17.3　一元二次方程根的判别式 课件2025-2026学年 沪科版 数学八年级下册

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册第17章的同步教学课件，共20页。内容围绕一元二次方程根的判别式展开，包含概念引入、公式推导、根的情况判断及字母取值问题应用，通过例题解析和跟踪训练构建学习支架。 资料注重核心素养培养，通过具体方程引入抽象出判别式概念（数学眼光），结合配方推理根的情况关系（数学思维），以例2求k取值等实例强化模型应用（数学语言）。分层练习助八年级学生从具体到抽象理解代数概念，为教师提供清晰教学路径，既提升学生逻辑推理与问题解决能力，又契合该年级逻辑思维发展需求。

第17章　一元二次方程及其应用 17.3　 一元二次方程根的判别式 初中数学沪科版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其符号与根的个数的关系.(重点) 2.能利用根的判别式判断方程根的情况，解决与方程根有关字母的取值问题.(难点) 课堂引入 1.方程x2－2x－3＝0的根是x1＝3，x2＝－1；方程x2－2x＋1＝0的根是x1＝x2＝1；方程x2－2x＋3＝0无实数根. 2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝ ，其中b2－4ac≥0. 一、 根的判别式的概念 问题　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方得， 当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根： x1＝　　　　　　　　，x2＝　　　　　　　.  当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根： x1＝x2＝　　　　.  当 b2－4ac<0时，方程没有实数根. － 知识梳理 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况由b2－4ac来确定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) . 通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac. 根的判别式 根的情况与判别式的关系 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 Δ>0 有两个不相等的实数根，即x＝ Δ＝0 有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－ Δ<0 没有实数根 例1　 (课本P34例题)用根的判别式，判别下列方程根的情况： (1)5x2－3x－2＝0；(2)25y2＋4＝20y；(3)2x2＋x＋1＝0. 解　(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49>0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为25y2－20y＋4＝0， 因为Δ＝(－20)2－4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)因为Δ＝()2－4×2×1＝－5<0， 所以原方程没有实数根. 跟踪训练1　(1)下列方程中，没有实数根的是 A.x2＋2x＝0 B.5x2－4x－2＝0 C.x2－4x＋1＝0 D.x2－x＋1＝0 解析　A项，Δ＝4－0＝4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B项，Δ＝16＋4×5×2＝56>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C项，Δ＝16－4＝12>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D项，Δ＝1－4＝－3<0，方程没有实数根，符合题意. √ (2)不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： ①3x2＋4x－3＝0；②4x2＝12x－9；③7y＝5(y2＋1). 解　①∵Δ＝42－4×3×(－3)＝52>0， ∴方程有两个不相等的实数根. ②方程化为一般形式为4x2－12x＋9＝0， ∵Δ＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根. ③方程整理为5y2－7y＋5＝0， ∵Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51<0， ∴方程没有实数根. 二、 一元二次方程根的判别式的应用 例2　已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； 解　∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1， ∴Δ＝b2－4ac ＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0， 即8k＋9>0， 解得k>－. 例2　已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时， (2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根. 解　(2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即8k＋9＝0， 解得k＝－. (3)∵方程没有实数根， ∴Δ<0，即8k＋9<0， 解得k<－. 跟踪训练2　(课本P35练习第2题)已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？ 解　(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k>0，解得k<. (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k＝0，解得k＝. (3)∵方程没有实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k<0.解得k>. 课堂小结 1.一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 课堂练习 √ 解析　Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7， ∵－7<0，∴原方程没有实数根. 2.关于x的一元二次方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1 C.k> D.k≥ √ 解析　根据题意列出方程组 解得k≥且k≠1. 课堂练习 3.如果关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是　 . 解析　∵关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝32－4×1×a＝0， 解得a＝， ∴a的值是. 课堂练习 4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根. (1)求k的取值范围； 解　因为关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根， 所以Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0， 解得k≤0， 所以k的取值范围是k≤0. 课堂练习 4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根. (2)当k取最大整数时，求该方程的两个根. 解　由(1)知，k的最大整数值为0， 则该方程为x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1， 所以方程的两个根都是1. 课堂练习 谢谢观看 $