过计算，看计算结果是否等，从而找出错误的选项。除法的性质：一个数连续除以两个数等于这个数除以这两个数的积；商不变的性质：被除数和除数同时乘或乘一个相同的数（0除外）商不变。据此解答。 【详解】A．根据除法的运算性质，48＝6×8，所以1200÷48＝1200÷（6×8）＝1200÷6÷8，该选项正确。 B．因为48＝12×4，所以1200÷48＝1200÷（12×4），1200÷（12×4）＝1200÷12÷4，该选项正确。 C．1200÷48＝25； 1200÷40＋1200÷8 ＝30＋150 ＝180 180≠25 所以该选项错误。 D．根据除法的商不变性质，被除数和除数同时除以6，商不变。1200÷48＝（1200÷6）÷（48÷6），所以该选项正确。 故答案为：C 【练习2】把得数相等的算式连起来。 【答案】见详解 【分析】把各个式子计算出来得数相同的连起来。 【详解】；；； ；；； 连线如下： 一、选择题 1．下面算式中，得数与125×88的积不相等的是（     ）。 A．125×8×11 B．125×80＋8 C．125×80＋125×8 【答案】B 【分析】根据题意，算出125×88的积，先把88拆成8×11，再利用乘法结合律计算；然后算出各选项中的乘积，即可解答。 【详解】125×88 ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 A. 125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 结果和125×88的积相等，所以不符合题意； B．125×80＋8 ＝10000＋8 ＝10008 结果和125×88的积不相等，所以符合题意； C．125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 结果和125×88的积相等，所以不符合题意； 故答案为：B 2．计算125×79时，明明是这样算的：125×79＝125×（80－1）＝125×80－125。这样算的依据是运用了（     ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 【答案】C 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。用字母表示为：a×b＝b×a；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为：a×b×c＝a×（b×c）；乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此解答。 【详解】在算式125×79＝125×（80－1）＝125×80－125中，先把79转化为80－1，然后把80和1分别与125相乘再相减。 整个过程运用了乘法分配律。 故答案为：C 3．下面的图中，能用“（6＋4）×3”计算结果的有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】第一幅图是表示三段线段的总长，用连加计算是6＋4＋3； 第二幅图大长方形面积可以看作两个小长方形面积和，大长方形的长是（4＋6）厘米，宽是3厘米，长方形面积＝长×宽，列式为6×3＋4×3＝（6＋4）×3； 第三幅图白色圆每行有4个，有3行。黑色圆每行有6个，有3行。可以分别求出白色圆和黑色圆的数量，再相加。这些圆每行一共有（6＋4）个，有3行，则6×3＋4×3＝（6＋4）×3。 【详解】上面3个图，能用“（6＋4）×3”计算结果的有2个，分别是第二，三幅。 故答案为：B 4．小明在计算6×（4＋m）时，错算成4＋6×m，得到的结果比正确的结果少（     ）。 A．24 B．20 C．10 【答案】B 【分析】6×（4＋m）根据乘法分配律（a＋b）×c ＝a×c＋b×c，展开后是6×4＋6×m，与4＋6×m比较多了6×4－4，据此解答。 【详解】6×（4＋m）＝6×4＋6×m 6×4－4 ＝24－4 ＝20 得到的结果比正确的结果少20。 故答案为：B 5．下面各等式中，不成立的是（     ）。 A．47×（98＋1）＝47×98＋1 B．40×25＋8×25＝（40＋8）×25 C．378－（122＋78）＝378－122－78 【答案】A 【分析】本题可根据乘法分配律和减法的性质来逐一分析选项。乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再把积相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。减法的性质：从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，用字母表示为a－（b＋c）＝a－b－c。 【详解】A．根据乘法分配律： 47×（98＋1） ＝47×98＋47×1 ＝47×98＋47 47×98＋47≠47×98＋1，所以该等式不成立。 B．根据乘法分配律： 40×25＋8×25 ＝（40＋8）×25 所以该等式成立。 C．根据减法的性质： 378－（122＋78） ＝378－122－78 所以该等式成立。 故答案为：A 二、填空题 6．已知A＝36×47，B＝37×46，要比较A和B的大小，除了计算出它们的结果进行比较外，还可以借助长方形面积图来比较大小。 A＝36×47＝（ ）＋（ ）。 B＝37×46＝（ ）＋（ ）。 所以A（ ）B。 【答案】 36×46/46×36 36×1/1×36 36×46/46×36 1×46/46×1 ＜ 【分析】由图可知，A的面积等于中间的阴影部分加上右边的小长方形的面积。中间的阴影部分的长是46，宽是36，它的面积可以用算式36×46来计算；右边的小长方形的长是36，宽是1，它的面积可以用算式36×1来计算。所以A＝36×47＝36×46＋36×1；B的面积等于中间的阴影部分加上下面的小长方形的面积。中间的阴影部分的长是46，宽是36，它的面积可以用算式36×46来计算。下面的小长方形的长是46，宽是1，它的面积可以用算式46×1来计算。所以B＝37×46＝36×46＋46×1。对比算式36×46＋36×1和算式36×46＋46×1可知，两个算式的前半部分相同，算式后面36×1＜46×1，所以A＜B。 【详解】A＝36×47＝36×46＋36×1 B＝37×46＝36×46＋46×1 所以A＜B。 7．我们在三年级时学过两位数乘两位数的计算：如84×25（如图），先算（ ）×（ ），再算（ ）×（ ），最后把（ ）与（ ）相加，这时已经在运用（ ）律。 【答案】 80 25 4 25 80×25的结果 4×25的结果 乘法分配 【分析】本题围绕两位数乘两位数84×25的计算展开。通过观察图形，将长为84，宽为25的长方形的面积转化为长为80、宽为25的长方形及长为25、宽为4的长方形的面积之和。利用数形结合的思想更好的理解乘法分配律的意义及应用。 【详解】通过观察图形可知将84拆分成80和4，并分别与25相乘。 先算80×25，这一步是计算80个25是多少，再算4×25，这一步是计算4个25是多少，最后把80×25的结果与4×25的结果相加。 乘法分配律的公式为（a＋b）×c＝a×c＋b×c，84×25＝（80＋4）×25＝80×25＋4×25，所以这时已经在运用乘法分配律。 我们在三年级时学过两位数乘两位数的计算：如84×25（如图），先算80×25，再算4×25，最后把80×25的结果与4×25的结果相加，这时已经在运用乘法分配律。 8．（b＋20）×3＝（ ）×（ ）＋（ ）×（ ），运用的运算定律是（ ）。 【答案】 3 b 3 20 乘法分配律 【分析】根据乘法分配律为：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，据此解答即可。 【详解】根据分析，（b＋20）×3＝b×3＋20×3，运用的运算定律是乘法分配律。 9．请根据竖式的计算过程在横式中的横线上填写合适的数。 【答案】图见详解 【分析】首先，我们来分析这个计算过程。在乘法运算中，我们把33拆分成了两个数相加的形式来进行简便计算。观察竖式，369是123与3相乘的结果，另一个369是123与30相乘的结果。 【详解】 10．265×95＋265×5＝265×（95＋5），计算的依据是（ ）。 【答案】乘法分配律 【分析】根据题意，明确乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，计算265×95＋265×5＝265×（95＋5）时，应用了乘法分配律，使计算更简便。 【详解】根据分析可知： 265×95＋265×5 ＝265×（95＋5） ＝265×100 ＝26500 因此，算式计算的依据是乘法分配律。 11．小明把（9＋□）×5算成9＋□×5，他算出的结果与正确结果相差（ ）。 【答案】36 【分析】（9＋□）×5，根据乘法分配律展开后是9×5＋□×5；错误算式为9＋□×5。两者相比较，后面都是□×5，前面一个是9，一个是9×5。用9×5减去9就是相差多少。 【详解】（9＋□）×5＝9×5＋□×5。根据分析，与9＋□×5相差9×5－5。 9×5－5 ＝45－5 ＝36 因此，算出的结果与正确结果相差36。 12．在○里填上合适的运算符号，在横线上填上合适的数。 87＋268＋132＝87＋（______○_______） 102×64－64×2＝______×（______○_______） 207－35－65＝207－（______○_______） 【答案】见详解 【分析】（1）仔细观察算式及数据特点可知，利用加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c）可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法分配律：a×c－c×b＝c×（a－b）可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【详解】87＋268＋132＝87＋（268＋132） 102×64－64×2＝64×（102－2） 207－35－65＝207－（35＋65） 13．李阿姨在体育用品专卖店购进了60套运动服，其中上衣75元，裤子45元，一共花了多少钱？小明列出的算式为75×60＋45×60，解决这个问题还可以列式为（ ）。（只列综合算式不计算） 【答案】75×60＋45×60 【分析】乘法分配律指一个数乘以两数之和，等于这个数分别乘以这两个数再相加。乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，可知：75×60＋45×60 ＝（75＋45）×60；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 75×60＋45×60 ＝（75＋45）×60 ＝120×60 ＝7200（元） 李阿姨在体育用品专卖店购进了60套运动服，其中上衣75元，裤子45元，一共花了多少钱？小明列出的算式为75×60＋45×60，解决这个问题还可以列式为（75＋45）×60。 14．计算12×101时，丽丽用简便方法12×100＋12计算，这是运用了乘法（ ）律。 【答案】分配 【分析】12×101时把101看作100＋1，利用乘法分配律简算（a＋b）×c ＝a×c＋b×c。 【详解】12×101 ＝12×（100＋1） ＝12×100＋12×1 ＝12×100＋12 ＝1200＋12 ＝1212 即计算12×101时，丽丽用简便方法12×100＋12计算，这是运用了乘法分配律。 15．如果173×☐＋27×☐＝3200，那么☐＝（ ）；如果▲－◆＝4，那么20×▲－20×◆＝（ ）。 【答案】 16 80 【分析】乘法分配律是指两个数的和（差）与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘， 再相加（相减）；据此解答即可。 【详解】173×☐＋27×☐＝3200 （173＋27）×☐＝3200 200×☐＝3200 ☐＝3200÷200 ☐＝16 当▲－◆＝4时 20×▲－20×◆ ＝20×（▲－◆） ＝20×4 ＝80 如果173×☐＋27×☐＝3200，那么☐＝16；如果▲－◆＝4，那么20×▲－20×◆＝80。 16．算式228＋167＋□，在□中填上（ ）就能使计算简便（只填一个数），计算结果是（ ）。 【答案】 33 428 【分析】根据加法结合律：三个数相加先算前两个数再加第三个数等于后两个数相加再加第一个数，那么228＋167＋□，把167＋□组合凑整即可，□中可以填33（答案不唯一），再根据加法结合律简算。 【详解】228＋167＋33 ＝228＋（167＋33） ＝228＋200 ＝428 即算式228＋167＋□，在□中填上33就能使计算简便（只填一个数），计算结果是428。（答案不唯一） 17．17×▲＋17×★＝340，那么▲＋★＝（ ）。如果▲＝12，那么★＝（ ）。 【答案】 20 8 【分析】乘法分配律：两个数与一个数分别相乘，再相加，可以先求出两个数的和，再与这个数相乘；据此可知17×▲＋17×★＝17×（▲＋★）＝340，再根据一个乘数＝积÷另一个乘数，可知▲＋★＝340÷17，计算出商即可求出▲＋★的值；根据和－一个加数＝另一个加数，用求出的▲＋★的值减去▲的值，即可求出★是多少。 【详解】因为17×▲＋17×★＝340 所以17×（▲＋★）＝340 因此▲＋★ ＝340÷17 ＝20 又因为★＝20－▲ ▲＝12 所以★＝20－12＝8 即17×▲＋17×★＝340，那么▲＋★＝20。如果▲＝12，那么★＝8。 18．计算过程中既运用了（ ）律，又运用了（ ）律。 【答案】 乘法交换 乘法结合 【分析】乘法交换律是交换两个乘数的位置积不变；乘法结合律是三个数相乘，前两个数相乘再乘第三个数等于后两个数相乘再乘第一个数。9×25×3×4先运用乘法结合律交换3和25的位置，再运用乘法结合律把25与4结合计算简便。 【详解】9×25×3×4 ＝9×3×25×4 ＝9×3×（25×4） ＝9×3×100 ＝27×100 ＝2700 计算过程中既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。 19．王明在用计算器计算“236×45”时，发现按键“4”坏了。如果还是用这个计算器，他可以怎么计算？请写出算式：（ ）。 【答案】236×5×9 【分析】本题可以考虑45拆成2个不含数字4的因数相乘，即45＝5×9，然后再根据乘法结合律进行简算，乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为：a×c×b＝a×（c×b）。据此即可解答。 【详解】236×45 ＝236×（5×9） ＝236×5×9 ＝1180×9 ＝10620 王明在用计算器计算“236×45”时，发现按键“4”坏了。如果还是用这个计算器，他可以怎么计算？请写出算式：236×5×9。（答案不唯一） 20．张大爷家有一块菜地（如图）。请你算一算，这块菜地的面积是（ ）平方米。 【答案】320 【分析】如图：把图形分割成两个长方形，两个长方形的长分别是22米、18米，宽都是8米，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出所分割的图形的面积，再相加求解。可利用乘法分配律进行简便计算即可。 【详解】22×8＋18×8 ＝（22＋18）×8 ＝40×8 ＝320（平方米） 则这块菜地的面积是320平方米。 21．为改善环境，红兴村修建了垃圾清理站。第一季度清理47吨生活垃圾，第二季度清理66吨，第三季度清理53吨，第四季度清理34吨，这一年一共清理（ ）吨生活垃圾。 【答案】200 【分析】由题意可知：把每个季度清理的垃圾吨数加起来，即可求出这一年一共清理多少吨生活垃圾。 【详解】47＋66＋53＋34 ＝（47＋53）＋（66＋34） ＝100＋100 ＝200（吨） 所以这一年一共清理200吨生活垃圾。 三、计算题 22．计算下面各题，能简算的要简算。 125×88                 156×[（650－380）÷27]             99×45＋45 296－48－196             2700÷25÷4                       25×26－272÷34 【答案】11000；1560；4500 52；27；642 【分析】（1）乘法中利用凑整进行巧算，，将88拆分成8和11相乘； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的乘法； （3）利用乘法分配律进行简算，将相同的因数45提取出来； （4） 整数的减法凑整，减法利用尾数相凑整。利用带符号搬家规则交换和的位置，可以凑整； （5）利用除法的性质进行简算，将两个除数相乘，然后再进行除法运算； （6）先计算乘法和除法，再计算减法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 四、解答题 23．一本书共有176页，小强已经读了34页，今天又读了42页，还剩多少页没读？ 【答案】100页 【分析】用一本书总共的页数减去已经读了的和今天又读了的页数和，即等于还剩余没有读的页数。计算时可用整数减法的性质进行简便计算。 【详解】176－34－42 ＝176－（34＋42） ＝176－76 ＝100（页） 答：还剩100页没读。 24．水果店运来46箱苹果，每箱苹果25千克。如果每千克苹果卖8元，这些苹果一共能卖多少钱？ 【答案】9200元 【分析】根据题意，用水果店运来苹果的箱数乘每箱苹果的质量，求出苹果的总质量，再用苹果的总质量乘每千克苹果卖的钱数，即可求出这些苹果一共能卖多少钱。计算时，运用乘法结合律简算即可。 【详解】46×25×8 ＝46×（25×8） ＝46×200 ＝9200（元） 答：这些苹果一共能卖9200元钱。 25．第一小学开展新时代文明实践活动暨全民健身志愿服务活动，学校计划在操场上开展花式跳绳、花式篮球等项目的展演（如图），请你算一算这块活动场地的面积是多少平方米？ 【答案】1380平方米 【分析】可以将这块活动场地分割成一个长为23米，宽为21米的小长方形和一个长为39米，宽为23米的大长方形，根据长方形的面积＝长×宽，先分别计算小长方形和大长方形的面积，即小长方形的面积为：23×21，大长方形的面积为：39×23，然后将两个长方形的面积相加，即23×21＋39×23，最后简便计算即可求出这块活动场地的面积。 【详解】23×21＋39×23 ＝23×（21＋39） ＝23×60 ＝1380（平方米） 答：这块活动场地的面积是1380平方米。 26．今年“六一”儿童节，我区多所学校开展了“跳蚤市场”活动。 四（3）班同学分为3个组摆设摊位。第一组收入285元，第二组收入356元，第三组收入315元，3个组在活动中共收入了多少元？（用两种方法解决） 方法一： 先求： 。（用文字表述） 列式解决： 方法二： 先求： 。（用文字表述） 列式解决： 【答案】见详解 【分析】方法一：先算第一组收入加第二组收入即为第一组与第二组的总收入，再加第三组的收入即为所求。 方法二：先算第一组收入加第三组收入即为第一组与第三组的总收入，再加第二组的收入即为所求。 【详解】方法一： 先求：第一组与第二组的总收入； 285＋356＋315 ＝641＋315 ＝956（元） 方法二： 先求：第一组与第三组的总收入； 285＋315＋356 ＝600＋356 ＝956（元） 答：3个组在活动中共收入了956元。 27．下面是小温家、小州家和城市书房的位置示意图。小温和小州同时从家出发去城市书房，小温每分钟走52米，小州每分钟走48米，15分钟后两人同时到达城市书房。小温家和小州家相距多少米？ 【答案】1500米 【分析】分别用速度×时间＝路程，求出两家到城市书房的距离各是多少米，再把两者的距离相加，即可求出两家相距多远。在计算过程中可根据乘法分配律进行简算，（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 【详解】52×15＋48×15 ＝（52＋48）×15 ＝100×15 ＝1500（米） 答：小温家和小州家相距1500米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学下册第三单元：运算律（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：加法运算定律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 用字母表示：a＋b＝b＋a 2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。 用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 作用：可以把两个结合相加的数，凑成整十、整百……使计算更加简便。 3、减法的性质： （1）一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和，也可以交换减数的位置。 用字母表示：a－b－c＝a－（b＋c）＝a－c－b （2）减法的逆运算 a－（b＋c）＝a－b－c 拆括号时，把括号里的加号改成减号。 a－（b－c）＝a－b＋c 拆括号时，把括号里的减号改成加号。 4、加法简便计算技巧 （1）凑整法：找和为整十、整百、整千的数先结合计算。 （2）去括号/添括号规则： ①括号前是“+”，去/添括号后，括号内符号不变。 ②括号前是“−”，添括号后括号内符号要变号。 知识点02：乘法运算律 1、乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b＝b×a 2、乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变 用字母表示：（a×b）×c＝a×﹙b×c﹚ 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 用字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 扩展：（a＋b＋c）×d＝a×d＋b×d＋c×d 4、除法性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的“积”。 简单记为：连续除，除以积。 用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c） 5、乘法简便计算技巧 （1）观察数字特征：优先找25、125、5等特殊数，搭配4、8、2凑整。 （2）去括号/添括号规则：括号前是“÷”，添括号后括号内符号要变号。 （3）逆用运算律：出现相同因数时，逆用乘法分配律提取公因数。 （4）拆分数字：把接近整十、整百的数拆成“整十/百±几”。 【易错点】 （1）乘法分配律漏乘：计算（50+2）×25时，错写成50×25+2，忽略2×25。 （2）去括号/添括号符号错误：把 365−（65+30）错算成365−65+30，忘记变号。 （3）运算律混用：减法用交换律时顺序错误，如100−25−75错写成100−75+25。 （4）凑整误区：乘法凑整时，只看数字忽略运算符号，如25×4÷25×4错算成（25×4）÷（25×4）=1，正确结果是16。 （5）分配律逆用错误：提取的因数不相同，如25×3+25×7错写成（25+25）×（3+7）。 考点1：加法交换律和加法结合律 【典型例题1】在植树节这天，实验小学开展了植树活动。据统计，该小学二年级学生植树237棵，三年级学生比二年级学生多植树99棵，三年级学生比四年级学生少植树63棵。该小学四年级学生植树多少棵？ 【典型例题2】阅读材料，解决以下问题。 材料：高斯是德国著名的数学家，他在上小学时，有一次数学老师让他们算1加到100的和，即1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100＝？老师以为这道题要算很久，刚坐下，高斯就交出了答案“5050”。老师很惊讶，问他是怎么算的，他说先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。 （1）高斯的做法也可以写成如下算式，下面算式利用了加法的（     ）律和（     ）律 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 （2）利用题（1）的做法，计算1＋2＋3＋…＋49＋50。 【练习1】计算“________”时，在横线上补充下面选项的部分后，不能运用运算律进行简便运算的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习2】用简便方法计算下面各题。 346＋57＋43           126＋（74＋29）           112＋64＋88＋136 考点2：减法的性质 【典型例题1】986－297的简便算法是（     ）。 A．986－300－3 B．986－300＋3 C．986－200＋97 D．1000－297＋14 【典型例题2】京东推出的6.18购物节，有一系列的大型促销活动。下面这台笔记本电脑的原价是4800元，买这台电脑实际要花多少元？ 【练习1】下列算式中，与139－41－39的计算结果相等的有（     ）个。 ①139－（39＋41）    ②139－（41－39）    ③139－（41＋39）    ④139－39－41 A．1 B．2 C．3 D．4 【练习2】如果□＋〇＝150，△－□－〇＝150，则△＝（     ）。 A．450 B．300 C．150 考点3：乘法交换律和乘法结合律 【典型例题1】小丹在用计算器计算1258×49时，发现数字键“4”坏了。如果还是使用这个计算器，要算出正确结果，你能帮小丹想到什么办法？你想到的办法是（ ）。 【典型例题2】根据乘法运算律，在横线上填适当的数。 （1）21×18＝18×                （2）56× ＝a× （3）125×（8× ）＝（125× ）×14 （4）25×58×4＝ × ×58 （5）9×2×12×50＝（ × ）×（ × ） 【练习1】用乘法交换律或乘法结合律计算。 25×66×4              80×（63×125）              125×16×25 【练习2】春季运动会开幕式上有4个方阵，每个方阵有6排，每排站了25人，每人手拿2个啦啦球。学校准备1250个啦啦球够吗？ 考点4：乘法分配律 【典型例题1】下面是一套运动服上衣和裤子的价格。 某商店一周售出60套这种运动服，一共收入多少钱？ 【典型例题2】数学门诊。（对的打“√”，错的打“×”并改正） （1）         （2） 【练习1】下面算式中，运用了乘法分配律的是（     ）。 A．25×（4＋8）＝25×4＋25×8 B．25×4×8＝25×（4×8） C．25×4＋8＝100＋8 D．25×（4＋8）＝25×12 【练习2】海海在计算（200－25）×□时，漏看了小括号，算出的结果是100。这道题的正确结果应该是多少？ 考点5：除法的性质 【典型例题1】为积极响应“健康中国”倡议，幸福小学采购了2400根跳绳。计划把跳绳平均分给25个体育社团，每个社团有4个小组。平均每组能分到多少根跳绳？ 【典型例题2】除法的简便计算。 74000÷125÷8              4800÷32              2000÷25÷4÷2 【练习1】计算1200÷48时，下面计算方法错误的是（     ）。 A．1200÷6÷8 B．1200÷12÷4 C．1200÷40＋1200÷8 D．（1200÷6）÷（48÷6） 【练习2】把得数相等的算式连起来。 