专题1.2 导数的运算（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.2 导数的运算 教学目标 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式，能直接运用公式求解简单基本函数的导数。 2.理解并掌握导数的四则运算法则（和、差、积、商）及常数倍函数的求导法则，能结合公式进行简单函数的导数运算 教学重难点 1.重点： （1）基本初等函数导数公式的记忆与熟练应用。 （2）导数的四则运算法则（和、差、积、商）及常数倍函数求导法则的理解与掌握。 （3）结合公式和法则，对简单的和、差、积、商形式函数进行准确的导数运算。 2.难点： （1）从导数的定义出发，理解并推导函数积、商的求导法则，突破对积商求导法则形式的理解难点。 （2）导数四则运算法则的灵活应用，尤其是含常数、多类基本函数结合的和差积商形式函数的导数运算。 （3）区分简单复合函数与普通和差积商函数，初步掌握复合函数的求导思路，避免运算中漏层、错层的问题。 （4）解决稍复杂形式的函数导数计算问题，能准确判断函数结构并选择对应的求导方法。 知识点01 几个基本函数的导数 1.常见幂函数的导数 【即学即练】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 2.一些基本初等函数的导数 【即学即练】（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 知识点02 函数的和、差、积、商求导法则 1.函数和、差、积的求导法则 （1）常数与函数乘积的导数：常数与函数乘积的导数，等于常数乘以函数本身的导数.即 （2）函数和差的求导法则:两个可导函数的和（或差）的导数，等于它们各自导数的和（或差）。即： （3）函数乘积的求导法则:两个可导函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即 注意：它不等于两个函数导数的乘积(f′(x)g′(x))，这是一个常见的易错点。 【即学即练】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，即可求解. 【详解】由函数，可得. 故选：D. 2.函数的倒数与商的导数 （1）函数倒数的求导法则：一个可导函数的倒数的导数，等于该函数的导数取负，再除以函数的平方。 （2）两函数商的求导法则：（） 【即学即练】（24-25高二下·北京顺义·期末）下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】按照基础函数的导数计算逐一判断即可. 【详解】对A，，故错误； 对B，，正确； 对C，，故错误； 对D，，故错误. 故选：B 知识点03 简单复合函数的求导 1.复合函数：设y=f(u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则y=f(g(x))是关于x的函数，称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，其中u称为中间变量。 2.复合函数求导法则：记作或 【即学即练】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）由复合函数的求导法则计算即得； （2）利用函数的和差积商的求导法则与复合函数的求导法则计算即得. 【详解】（1）由求导得，； （2）由求导得，. 题型01 求已知函数的导数 【典例1】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数； （4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数； （5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数. 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【变式1-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州黔南·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 题型02 求函数的导数值 【典例2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数（其中是的导函数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】先对函数求导,得到的表达式.再通过令求出的值,最后将代入求出. 【详解】已知,对求导可以得到,. 令, 将代入导函数有 . 将代入的表达式中: . 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】根据基本初等函数的导数公式，即可求得答案. 【详解】由，得，故， 故选：B 【变式2-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】对函数求导，令即可求出的值. 【详解】因为， 对函数求导， 令，则，解得. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 题型03 根据导数值求参数（自变量） 【典例3】（25-26高二上·陕西·月考）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的加减法、平均变化率 【分析】求出，根据题意可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数， 所以， 即，因为，解得. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二下·福建·期中）已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】导数的加减法 【分析】通过函数求导代入即可求得参数值. 【详解】∵，∴，解得：. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 题型04 求曲线在某点的切线斜率（倾斜角） 【典例4】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，根据导数的几何意义，将代入即可得答案. 【详解】因为，所以，所以． 所以函数的图象在点处的切线的斜率为. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的加减法 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 【变式4-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数 的图象在处的切线的倾斜角为 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、直线的倾斜角 【分析】根据导数的几何意义以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为，所以，即切线的斜率为，所以切线的倾斜角为. 故答案为： 【变式4-3】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 题型05 根据切线的斜率求参数 【典例5】（2022高二下·河南南阳·专题练习）函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是　 A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由导数的几何意义可知，再利用基本不等式求最值. 【详解】，由题意可知，， ， 当，且，解得：， 所以的最小值是9. 故选：B 【变式5-1】（24-25高二下·云南临沧·期末）曲线在处的切线斜率为2，则（  ） A． B．1 C．0 D．e 【答案】A 【知识点】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数 【分析】对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值. 【详解】由题设，且，可得. 故选：A 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值. 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 【变式5-3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】对函数求导，根据在处的斜率，即可求得. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 题型06 求曲线在某点的切线方程 【典例6】（25-26高二·全国·假期作业）曲线在点处的导数为 ，在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求某点处的导数值 【分析】求出导函数代入可得导数值；再由直线的点斜式方程可求处的切线方程. 【详解】依题意得，， 因此所求的切线方程是，即， 故答案为：；. 【变式6-1】（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程. 【详解】由，得， 则，且， 则曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数求得曲线在点处的切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·天津·月考）曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】对函数求导，由导数的几何意义求解． 【详解】， 则曲线在点处的切线斜率为：； 切线方程为：，即， 故答案为：； 题型07 根据曲线的切线方程求参数 【典例7】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程为，设切线与曲线相切的切点为，得到，求得的值，进而得到答案. 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数 【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意可得，即可求出，从而求出切点坐标，再代入切线方程计算可得. 【详解】由，则，设切点为，则，解得， 所以切点为，则，解得. 故选：C 【变式7-2】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可. 【详解】对函数求导得， 因为函数在点处的切线方程为， 所以有，解得. 所以. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 题型08 曲线、切线、导数综合问题 【典例8】（23-24高二下·湖北·月考）已知曲线在的切线与曲线只有一个公共点，则实数m的值为 ； 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意，利用导数的几何意义，求得曲线在的切线方程为，结合直线与相切求得切点，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在的切线方程为， 由函数单调递增，且，又， 结合对数型函数图象，要使得切线与只有一个公共点， 则直线与相切，切点为，可得，解得， 则，所以切点为， 将切点代入直线，可得，解得. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 【变式8-2】（22-23高二下·四川广安·期中）若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求平行线间的距离 【分析】求出斜率为1且与曲线相切的直线的方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】解：设斜率为的直线与曲线相切于点， 因为， 所以， 令， 解得， 所以， 所以切线的方程为：， 所以要求点到直线的最小距离， 即求切线到直线的距离， 由两平行线间的距离公式可得, 所以点到直线的最小距离是. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、反函数的性质应用 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故答案为：. 题型09 根据公切线（斜率）方程求参数 【典例9】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 【变式9-1】（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【变式9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可. 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 【变式9-3】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 题型10 曲线的切点坐标问题 【典例10】（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 【变式10-1】（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 【变式10-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【详解】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 题型11 切线的平行、垂直问题 【典例11】（23-24高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【变式11-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 【变式11-2】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【变式11-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 一、单选题 1．（24-25高二下·四川成都·月考）已知，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】由基本函数导数公式即可求解. 【详解】由，得， 故选：B 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数列方程来求得的值. 【详解】，，，解得． 故选：C 3．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·月考）设P为曲线上的点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】求出，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围求出斜率的取值范围，列不等式可求出结果. 【详解】，设点P的横坐标为， 设在点P处的切线的倾斜角为， 因为，所以， 所以，解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·北京西城·月考）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为. 故选：A 6．（22-23高二上·江苏淮安·期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数 【分析】直线与曲线相切于点, 可得求得的导数,可得,即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入可得: 解得: 由,解得:. 可得, 根据在上 ,解得: 故选:. 7．（24-25高二下·云南丽江·月考）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 8．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求平面两点间的距离、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的导数逐项判断即可. 【详解】，A错误；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：CD. 10．（25-26高二·全国·假期作业）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标，利用导数求出切线斜率建立方程求出切点，即可得出切线方程. 【详解】设切点， 由知， 所以切线斜率，解得， 故或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故选：AB 11．（24-25高二下·云南楚雄·月考）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、函数新定义 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】函数奇偶性的应用、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】由题意可知为奇函数，且存在，使得，取基本函数分析判断即可. 【详解】因为函数的导函数为偶函数，所以为奇函数， 所以满足此条件， 因为的图象与直线相切， 所以存在，使得， 若，则， 此时取，则，，满足条件， 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的四则运算与复合函数的导数公式求解即可.其中第（4）小问可先化简再求导. 【详解】（1）. （2） （3） （4）， 由， . 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 17.（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 导数的运算 教学目标 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式，能直接运用公式求解简单基本函数的导数。 2.理解并掌握导数的四则运算法则（和、差、积、商）及常数倍函数的求导法则，能结合公式进行简单函数的导数运算 教学重难点 1.重点： （1）基本初等函数导数公式的记忆与熟练应用。 （2）导数的四则运算法则（和、差、积、商）及常数倍函数求导法则的理解与掌握。 （3）结合公式和法则，对简单的和、差、积、商形式函数进行准确的导数运算。 2.难点： （1）从导数的定义出发，理解并推导函数积、商的求导法则，突破对积商求导法则形式的理解难点。 （2）导数四则运算法则的灵活应用，尤其是含常数、多类基本函数结合的和差积商形式函数的导数运算。 （3）区分简单复合函数与普通和差积商函数，初步掌握复合函数的求导思路，避免运算中漏层、错层的问题。 （4）解决稍复杂形式的函数导数计算问题，能准确判断函数结构并选择对应的求导方法。 知识点01 几个基本函数的导数 1.常见幂函数的导数 【即学即练】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2.一些基本初等函数的导数 【即学即练】（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 函数的和、差、积、商求导法则 1.函数和、差、积的求导法则 （1）常数与函数乘积的导数：常数与函数乘积的导数，等于常数乘以函数本身的导数.即 （2）函数和差的求导法则:两个可导函数的和（或差）的导数，等于它们各自导数的和（或差）。即： （3）函数乘积的求导法则:两个可导函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即 注意：它不等于两个函数导数的乘积(f′(x)g′(x))，这是一个常见的易错点。 【即学即练】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2.函数的倒数与商的导数 （1）函数倒数的求导法则：一个可导函数的倒数的导数，等于该函数的导数取负，再除以函数的平方。 （2）两函数商的求导法则：（） 【即学即练】（24-25高二下·北京顺义·期末）下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 简单复合函数的求导 1.复合函数：设y=f(u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则y=f(g(x))是关于x的函数，称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，其中u称为中间变量。 2.复合函数求导法则：记作或 【即学即练】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； 题型01 求已知函数的导数 【典例1】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州黔南·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型02 求函数的导数值 【典例2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数（其中是的导函数），则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 【变式2-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【变式2-3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 题型03 根据导数值求参数（自变量） 【典例3】（25-26高二上·陕西·月考）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式3-1】（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·福建·期中）已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 题型04 求曲线在某点的切线斜率（倾斜角） 【典例4】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数 的图象在处的切线的倾斜角为 【变式4-3】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 题型05 根据切线的斜率求参数 【典例5】（2022高二下·河南南阳·专题练习）函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是　 A．10 B．9 C．8 D． 【变式5-1】（24-25高二下·云南临沧·期末）曲线在处的切线斜率为2，则（  ） A． B．1 C．0 D．e 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式5-3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则 . 题型06 求曲线在某点的切线方程 【典例6】（25-26高二·全国·假期作业）曲线在点处的导数为 ，在点处的切线方程为 ． 【变式6-1】（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【变式6-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【变式6-3】（25-26高二上·天津·月考）曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 题型07 根据曲线的切线方程求参数 【典例7】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【变式7-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-3】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 题型08 曲线、切线、导数综合问题 【典例8】（23-24高二下·湖北·月考）已知曲线在的切线与曲线只有一个公共点，则实数m的值为 ； 【变式8-1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【变式8-2】（22-23高二下·四川广安·期中）若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 【变式8-3】（24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则 ． 题型09 根据公切线（斜率）方程求参数 【典例9】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【变式9-1】（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【变式9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 题型10 曲线的切点坐标问题 【典例10】（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【变式10-1】（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式10-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 题型11 切线的平行、垂直问题 【典例11】（23-24高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【变式11-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式11-2】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 一、单选题 1．（24-25高二下·四川成都·月考）已知，则（     ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·月考）设P为曲线上的点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京西城·月考）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·江苏淮安·期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．（24-25高二下·云南丽江·月考）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二·全国·假期作业）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·云南楚雄·月考）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 17.（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $