专题6.2 排列（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题6.2 排列 教学目标 1.了解排列定义，掌握常见的排列处理方法。 2.了解与掌握排列数公式。 教学重难点 1.重点 （1）用计数原理推导排列数公式； （2）能运用排列数公式熟练地进行相关计算； 2.难点 （1）能解决一些简单的实际问题，熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题； 知识点01 排列与全排列的定义 排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列，用符号表示．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列. 【特别提醒】排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题． (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列． 而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【即学即练】 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 知识点02 排列数公式 阶乘的概念及表示：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示 排列数公式：＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式：(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况：＝n!，1!＝1，0!＝1 【方法技巧】排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和解不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【即学即练】 1．设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】, 故选：D 题型01 排列的概念 【典例1】 下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【变式1-1】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 题型02 简单的排列问题 【典例2】 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．21 【答案】A 【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可. 【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为. 故选：A. 【变式2-1】5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 【答案】120 【分析】由分步乘法计数原理或排列数求解. 【详解】分步计数：第一位同学有5种选择，第二位同学有4种选择，第三位同学有3种选择，第四位同学有2种选择，故. 排列数：5本读物任取4种分给4个人，则有. 故答案为：120. 【变式2-2】现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 【变式2-3】6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数. 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 题型03 利用排列数公式解决问题（等式与不等式） 【典例3】 若，则 . 【答案】6 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 【变式3-1】解方程：.（为自然数） 【答案】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得， 由于为大于不小于3的自然数，所以， 化简得，解得， 【变式3-2】求满足的整数的值. 【答案】8 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 【变式3-3】若，则 . 【答案】3 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 题型04 排列中元素相邻问题 【典例4】 某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有 种． 【答案】48 【分析】用“捆绑法”以及全排列即可求解. 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 【变式4-1】学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有 种． 【答案】144 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 【变式4-2】有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 【变式4-3】若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 【方法技巧】相邻元素捆绑法： 如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列． 题型05 排列中元素不相邻问题 【典例5】 5人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 【答案】 【分析】先把除甲乙之外的其他三人全排列，三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意，分步进行分析： ①把甲、乙之外的其他三人全排列，有种排法， ②三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，有种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有种. 故答案为：. 【变式5-1】某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 【变式5-2】某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序. 【答案】1440 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 【变式5-3】2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解. 【详解】2位女生不相邻，且3位男生相邻，则只能3位男生一起站中间，2名女生站两端， 故总的排法有, 故答案为：12 【方法技巧】不相邻问题插空法： 不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”． 题型06 排列中元素位置有限制问题 【典例6】 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 【答案】36 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间三人即可. 【详解】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长， 则不同的排列种数有种． 故答案为：. 【变式6-1】已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有 种. 【答案】 【分析】利用分步计数原理，优先安排甲，再排其他3人，最后利用乘法即可求解. 【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒， 则首先安排甲跑第二或第四棒，共有2种方法； 再安排剩下三棒，共有种方法； 所以不同的交接棒安排顺序有种方法， 故答案为：. 【变式6-2】徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 【答案】 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 【变式6-3】有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，3名男生互不相邻； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后二排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人． 【答案】(1)2160； (2)3720； (3)720； (4)144； (5)1440； (6)840； (7)5040； (8)720. 【分析】(1)采用元素分析法，先安排甲，再排剩余的6个人； (2)采用位置分析法，先排最左边，再剔除乙在最右边的排法； (3)采用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列； (4)采用插空法，先排男生，然后将女生插入其中的四个空位； (5) 采用插空法,先排女生，然后在空位中插入男生； (6) 采用定序排列，7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列； (7) 与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列； (8) 从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，再将甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排. 【详解】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法； （2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）； （3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法； （5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）； （7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法； （8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法． 【方法技巧】有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”． 1．至多、至少间接法 当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”． 含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答． 这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法． 2．有限制条件的元素优先排． 在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置； 有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑． ①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般． ②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步． 一、单选题 1．的个位数字是（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据阶乘的规律可得答案. 【详解】因为， 所以从开始，的个位数字和为0， 所以的个位数字是为3. 故选：A. 2．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【分析】先安排讲座，再安排讲座和及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案. 【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 二、填空题 3．若排列数，则 . 【答案】 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 4．5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 种． 【答案】120 【分析】根据全排列即可求解. 【详解】5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有种， 故答案为：120 5．用四个数字1，2，3，4组成没有重复数字的两位数的个数为 ． 【答案】12 【分析】由排列的定义可直接得出答案. 【详解】根据题意，一共有个不同的两位数． 故答案为：12 6．2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共 种. 【答案】12 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】若两名女生相邻，我们把两名女生进行捆绑，看作一个整体， 这两名女生的排列方式共有种， 我们把这个整体与男生全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理得两名女生相邻的排法共种. 故答案为：12 7．某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共 种. 【答案】12 【分析】利用不相邻问题插空法即可. 【详解】依题意，只需将数学与外语在政治与生物留下的三个空位进行插空，再考虑它们的顺序即可，故课表的排法有种. 故答案为：12. 8．某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 【答案】 【分析】先求农场主站在中间的方法数，以及利用捆绑法求农场主站在中间，且2名女生相邻的方法数，再利用间接法求得2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数. 【详解】由题意，农场主站在中间有种方法， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 9．某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 【答案】 【分析】采用插空法来求解.先排好个男孩，再在男孩形成的空位中插入个女孩，最后根据排列组合的乘法原理计算出所有的站法种数. 【详解】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种. 个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩. 则个女孩的排列方法有种. 根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）. 故答案为：72. 10．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 . 【答案】8 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲、乙相邻，先排丙，再排甲乙和丁即可. 【详解】当丙是第2名时，甲、乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共有2种情况， 当丙为第3名时，甲、乙是第1，2名时，丁为第4名，此时共有2种情况， 当丙是第4名时，甲、乙有可能是第1，2名或2，3名， 若甲、乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共有2种情况， 若甲、乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共有2种情况， 综上所述：4人的名次排列情况种数为种情况. 故答案为：8 11．现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】120 【分析】tjhet利用定序除法即可得解. 【详解】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序人数的全排列. 先将6人全排，即为，再将甲、乙、丙三人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：120. 12．现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】30240 【分析】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序男生人数的全排列. 【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：30240. 三、解答题 13．班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1)240 (2)600 【分析】（1）利用捆绑法可求解即可； (2)根据魔术节目不排在最后一个节目，则先排魔术节目，再排另外5个节目即可． 【详解】（1）2个相声节目捆绑在一起，内部排列，再与其他4个节目一起排列， 则共有种排法； （2）先排魔术节目，由于不排在最后一个，则共有5种排法， 再排另外5个节目，5个位置，则有种排法， 则共有种排法. 14．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 15．某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)用插空法解决不相邻问题； (2)用消序法解决定序问题； (3)用分类分步讨论法解决带限制条件的问题. 【详解】（1）由于初三的3个节目彼此都不相邻，则先安排高一和高二的9个节目，再用插空法安排初三的3个节目，所以共有：种出场顺序； （2）若高二的出场顺序固定，则用消序法，即共有种出场顺序； （3）第一类：在最后出场，则共有种； 第二类：既不在最先，也不在最后出场，则共有种； 所以根据分类加法原理共计有种出场顺序. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 排列 教学目标 1.了解排列定义，掌握常见的排列处理方法。 2.了解与掌握排列数公式。 教学重难点 1.重点 （1）用计数原理推导排列数公式； （2）能运用排列数公式熟练地进行相关计算； 2.难点 （1）能解决一些简单的实际问题，熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题； 知识点01 排列与全排列的定义 排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列，用符号表示．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列. 【特别提醒】排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题． (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列． 而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【即学即练】 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 知识点02 排列数公式 阶乘的概念及表示：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示 排列数公式：＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式：(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况：＝n!，1!＝1，0!＝1 【方法技巧】排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和解不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【即学即练】 1．设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 题型01 排列的概念 【典例1】 下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【变式1-1】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 题型02 简单的排列问题 【典例2】 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．21 【变式2-1】5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 【变式2-2】现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【变式2-3】6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 题型03 利用排列数公式解决问题（等式与不等式） 【典例3】 若，则 . 【变式3-1】解方程：.（为自然数） 【变式3-2】求满足的整数的值. 【变式3-3】若，则 . 题型04 排列中元素相邻问题 【典例4】 某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有 种． 【变式4-1】学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有 种． 【变式4-2】有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【变式4-3】若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 题型05 排列中元素不相邻问题 【典例5】 5人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 【变式5-1】某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 【变式5-2】某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序. 【变式5-3】2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 题型06 排列中元素位置有限制问题 【典例6】 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 【变式6-1】已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有 种. 【变式6-2】徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 【变式6-3】有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，3名男生互不相邻； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后二排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人． 【方法技巧】有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”． 1．至多、至少间接法 当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”． 含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答． 这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法． 2．有限制条件的元素优先排． 在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置； 有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑． ①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般． ②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步． 一、单选题 1．的个位数字是（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 2．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 二、填空题 3．若排列数，则 . 4．5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 种． 5．用四个数字1，2，3，4组成没有重复数字的两位数的个数为 ． 6．2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共 种. 7．某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共 种. 8．某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 9．某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 10．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 . 11．现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 12．现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 三、解答题 13．班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 14．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 15．某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $