专题6.3 组合（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题6.3 组合 教学目标 1.理解组合的概念．能写出一些简单问题的所有组合。 2.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握组合数公式和组合数的性质； （2）能运用组合数的性质进行计算； 2.难点 （1）会用组合数公式解决一些简单的组合； （2）掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法。 知识点01 组合的定义 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【特别提醒】组合概念的两个要点： （1）取出的对象是不同的； （2）“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质. 【即学即练】 1．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【详解】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 知识点02 组合数的概念与公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 性质：C＝C，C＝C＋C 规定：＝1． 【特别提醒】　(1)m≤n，m，n∈N*； (2)常用于计算； 常用于证明． 【即学即练】 1．已知，，，则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式、组合数公式对选项逐一进行分析. 【详解】，A错误；，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 题型01 组合的概念 【典例1】 给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1-2】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 题型02 利用排列数公式解决问题（等式与不等式） 【典例2】 已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 【变式2-1】计算 ． 【答案】 【分析】利用组合数的性质逐步递推求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 【变式2-2】已知，若，则 ． 【答案】或 【分析】根据组合数的知识求得的范围，然后结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 由于，所以或， 解得或. 故答案为：或 【变式2-3】（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助排列数公式计算即可得； （2）借助组合数公式计算即可得. 【详解】（1）， 即，则或， 由，即，故； （2），， 则有，化简得， 即， 解得，又，故， 即该不等式的解集为. 题型03 有关组合数的证明 【典例3】 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的运算性质即可求证. 【详解】因为左边 右边. 所以. 【变式3-1】已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A.由组合数的定义判断；B.由排列数的定义判断；CD.由组合数的性质判断. 【详解】对A，由组合数的定义可知，，A选项错误； 对B，由排列数的定义可知，B选项正确； 对CD，由组合数的性质可知，则，则C、D选项均错误． 故选：B． 【变式3-2】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】代入阶乘公式，化简证明. 【详解】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 【变式3-3】（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：； （2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据. 【答案】（1）证明见解析； （2）过程见解析. 【分析】（1）根据组合数的计算公式直接展开计算证明； （2）根据题意列出实际问题，结合分类加法计数原理说理即可. 【详解】（1）等式左边， 等式右边 ， 等式左边=等式右边，原式得证. （2）计数问题：一个口袋内装有大小相同的8个白球和1个黑球，从口袋取出4个球，有多少种不同取法？ 解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法； 对于，即第一类为取4个白球，共种取法， 第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法， 共种取法. 所以与为该问题的两个不同的解法. 题型04 简单的组合问题 【典例4】 某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据组合数的计算求得正确答案. 【详解】从5个景点中选3个，有种不同的选法. 故选：D 【变式4-1】有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 【变式4-2】某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 【变式4-3】从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答） 【答案】13 【分析】分析符合题意的情况种类，然后分类计算，再根据组合和组合数的计算方法，求出结果. 【详解】一次性摸取3个球，至少有2个黄球分为两种情况： 情况一：两个黄球，一个红球，有种不同方法； 情况二：三个黄球，； 共有种方法； 故答案为：13 一、单选题 1．根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由,利用组合数性质计算即可. 【详解】, 故选:C. 2．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．384 B．486 C．216 D．208 【答案】C 【分析】由题意，先挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，最后将宫灯插空挂，结合插空法计算即可求解. 【详解】先挂2盏吊灯有种挂法， 再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂． 当4盏宫灯分成2，2两份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时,有1种挂法， 所以共有种不同的挂法． 故选：C 二、填空题 3．若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 4．关于n的方程的解为 ． 【答案】6 【分析】根据组合数的计算公式列出方程，再通过试数法求解三次方程即可． 【详解】， 由题知，， 当，， 当，， 当，， 当，，所以， 故答案为：6． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可 【详解】已知，由组合数公式可得. 分别讨论的取值， 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，满足条件. 当时，，满足条件. 当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为：或. 6．若，那么正整数的值是 ． 【答案】或 【分析】利用组合数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以或，解得或， 经检验或符合题意， 所以满足等式的值为. 故答案为：或 7．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【分析】先利用组合数的性质得到，再结合题意建立方程求解即可. 【详解】因为成立，所以，解得， 因为，所以或， 当时，解得，当时，解得. 故答案为：或 8．若，则 . 【答案】3或4 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由有或，所以或. 故答案为：3或4. 9．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解. 【详解】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 10． ． 【答案】161700 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质计算即得. 【详解】 . 故答案为：161700 11．若，则 ． 【答案】 【分析】根据排列、组合数的运算性质计算即可. 【详解】由， 则， 即， 化解得， 解得或（舍）. 故答案为：. 12．从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共 种． 【答案】9 【分析】分别求出从5名学生中选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案. 【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，共有种选法， 若所选出的3名代表中没有女生，则有种选法， 所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有种. 故答案为：9 13．编号为1，2，3，4，5的五个人入座编号也为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两个人对号入座的坐法有 种． 【答案】109 【分析】由对立事件为全对号（四人对号时一定全对号）、有且仅有三人对号，再利用分步乘法计算原理计算即可. 【详解】问题的正面有三种情况：全不对号、有且仅有一人对号、有且仅有两人对号，且每种情况均较难处理， 而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）、有且仅有三人对号． 全对号只有一种方法，三人对号时只要先从五人中选出三人，即， 其余两人不对号只有一种情况．由加法、乘法原理得． 故反面情况共有11种． 五人全排列有种，可得．所以满足要求的种数为109种． 故答案为：109. 三、解答题 14．（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 15．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 组合 教学目标 1.理解组合的概念．能写出一些简单问题的所有组合。 2.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握组合数公式和组合数的性质； （2）能运用组合数的性质进行计算； 2.难点 （1）会用组合数公式解决一些简单的组合； （2）掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法。 知识点01 组合的定义 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【特别提醒】组合概念的两个要点： （1）取出的对象是不同的； （2）“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质. 【即学即练】 1．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 知识点02 组合数的概念与公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 性质：C＝C，C＝C＋C 规定：＝1． 【特别提醒】　(1)m≤n，m，n∈N*； (2)常用于计算； 常用于证明． 【即学即练】 1．已知，，，则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型01 组合的概念 【典例1】 给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1-2】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 题型02 利用排列数公式解决问题（等式与不等式） 【典例2】 已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2-1】计算 ． 【变式2-2】已知，若，则 ． 【变式2-3】（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 题型03 有关组合数的证明 【典例3】 求证：． 【变式3-1】已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【变式3-3】（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：； （2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据. 题型04 简单的组合问题 【典例4】 某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【变式4-1】有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【变式4-2】某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 【变式4-3】从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答） 一、单选题 1．根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 2．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．384 B．486 C．216 D．208 二、填空题 3．若 为正整数，则不等式 的解集是 4．关于n的方程的解为 ． 5．若，则 ． 6．若，那么正整数的值是 ． 7．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 8．若，则 . 9．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 10． ． 11．若，则 ． 12．从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共 种． 13．编号为1，2，3，4，5的五个人入座编号也为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两个人对号入座的坐法有 种． 三、解答题 14．（1）解不等式； （2）解方程. 15．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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