一、选择题 1．下面算式中，得数与125×88的积不相等的是（     ）。 A．125×8×11 B．125×80＋8 C．125×80＋125×8 2．计算125×79时，明明是这样算的：125×79＝125×（80－1）＝125×80－125。这样算的依据是运用了（     ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 3．下面的图中，能用“（6＋4）×3”计算结果的有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 4．小明在计算6×（4＋m）时，错算成4＋6×m，得到的结果比正确的结果少（     ）。 A．24 B．20 C．10 5．下面各等式中，不成立的是（     ）。 A．47×（98＋1）＝47×98＋1 B．40×25＋8×25＝（40＋8）×25 C．378－（122＋78）＝378－122－78 二、填空题 6．已知A＝36×47，B＝37×46，要比较A和B的大小，除了计算出它们的结果进行比较外，还可以借助长方形面积图来比较大小。 A＝36×47＝（ ）＋（ ）。 B＝37×46＝（ ）＋（ ）。 所以A（ ）B。 7．我们在三年级时学过两位数乘两位数的计算：如84×25（如图），先算（ ）×（ ），再算（ ）×（ ），最后把（ ）与（ ）相加，这时已经在运用（ ）律。 8．（b＋20）×3＝（ ）×（ ）＋（ ）×（ ），运用的运算定律是（ ）。 9．请根据竖式的计算过程在横式中的横线上填写合适的数。 10．265×95＋265×5＝265×（95＋5），计算的依据是（ ）。 11．小明把（9＋□）×5算成9＋□×5，他算出的结果与正确结果相差（ ）。 12．在○里填上合适的运算符号，在横线上填上合适的数。 87＋268＋132＝87＋（______○_______） 102×64－64×2＝______×（______○_______） 207－35－65＝207－（______○_______） 13．李阿姨在体育用品专卖店购进了60套运动服，其中上衣75元，裤子45元，一共花了多少钱？小明列出的算式为75×60＋45×60，解决这个问题还可以列式为（ ）。（只列综合算式不计算） 14．计算12×101时，丽丽用简便方法12×100＋12计算，这是运用了乘法（ ）律。 15．如果173×☐＋27×☐＝3200，那么☐＝（ ）；如果▲－◆＝4，那么20×▲－20×◆＝（ ）。 16．算式228＋167＋□，在□中填上（ ）就能使计算简便（只填一个数），计算结果是（ ）。 17．17×▲＋17×★＝340，那么▲＋★＝（ ）。如果▲＝12，那么★＝（ ）。 18．计算过程中既运用了（ ）律，又运用了（ ）律。 19．王明在用计算器计算“236×45”时，发现按键“4”坏了。如果还是用这个计算器，他可以怎么计算？请写出算式：（ ）。 20．张大爷家有一块菜地（如图）。请你算一算，这块菜地的面积是（ ）平方米。 21．为改善环境，红兴村修建了垃圾清理站。第一季度清理47吨生活垃圾，第二季度清理66吨，第三季度清理53吨，第四季度清理34吨，这一年一共清理（ ）吨生活垃圾。 三、计算题 22．计算下面各题，能简算的要简算。 125×88                 156×[（650－380）÷27]             99×45＋45 296－48－196             2700÷25÷4                       25×26－272÷34 四、解答题 23．一本书共有176页，小强已经读了34页，今天又读了42页，还剩多少页没读？ 24．水果店运来46箱苹果，每箱苹果25千克。如果每千克苹果卖8元，这些苹果一共能卖多少钱？ 25．第一小学开展新时代文明实践活动暨全民健身志愿服务活动，学校计划在操场上开展花式跳绳、花式篮球等项目的展演（如图），请你算一算这块活动场地的面积是多少平方米？ 26．今年“六一”儿童节，我区多所学校开展了“跳蚤市场”活动。 四（3）班同学分为3个组摆设摊位。第一组收入285元，第二组收入356元，第三组收入315元，3个组在活动中共收入了多少元？（用两种方法解决） 方法一： 先求： 。（用文字表述） 列式解决： 方法二： 先求： 。（用文字表述） 列式解决： 27．下面是小温家、小州家和城市书房的位置示意图。小温和小州同时从家出发去城市书房，小温每分钟走52米，小州每分钟走48米，15分钟后两人同时到达城市书房。小温家和小州家相距多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $