精品解析：黑龙江大庆市第二十三中学艺术部2025-2026学年上学期期末考试高二数学试题

大庆市第23中学艺术部2025－2026学年度（上）期末考试 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟 出题范围：圆锥曲线、等差数列、概率） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、基础模块：（每空2分，共40分） 1. 焦点在轴上的椭圆的标准方程为______，其焦点坐标是______ 【答案】 ①. ②. ，其中 【解析】 【分析】略 【详解】略 2. 称为椭圆的长轴，称为椭圆的短轴，____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】考察椭圆中的基本概念，结合椭圆的基本知识即可得出答案. 【详解】由椭圆的基本知识可知，焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其长轴长为，短轴长为， 焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其长轴长为，短轴长为， 故答案为：；. 3. 椭圆的离心率______.的范围是______；椭圆中______ 【答案】 ①. （为长半轴长，为半焦距） ②. ③. ，其中为半焦距，为短半轴长 【解析】 【分析】略 【详解】略 4. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为______，其焦点坐标是______，渐近线方程是______；焦点在轴上的双曲线的标准方程为______，其焦点坐标为______，渐近线方程是______，双曲线中______ 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. 【解析】 【分析】略 【详解】略 5. 焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】考察抛物线中的基本概念，结合抛物线的基本知识即可得出答案. 【详解】由抛物线的基本知识可知，焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为，准线方程为. 故答案为：；；. 6. 焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______，准线方程是____________. 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】略 【详解】略 二、单选题：（每小题5分，共40分.） 7. 椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程可得焦点坐标为，，进而焦距为2. 【详解】由椭圆知，， 因为焦点在轴上，所以焦点坐标为，，所以焦距为2， 故选：B. 8. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，方程表示双曲线， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 9. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 10. 等差数列中,若，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 11. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 90 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和性质进行求解． 【详解】成等差数列， 又， 所以，所以， 故选：C 12. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及递推关系得到是以3为周期的数列，进而确定. 【详解】，且， ，， ，，  所以是以3为周期的数列，则. 故选：B 13. 过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线方程求得弦长，进而可求正数的值. 【详解】由抛物线可得焦点坐标为， 当时，，所以， 又因为过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，所以， 所以. 故选：B. 14. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 三、多选题：（每道题全对得6分，若答案有两个，选对一个3分，若答案有三个，选对一个2分，对两个4分，选错不给分，共18分.） 15. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误. 【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4, 所以两个数列不是同一个,故选项A错误; 当时,解得:或(舍), 即110是该数列的第10项,故选项B正确; 因为数列可写为:, 所以第8个数是,故选项C正确; 因为 所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确. 故选：BCD 16. 已知等差数列中，，，该数列的前项和为，则下列说法正确的为（ ） A. B. 或最小 C. 公差 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设结合等差数列的通项公式可求得，进而求解判断ACD；再结合等差数列的单调性判断B. 【详解】在等差数列中，， ，则，解得，故C错误； ，故A正确； 由于，则等差数列为递增数列， 且时，，，时，， 或最小，故B正确； ， ，故D正确. 故选：ABD． 17. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线C上的两个动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点M到y轴距离为4 C. 的最小值为3 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可. 【详解】设点，．该抛物线的准线为， 因为，所以的最小值为，所以，故A正确． 若，则，所以M到y轴的距离为，故B错误． 过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E， 由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故C正确． 由向量共线可得直线AB过点，设AB的方程为，与 联立可得，则． 由，， 由，所以，得， 所以，故D正确． 故选：ACD 四、填空题：（每小题5分，共15分.） 18. 已知数列的前项和为，，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求解. 【详解】， 当时，， 当时， ，此等式不适合， 故. 故答案为：. 19. 与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设所求双曲线方程为，，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可设所求双曲线方程为，， 代入点可得， 所以所求双曲线方程为，即. 故答案为：. 20. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解. 【详解】， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 五、简答题：（15题8分、16题9分、17题10分，18题10分，共37分） 21. 砂糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图，已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍. （1）求,的值； （2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率； （3）求这些果树产量的中位数. 【答案】（1）；（2），（3）47.5 【解析】 【分析】 (1)分析样本中产量在区间和上的果树，再结合频率分布直方图的特征联立方程组求出结果； (2) 分别计算出在区间和上的果树数量，运用概率知识求出结果； (3) 由频率分布直方图找到面积相等的分界线，计算可得中位数. 【详解】（1）样本中产量在区间(45,50]上的果树有(株)， 样本中产量在区间(50,60]上的果树有(株) 则有即 ① 根据频率分布直方图可知 ② 解①②组成的方程组得． （2）样本中产量在区间(50,55]上的果树有(株)，产量在区间(55,60]上的果树有(株) 设“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件，则. （3）由，所以面积相等的分界线为，即样本的中位数为. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的知识，熟练运用频率分布直方图的相关知识来解题时关键，本题较为基础． 22. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【小问1详解】 设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． 【小问2详解】 由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 23. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 24. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， （1）求椭圆的标准方程 （2）已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，利用题意分别求出即可； （2）利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ， 椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第23中学艺术部2025－2026学年度（上）期末考试 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟 出题范围：圆锥曲线、等差数列、概率） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、基础模块：（每空2分，共40分） 1. 焦点在轴上的椭圆的标准方程为______，其焦点坐标是______ 2. 称为椭圆的长轴，称为椭圆的短轴，____________ 3. 椭圆的离心率______.的范围是______；椭圆中______ 4. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为______，其焦点坐标是______，渐近线方程是______；焦点在轴上的双曲线的标准方程为______，其焦点坐标为______，渐近线方程是______，双曲线中______ 5. 焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 6. 焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______，准线方程是____________. 二、单选题：（每小题5分，共40分.） 7. 椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 等差数列中,若，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 90 D. 70 12. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 13. 过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 14. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 三、多选题：（每道题全对得6分，若答案有两个，选对一个3分，若答案有三个，选对一个2分，对两个4分，选错不给分，共18分.） 15. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 16. 已知等差数列中，，，该数列的前项和为，则下列说法正确的为（ ） A. B. 或最小 C. 公差 D. 17. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线C上的两个动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点M到y轴距离为4 C. 的最小值为3 D. 若，则 四、填空题：（每小题5分，共15分.） 18. 已知数列的前项和为，，则数列的通项公式______. 19. 与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为______． 20. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 五、简答题：（15题8分、16题9分、17题10分，18题10分，共37分） 21. 砂糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图，已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍. （1）求,的值； （2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率； （3）求这些果树产量的中位数. 22. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 23. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 24. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， （1）求椭圆的标准方程 （2）已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $