吴忠中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

吴忠中学2025一-2026学年第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若集合A={-12,3},B={-1,-2},则() A.ACB B.B∈A C.AnB={-2} D.AUB={-2,-1,2,3} 2.已知cos(π-a)=-4 B.5 4 D. 3.二项式2- 的展开式中常数项为() A.240 B.-240 C.15 D.-15 4.已知fd是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤x<3时，)=2x-4,则()=() A.-5 B.1 C.-1 D.5 5.已知=25=2，a在五上的投影向量为6，则a-2=() A.0 B.2 C.3 D.7 6.如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB,他选取 了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,∠BCD=15°，∠CDB=105° CD=20m,在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为() A.20(V6+√2)m B.5(N6+2)m C.10(6+2m D.206-2)m 7.四面体ABCD中，AB1平面BCD,AB=2反，∠CBD=牙，CD=V5,则该四面体的外接球 的表面积为（) A.4π B.4V3π C.12√3元 D.12元 高三数学试卷第1页共4页 8.在平面直角坐标系中，直线1与圆C:x2+y2+2x-2y=0交于A,B两点，且△ABC的面积为1， 已知M是圆C上的动点，则MAM的最大值为() A.2√2+1 B.2W2+2 C.4+√2 D.4+2W2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“20242025学年中学生天文知识竞赛”，并 随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进 行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法不正确 的是() 频率 A.直方图中x的值为0.035 个组距 0.04 B.估计全校学生的平均成绩不低于80分 C.估计全校学生成绩的样本数据的第60百分位数约为60分 0.015- 0.010 D.在被抽取的学生中，成绩在区间[60,70)的学生数为10 0.005 05060708090100人数 10.以下结论正确的是（) A.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB B.nx+年的最小值是4 C。已知向量a=(2)b=),且a与a+汤的夹角为锐角，则入的取值范围是(+) D.若m+刘房则og=号 11.已知首项为2的数列{a,}的前n项和为S,且S=2S,+21，则（) A.42=6 B. S. 是等差数列 C. 12 是等差数列 D.若Sn>n2+30n,则n的最小值为5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a,b∈R,复数(a+i)(1+i)=2+bi,则a+bi= 13.已知m(a-A)=}ta=2g,则sn(a+m 高三数学试卷 第2页共4页 14.己知f(x)= x+2+1,x≤0 Inx,x>0 ,若存在实数a<b<c,满足f(a)=f)=fo),则af(a)+bfb)+2cf(c) 的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(13分) 已知{a}为公差不为零的等差数列，其中a,42,4成等比数列，a+a=12. (1)求数列{a}通项公式： ②)记6，之，设地的前”项和为S,求最小的正整数”，使得S>03 16.(15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，APL平面BCD,∠BCD=90°，AB=AC=2,CD=1,BC=2√2 (1)求证：平面ABC⊥平面ACD; (2)求直线AC与平面ABD所成角的正切值. 高三数学试卷第3页共4页 17.(15分) 已知0为坐标原点，2(m,2)位于抛物线C:y2=2px(p>0)上，且到抛物线的准线的距离 为2. (1)求抛物线C的方程； (2)己知点A(-2,4),过抛物线焦点的直线1交C于M,N两点，求☑AV的最小值以及 此时直线1的方程， 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(c-2 a)cosB=b2cosA-√3sinC (1)求B: @若D足边4C上近4的等分点，a2,n=2,求AAC的面跳 (3)若△ABC为锐角三角形，且b=√5，求2a-c的取值范围. 19.(17分) 已知f)-2nrm2+0-2mx+ (1)若m=1时，求f(x)在1,4上的最大值和最小值： (2)若f(x)≤0恒成立，求m的取值范围； ⑧设cY,a2,证明：n四生0之+片日 2 4 3 n 高三数学试卷 第4页共4页2025-2026年度第一学期期末考试 (数学参考答案) 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 D B A C D B ACD AD 题号 11 答案 ABC 1.D【解】对A,因为2∈A,但2EB,所以A≤B不成立，故A错误： 对B,因为-2∈B,但-2A,所以BsA不成立，故B错误； 对C,A∩B={-},故C错误；对D,AUB={-2,-1,2,3},故D正确 故选：D 2.B【解】由cak@)号coaa=专所以ma+分oa-青放途：B 4 2 3.B【解】二项式2G- 的展开式的通项公式为-C矿(（少产G学， 令6”=0，得=2，所以=项式2 的展开式中常数项为(-1)2.2-2.C%=24×15=240 2 故选：A 4.c【解】由题意科(-)-〔)（子小-1放选：c 5.B【解】设向量a与6的夹角为0， 因为向量ā在6上的投影向量为6， 所以cos6. -8，件-科，e8o-分 因此a-2万=a-25)=+4-4a6=海+4有-4本1本o0 又同=25=2，cos9=分，所以la-2万-a-20=v+46-4d5cms9=2+4xr-4×2x1x)-2 故选：B 6.C【解】由题可知，在△BCD中，∠BCD=15°，∠CDB=105°，故∠CBD=60°， sm2c8Dm∠c0s,因为sinl05°=sim(45°+60=y5x1,V2,3_V6tV2 由正弦定理，得，CD BC 2222 4 所以BC= 20sin105° 20xV6+V5 4 10×(W6+√2) sin60° 3 √3 2 因为在ABc中，BCtA∠C5-1o6+V万=16 故选：C 答案第1页，共7页 7.D【解】如图所示，圆O为△BCD的外接圆，过O作直线1⊥平面BCD, 又AB⊥平面BCD,则I/IAB,连接BO,与球O交于点H,连接AH,与直线I的交 点为球心0，则00-aB,则o0B=5。 CD 在△BCD中，由正弦定理得20H=。 sin∠CBD sin- 元=2，即0H=1, 3 所以该四面体的外接球的半径R2=0H2=00+0H产=（N2)+P=3, 所以外接球的表面积S=4元R2=12π.故选：D. 8.B【解】圆C的方程可化为(x+1)+(y-1)=2,所以圆C的圆心坐标为C(-1,1),半径r=√2 设圆心C到直线I的距离为d,根据△ABC的面积为1， 得时22dd=1,即-2+1=0，所以=1，即d=1. 设AB的中点为D,则MA=MD+DA,M店=MD+DB, 因为DA=-D死，所以M8店=(M而+DA米M而+D店=(M而+DkM而-D =MD'-DA MD DAI. 由AB=22-d:=2,得1DAAB=l,而的最大值为圆心C到直线1的距离加上圆的半径， 即IM而1=d+=1+V2,所以MMB的最大值为1+V2-12=25+2.故选：B 9.ACD【解】由频率分布直方图可得10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1,故x=0.030,故A错误； 由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为： 10×(55×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95×0.040)=84>80,故B正确： 前4组的频率为10×(0.005+0.010+0.015+0.030)=0.6，故全校学生成绩的样本数据的第60百分位数大 于80，故C错误： 区间[60,70)对应的频率为10×0.01=0.1，故对应的人数为200×0.1=20，故D错误. 故选：ACD l0.AD【解】对于A,在△ABC中，A>B-a>b-sinA>sinB,A正确： 对于B,令t=sim2xe(0,1】,函数y=t+4在(0，]上单调递减，则当t=1时，t+4取得最小值为5，B错误； 答案第2页，共7页 对于C,a+历=1+元2+)，当a与a+5共线且同向时，1+2=2牛2，解得2=0， 1 2 此时a与a:2乃的夹角为，不为锐角，而0c(1),C错误： 对于n.由宁-子为coa后0=o好=停+号D正确 6 3 故选：AD 11.ABC【解】选项A:因为a=2,S1=2Sn+2+1, 令n=1,则S2=2S+22,因为S=4=2,所以S2=2×2+4=8, 又因为S2=4+42,故42=S2-4=8-2=6,选项A正确： 选项B:因为S1=23+2,则两边同时除以2，得：S=+1,即-=1,且==1， 2+2” 2”+120 21-2 是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确： 选项C:由 的通项可得： S-1+0-×1=n,即S.=2, 2 当n≥2时，a=Sn-Sn1=n-2”-(n-1)21=(n+1)2"-1, 当n=1时，4=2=(1+12°，通项成立，则-+12 2 所以：冬经生2'子所以 马是等差数列，选项C正确： 选项D:由Sn=n2”,则不等式为：t2”>n2+30, （neN,n≠0，两边除以n)得：2”>n+30, 则当n=5时：25=32,5+30=35,32<35，不成立， 当n=6时：26=64,6+30=36,64>36，成立， 所以n的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 12.5【解】由(a+i)1+i)=a+i+i+i=a-1+(a+1)i=2+bi,则 +i=6,解得a=3,b=4, a-1=2 所以a+b1=3+41=V32+42=5.故答案为：5. 1 B.-【解】已知sim(a-B)三3，则sincos6-cossin6干3 因为tana=2tan0,则sma=2si加e cosa cosB sina cosp=2cossinB, 代入上式可得2 cosasinp-cososin0=-3,解得cosasinB=,1 -3.sinacosp=-2 答案第3页，共7页 则sma+小=op+ca0=子-1，放答案为：-1 14.6e3-12【解】作出f(x)的函数图象如图所示： :存在实数a<b<c,满足f(a@)=f(b)=f(c),∴.a+b=4, ..af(a)+bf(b)+2cf (c)=(a+b+2c)f(c)=2(c-2)Inc, 由函数图象可知e<c≤e3,设g(c)=2(c-2)hc, 则g@2r1引显然gd在ee]上单调递塔。 g)小ge-41-0ge)在(ee]上为函数， ∴8(c)的最大值为g(e)=2(e3-2)1ne3=6e3-12 故答案为：6e3-12 15.【解】(1)设数列{a}首项为a,公差为d, 因为a,4,a成等比数列，所以G=aa→(a+d)'=a(a+4)→d=2a,d,又d≠0，所以d=24. 又a4+a,=12→a,+2d+a+3d=12→4+4a+4+6a=12→a=1,所以d=2. 所以a.=1+(n-1)×2=2n-1. (2)因为b=2 2 11 a.·a1(2n-1)(2n+1)2n-12n+1' 所以S,=1一3十号5 1,11 ，11 1-2n 2n-12n+1 -12i+12m+1 由，2”>2024→>1012所以m的最小值为1013 2n+12025 16.【解】(1)因为APL平面BCD,CDc平面BCD,所以AP⊥CD. 因为∠BCD=90°，所以CD⊥BC. 又因为AP∩BC=P,AP,BCC平面ABC,故CD⊥平面ABC. 又因为CDc平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD. (2)因为BC⊥CD,所以以点C为坐标原点， 以CD,CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0),B0,22,0)D1,0,0bA0,5,b),CA=(0,V2,V2),BA=(0,-5,5,BD=1,-22,0）, 设平面ABD的法向量为i=(x,y,), a1元-0即2v5:=0,令y=1得x=25,:=1,放平面D的-个法向量为i=-(25.1山， BD.i=0,x-22y=01 答案第4页，共7页 CA.n 25V5 设直线AC与平面ABD所成角为O,则sin8 c4网 2×105 即直线AC与平面ABD所成角的正弦值为 5 v B 所以直线AC与平面ABD所成角的正切值为1/2 17.【解】(1)根据题意可得m+=2,又22=2p,解方程组得m=1,p=2, 2 故所求抛物线C方程y2=4x, (2)设点M(x,y1),N(x2,y2),抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0). 当直线1的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意； 当直线1的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线1的方程为：x=y+1; 联立抛物线方程可得 y=4x K=+1消去x得：2-4w-4=0, △=16t2+16>0,得t∈R,由韦达定理得+y2=4t,y2=-4, 易知M=(化，+2，y,-4),=(2+2,y2-4), 故A☑，A=(x,+2)(2+2+6y,-4)2-4)=X,+2(飞+x)+4+y2-4(出+，)+16 耳草+年+4g4+6-g+g-348-+w16 -1+4+8]+4-416+16=8-1+21-8t-l+13. 所以当t=1时，AM.N取得最小值为13.此时直线1的方程为x-y-1=0. 18.【解】(1)因为(c-2 a)cosB=b2cosA-√3sinC, 由正弦定理可得sinCcosB-2 sin AcosB=2cos4sinB-√3 sinBsinc, sinc(3sinB +cosB)=2 (sin AcosB+cosAsinB ) 所以2 2sinCsinB+=2sin(A+B)=2sinC,又因为0<C<元，所以sinC≠0， 6 所以m8-君1，又因为0<B<,所以B+后e名 G石石所以B+石=生，故B、 3 (2)因为D是边AC上靠近A的三等分点， 所以BD-厨+4c-+(西+8C)=号A+兮c, 答案第5页，共7页 所以丽（居丽+兮c号厨+号丽c+号c-厨+4质c) 又因为a=2,BD=25,B=乃 3 3 即c2+c-2=0,解得c=1或c=-2(舍去)，所以Sc- acsinx xs 32 (3)由正弦定理可得sinA sinc sinB =2,所以a=2sinA,c=2sinC, 3 所以2ac=4sn4-2nC=4snA-2sn(r-4-B)=4sn4-2sn（gA） -4sin 4-2sin cos4+2cossin A=3sinA-3cosA 3 2 0<A<亚 2 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<A< 0<C=2 6 -A< 2, 3 所以0<A-君骨所以0<m4- A-62 所以0<25m4-君)3，所以2a-c的取值范国(Q3) 19【解】1)当m=1时，W=2x-分-x+多，则f0四-2r-1=+-2.《÷2-》, 因x∈[1,4]，则f'(y)≤0，故f(x)在[1,4]上单调递减， 所以f(m=f0=0,fa。=f(4)=42-2 （②)若m0时，因为0名如>0，不清足圆目要来： 若m>0时，f=2-x+1-2m=mc+(@n-1r-2-+20r-D,c>0 当0<x<1时，f)>0,则f()在@，片上单调递增， 当x>1时，∫(9)<0，f()在（已，+）上单调递减， m 所以x=1为f(x)的一个极大值点，也为最大值点， 答案第6页，共7页 所以Ns=哈=-2咖m文支0即可， 令go2业m子因为g例在@》上年消递减。且g00。 要使f(x)≤0恒成立，只需m≥1，即m的取值范围是1，+o); (3)由(2)知，当m=1时，f(x)≤0恒成立， 即nx≤+2-3，当且仅当=1时等号成立 4 令x=1+号，因为k≥2，所以x>1,不等式取产格小于号， 1)2 1 代入得n1+》 ++21+ 1 -3 k 4 片女2n 1 1 11 又因为k≥2时，交<kk-Dk-1友' 0-白22-23tn 将以上n-1个不等式左右分别相加，可得： 1 答案第7页，共7页吴忠中学2025-2026学年第一学期期末考试 高三数学答题卡 姓 名 班级： 考籍号： 座位号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚， 贴条形码区 并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区 域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 缺考 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 此栏考生禁填 5.正确填涂■ 标记 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1A□B□C□D A☐ B CD□ 2 A▣BC☑D□ 6 A B☑C D AOBC□ D 7 A B c D 4 AOB□CD□ 8 AOB「 c D 二、多择题（每小题6分，共18分） 9 AOBC□D□ 10A□B□CD☐ 11A▣B□CD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15。(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17。(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ HEHEEEEEEEHEEEHEEeHeeeeee-Heee 19。(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）