专题02 二次根式的大小比较与最值七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题02 二次根式的大小比较与最值七类题型 典例详解 类型一、平方法比较二次根式大小 类型二、倒数法比较二次根式大小 类型三、做差法比较二次根式大小 类型四、利用均值不等式求二次根式最值 类型五、根号内为二次式的最值 类型六、构造模型求二次根式的最值 类型七、含参数的最值讨论 压轴专练 类型一、平方法比较二次根式大小 例1（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 变式1-1（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 变式1-2（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 类型二、倒数法比较二次根式大小 例2（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 变式2-1（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，； （2）①；②，图见解析；③，． 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式大小比较，二次根式有意义的条件，函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，即可得出答案； （2）①根据二次根式有意义的条件填空即可； ②代入求值，并描点画图即可； ③在图象中找出相应的点，比较纵坐标的差即可． 【详解】解：（1），， ， 又， ， 故答案为：，，，； （2）① ， ， 故答案为：； ②当时，， ， 故答案为：2； 建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③根据图象可判断， ，， 故答案为：，． 变式2-2（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) 变式2-14(2) (3) 变式2-15【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 变式2-3（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 类型三、做差法比较二次根式大小 例3（23-24九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解： ， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； （2）解：， ； （3）解： ， ， ． 变式3-1（16-17七年级下·江西·月考）仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较与的大小． 解： 又∵ ， ∴，即： ∴ ． 不求值比较与 的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用作差法比较实数的大小是解题的关键． 根据所给例题，利用作差法并运用二次根式的加减运算法则计算来比较实数大小即可． 【详解】解： ∵ ， ∴， ∴． 变式3-2（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 类型四、利用均值不等式求二次根式最值 二元均值不等式核心形式 二元均值不等式核心形式对非负实数 a,b，有 ​≥​，当且仅当 a=b 时等号成立。 变形 1（和定积最大）：若 a+b=k（定值），则 ab≤ ； 变形 2（积定和最小）：若 ab=k（定值），则 a+b ≥ 2​。 例4（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)，； (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)， (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，二次根式的应用，完全平方公式的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）类比于题例求解，即可解题； （2）设这个矩形花园的长为米，则宽为 米，进而得到所用的篱笆长度为米，结合题干例题方法求解，即可解题； （3）由得到，结合题干例题得到当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4，然后得到的最小值，进而推出的最大值，即可解题； （4）根据题意分情况讨论，当时，当，时，当，时，分别求出m的最大最小值，即可解题． 【详解】（1）解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）解：设这个矩形花园的长为米，则宽为 米， 所用的篱笆长度为米， 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 这个矩形花园的长为米，宽为米，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是米； 答：这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4， ⸫代数式，当时，取得最小值为2， ⸫当时，代数式取到最大值，最大值为； （4）解：当时，代数式的值为，即， 当时， ， 当时，， ⸫当时，m的最大值为， 当时， ， ⸫当时，m的最小值为， 综上所述，m范围为， 故答案为：． 变式4-1（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）3，6；（2）4；（3） 【分析】本题考查了不等式的应用，二次根式的运算，特别是利用不等式来求代数式的最小值，涉及基本的不等式推导和应用．解题的关键是通过适当的变量代换，利用该不等式的条件在合适的情况下求得最小值，并且在特定条件下求得代数式的最优解． （1）令，根据不等式代入计算，得到．当且仅当时，等号成立，所以最小值为6． （2）设，利用不等式得到．当且仅当时，最小值为4，解得． （3）设的面积为x，根据面积比值关系．从面积关系中得出，计算四边形的面积并利用不等式得到最小值，当时，等号成立． 【详解】解：（1）已知，根据材料中不等式（，当且仅当时取等号），令，则． 当且仅当时，等号成立，解得（舍去）； ∴当时，代数式的最小值为6． 故答案为：3，6． （2）当时，， ∵， ∴令，，则由，得 ， 当且仅当时，中的等号成立，解得或（舍）， 即时，式子有最小值，最小值为4； （3）设，由，的面积分别是5和10， 根据等高三角形可知，， 即，整理，得， ∴四边形面积为， 当且仅当，即时取等号， 则四边形面积的最小值为． 变式4-2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 类型五、根号内为二次式的最值 例5（19-20八年级上·湖北武汉·期末）式子的最大值为 ． 【答案】 【分析】先将根号里的式子配方，根据平方的非负性即可求出被开方数的取值范围，然后算出开方后的取值范围，即可求出式子的取值范围，从而求出其最大值． 【详解】解： ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴式子的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和不等式的基本性质，掌握完全平方公式、平方的非负性和不等式的基本性质是解决此题的关键． 变式5-1（24-25八年级下·四川南充·月考）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且x，y均为正整数，求的值； (3)当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）依据题意，由，且是完全平方式，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由，且x，y均为正整数，可得，故，求出x，y的值后即可代入计算得解； （3）依据题意，由，则当时，有最大值为25，从而当时，有最大值为5，进而得解． 【详解】（1）解：∵，且是完全平方式 ∴ ∴； （2）解：∵，且x，y均为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵ ∵ ∴ ∴ ∴当时，有最大值为25． ∴当时，有最大值为5． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方式，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 变式5-2（16-17八年级上·北京房山·期中）解决下列问题： 已知二次根式 （1）当时，求的值. （2）若是正数，是整数，求的最小值. （3）若和是两个最简二次根式，且被开方数相同，求的值. 【答案】（1）；（2）1；（3）-2. 【详解】试题分析：（1）根据题意可以求得的值； （2）根据x是正数，是整数，可以求得x的最小值； （3）根据和是两个最简二次根式，且被开方数相同，可以求得x的值． 试题解析：（1）当时，； （2）若是正数，且是整数， 当时，， 的最小值是1. （3） 和是两个最简二次根式，且被开方数相同， ， 解得： 的值为-2. 类型六、构造模型求二次根式的最值 例6（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 变式6-1（25-26八年级上·四川成都·月考）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 变式6-2（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 类型七、含参数的最值讨论 例7（24-25八年级下·广东珠海·期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，，可知，而 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下列问题： (1)比较和的大小，给出过程； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)，过程见解析； (2)，大，； (3)最大值为，最小值为． