寒假第二周 因式分解 综合题优化练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年八年级数学上册新人教版寒假第二周《因式分解》综合题优化练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2．将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列何者为多项式的因式分解（   ） A． B． C． D． 4．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 5．整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 6．已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 7．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（   ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 8．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 9．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 二、填空题 11．因式分解： ． 12．已知，则的值为 ． 13．如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 14．设为正整数，且，则等于 ． 15．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)． 17．已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 18．阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 19．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 20．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)若，求的值； (2)已知a，b，c是等腰的三条边长，且a，b满足，求的周长． 21．仔细阅读下面例题，解答问题 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得， 另一个因式为，的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值： (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成， ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 23．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 24．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年八年级数学上册新人教版寒假第二周《因式分解》综合题优化练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B B B C B C C 11． 12． 13． 14． 15． 16．(1) (2) 17．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ，， ，， ， 边的取值范围为． 19．（1）解： =； （2）解： ； （3）解： ． 20．（1）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当a为腰时，，符合题意，； 当b为腰时，，不符合题意． ∴周长为17． 21．（1）解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为5； （2）解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为6． 22．解：（1）； （2）①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 23．（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 24． 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $