6.3.2-6.3.3 组合数的计算与性质（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

6.3 组合 第六章 计数原理 6.3.2-6.3.3 组合数的计算与性质 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式. 能运用组合数公式进行计算. 3 会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 1 章前导读 1 章前导读 某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？ 问题　上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？ 2 新知探究 1 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，共有多少种不同的选法？ 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 2 从3名学生中选出2名，没有顺序 组合问题 从3名学生中选出2名 需要排序 排列问题 2 新知探究 1 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，共有多少种不同的选法？ 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 2 组合问题 排列问题 即求从3个不同元素a、b、c中取出2个不同元素的组合的个数 即求从3个不同元素a、b、c中取出2个不同元素的排列的个数 排列数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列数.用符号 2 新知探究 1 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，共有多少种不同的选法？ 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 2 组合问题 排列问题 排列数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列数.用符号 组合数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合数.用符号 2 新知探究 1 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，共有多少种不同的选法？ 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 2 组合问题 排列问题 3 举例分析 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信? (2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话? (3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法? 例1 3 举例分析 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信? (2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话? (3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法? 例1 4 新知讲授 组合数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合数.用符号 取出的元素个数 可供选择的元素个数 思考2：组合与组合数有什么区别？ “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数. 2 新知探究 1 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，共有多少种不同的选法？ 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 2 组合问题 排列问题 思考1：如何计算？如何计算？ 3 举例分析 在3名学生中选出2名作为一个舞台剧的演员，分别担任两个不同的角色，有多少种不同的分配方法？ 例2 求从3个互不相同的元素中任取2个不同元素的排列数，可以分成以下两步进行： 第一步：从3个互不相同的元素中任 取2个不同元素，共有个不同的组合 第二步：将每一个组合中的2个元素 进行全排列，各有个排列 根据乘法原理，有 =• 4 新知讲授 组合数公式 3 举例分析 某高中舞蹈社团共有12名学生.从这12名学生中选出7名编排一支舞蹈，共有多少种不同的选法？ 例3 4 新知讲授 组合数的性质 4 新知讲授 利用计算器求排列数 排列数符号在计算器中用nCr表示. 例如：求的值. 在计算器上依次按“10”---“SHIFT”--- “÷”---“4”---“=”,计算器就显示如下结果： 5 举例应用 例1 例4 ∵n∈N*，∴n＝10， 5 举例应用 例1 5 举例应用 例1 例5 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； 解　至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 5 举例应用 例1 例5 (3)既要有队长，又要有女生当选. 解　分两类： 所以共有495＋295＝790(种)选法. 5 举例应用 例1 例6 (1)（平均分组）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本， 有多少种方法？ 5 举例应用 例1 例6 (2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？ 因此分为三份，每份两本，一共有15种方法. 5 举例应用 例1 例7 不平均分配 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本， 有多少种方法？ (2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 5 举例应用 例1 例8 分配问题 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法. 6 巩固练习 1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个. 答案:B A.4 B.5 C.6 D.7 6 巩固练习 3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集 共有　　　　　个.  解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为 =5. 6 巩固练习 6 巩固练习 6.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加. 6 巩固练习 课堂小结 组合数 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合数.用符号 方法归纳 分组、分配问题 7 补充强化练 1.（正难则反）平面上有9个点,排成三行三列的方阵,以其中任意3个点为顶点,共可以组成　　　个三角形.  解析:正面考虑,需分类且容易出现遗漏或重复.从反面考虑9个点中有3个点共线的情况的种数,问题则较易解决.9个点中有3个点共线的情况,显然是三行、三列和两条对角线上的点,易知共8种,9个 7 补充强化练 2.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形? 7 补充强化练 3.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 7 补充强化练 3.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？ 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 解:(1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为=90. (2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,组合数为. (3)是组合问题,因为去开会的3个人之间没有顺序的区别,组合数为. (4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为=720. PPT开头的问题：由于5号和14号一组， 所以其他两个人只能是1到4号或15到 20号中的两个，故共有Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,6)＝21(种)方法． Ceq \o\al(m,n)＝ ＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！) ＝________________ (n，m∈N*，m≤n)． 规定Ceq \o\al(0,n)＝1. eq \f(n！,m！（n－m）！) 求值： (1)3C－2C； 解　3C－2C＝3×－2×＝148. (2)C＋C. 解　∵∴9.5≤n≤10.5. ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466. （3）证明：mC＝nC. 证明　mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. 解　C－C＝825(种). 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法. 第一类女队长当选，有C＝495(种)选法， 第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法， 解　先从6本书中选2本给甲，有C种方法； 再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法； 最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法， 所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种)方法. 解　分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法； 第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有A种方法. 根据分步乘法计数原理，可得CCC＝xA，所以x＝＝15. 解　这是“不平均分组”问题，一共有CCC＝60(种)方法. 解　在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法. 解　可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有CCC＝90(种)方法； ③“1,1,4型”，有CA＝90(种)方法， ②“1,2,3型”，有CCCA＝360(种)方法； 2.若=3,则n的值为(　　) 解析:因为=3, 所以n(n-1)=,解得n=6.故选C. 4.①3-2;②. 解:①3-2=3×-2×+1=149. ②+200=5 150. 证明左边= =·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)] =(n+2)(n+1) = ==右边. 5.求证:+2. 解:(1)=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378(种)不同的选法. 点中任取3个点的组合数为,所以共可以组成-8=76(个)三角形. 解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准: 第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形; 第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形; 第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形. 由分类加法计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). (方法二　间接法)=220-4=216(个). (1)法一　先将4个小球分为三组，有2,4)eq \f(CCeq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,1),Aeq \o\al(2,2)) 种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有Aeq \o\al(3,4)种投放方法，故共有2,4)eq \f(CCeq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,1),Aeq \o\al(2,2)) ·Aeq \o\al(3,4)＝144(种)放法． 法二　先取4个球中的两个“捆”在一起，有Ceq \o\al(2,4)种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有Aeq \o\al(3,4)种投放方法，所以共有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,4)＝144(种)放法． (2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有Ceq \o\al(1,4)种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有Ceq \o\al(1,4)·2＝8(种)放法． (3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(1,3)＝12(种)放法． (4)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有Ceq \o\al(3,13)＝286(种)放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1，2，3，4的盒子分别放入2，6，5，7个球. $