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解，再比较大小即可； （2）先将分子有理化，再根据的取值即可得出答案； （3）先求出的取值范围，再根据函数的单调性，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∵当时，分母随的增大面增大， ∴随的增大面减小， 当时，取最大值，此时， 当时，分母趋近于，，但无法取到最小值， 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， 解得：， 当从增大到时，先增大后减小，但整体趋势由的增长主导，导致随增大而单调递减， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， ∴最大值为，最小值为． 变式7-1（25-26八年级下·全国·课后作业）当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 【答案】，最大值为8 【分析】本题考查的是二次根式的非负性，理解题意是解题的关键． 要使得式子有最大值，那么需取最小值，根据二次根式的非负性可知，时最小，由此可求出这个最大值． 【详解】解：由题意，得，解得． 当，即时，有最大值，最大值为8． 1.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 2.（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 3.（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）解： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 4.（18-19八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别． 5.（24-25九年级上·山西临汾·月考）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 6.（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 7.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，也考查了二次根式有意义的条件． （1）利用分母有理化得到，，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据当时，分母有最小值即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵， ， ∵， ∴， 即； （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 8.（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 9.（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．    利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； (2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：，之间的距离为：； 故答案为：5； （2）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，   ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． （3）表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小． 利用公式可得，点和之间的距离为． 即的最小值为． 10.（20-21八年级上·上海闵行·月考）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 11.（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的大小比较与最值七类题型 典例详解 类型一、平方法比较二次根式大小 类型二、倒数法比较二次根式大小 类型三、做差法比较二次根式大小 类型四、利用均值不等式求二次根式最值 类型五、根号内为二次式的最值 类型六、构造模型求二次根式的最值 类型七、含参数的最值讨论 压轴专练 类型一、平方法比较二次根式大小 例1（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 变式1-1（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）． 变式1-2（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 类型二、倒数法比较二次根式大小 例2（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 变式2-1（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 变式2-2（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 变式2-3（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 类型三、做差法比较二次根式大小 例3（23-24九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 变式3-1（16-17七年级下·江西·月考）仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较与的大小． 解： 又∵ ， ∴，即： ∴ ． 不求值比较与 的大小． 变式3-2（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 类型四、利用均值不等式求二次根式最值 二元均值不等式核心形式 二元均值不等式核心形式对非负实数 a,b，有 ​≥​，当且仅当 a=b 时等号成立。 变形 1（和定积最大）：若 a+b=k（定值），则 ab≤ ； 变形 2（积定和最小）：若 ab=k（定值），则 a+b ≥ 2​。 例4（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 变式4-1（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 变式4-2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 类型五、根号内为二次式的最值 例5（19-20八年级上·湖北武汉·期末）式子的最大值为 ． 变式5-1（24-25八年级下·四川南充·月考）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且x，y均为正整数，求的值； (3)当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 变式5-2（16-17八年级上·北京房山·期中）解决下列问题： 已知二次根式 （1）当时，求的值. （2）若是正数，是整数，求的最小值. （3）若和是两个最简二次根式，且被开方数相同，求的值. 类型六、构造模型求二次根式的最值 例6（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 变式6-1（25-26八年级上·四川成都·月考）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 变式6-2（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 类型七、含参数的最值讨论 例7（24-25八年级下·广东珠海·期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，，可知，而 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下列问题： (1)比较和的大小，给出过程； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)求的最大值和最小值． 变式7-1（25-26八年级下·全国·课后作业）当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 1.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 2.（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 3.（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 4.（18-19八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 5.（24-25九年级上·山西临汾·月考）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 6.（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 7.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 8.（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 9.（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．    利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； (2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 10.（20-21八年级上·上海闵行·月考）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 11.（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $