第05讲 空间直线、平面的垂直讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本讲义聚焦空间直线与平面垂直的核心内容，系统梳理异面直线所成角的定义与计算，直线与平面垂直的判定定理及性质应用，平面与平面垂直的判定及性质应用，以及二面角的概念与求解，构建从线线垂直到线面垂直再到面面垂直的完整知识支架。 资料以典例与变式题结合为特色，通过正方体、四棱锥等模型引导学生用数学眼光观察空间形式，借助定理推导培养逻辑推理的数学思维，规范符号与图形语言表达。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化空间观念与应用能力。

第05讲 空间直线、平面的垂直 知识点1：异面直线所成的角 知识点2：直线与平面垂直的判定 知识点3: 线面垂直性质定理的应用 知识点4：平面与平面垂直的判定 知识点5：面面垂直性质定理的应用 知识点6：二面角 知识点1：异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 【题型1异面直线所成的角】 【典例1】如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【详解】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 【变式1】已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【变式2】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】还原正方体，根据直线夹角的定义可得解. 【详解】 还原正方体可知点与点重合，如图所示， 设正方体棱长为， 则， 即为等边三角形， 即， 所以直线与所成角为， 故选：C. 【变式3】如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 知识点2：直线与平面垂直的判定 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 【题型2 证明线面垂直】 【典例2】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证： 平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于O，连结，由可证平面； （2）利用线面垂直的性质和判定定理证明. 【详解】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为2的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵为正方形的对角线 ∴ ∵，且 ∴， 又∵，， ∴. 【变式1】如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； （2）要求四棱锥的体积，根据四棱锥体积公式，（为底面积，为高），需要先求出底面正方形的面积和四棱锥的高. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以, 因为，且平面, 所以平面； （2）因为平面，所以为直线与平面所成的角， 因为是正方形，且， 所以，所以， 因为与平面所成的角为， 所以，解得：， 所以四棱锥的体积为. 【变式2】如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【详解】（1）证明：因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. （2）因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，, 故 【变式3】如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 知识点3： 线面垂直性质定理的应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 【题型3 线面垂直性质的应用】 【典例3】如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【变式1】（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）点在平面上的射影恰好落在上，推导出，从而平面，进而，由此能证明平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为，结合边长即可计算求解． 【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 【变式2】在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面AOE； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点G，连接，GF，，先证明四边形为平行四边形，可得，从而得出，从而结论得证. （2）方法一：证明为等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”即得证. 方法二：根据正方形的性质，利用线面垂直的判断和性质可得证 方法三：利用正方形的性质结合是的中点，通过计算证明即得证 【详解】（1）取的中点G，连接，GF， 因为G，F分别为，的中点，所以∥，， 又因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE. （2）（法一）连接EC， 因为为正方体，所以， 故为等腰三角形. 因为O为AC的中点， 所以 （法二）因为为正方体， 故侧棱平面ABCD. 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （法三）设正方体的棱长为1， ∵是的中点，∴， ∴， ∵四边形ABCD为正方形，∴， ∵， ∴， ∴. 【变式3】如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明； （2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得； （3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解. 【详解】（1），F是BC，PB的中点．． 又平面，平面， 平面． （2）平面ABCD，平面ABCD，． ，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB，， ，F是PB中点，， ，EB、平面PBC， 平面PBC， 平面PBC， ； （3）三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面ABCD，ABCD是矩形，， ， 三棱锥的体积为． 知识点4：平面与平面垂直的判定 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β. (4)判定定理： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 【题型4 证明面面垂直】 【典例4】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式2】如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设为中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据勾股定理可证线线垂直，进而证明线面垂直与面面垂直； （2）连接，设，连接，根据中位线可证线线平行，即可构造平行四边形，根据线线平行可证线面平行. 【详解】（1） 连接， 四边形为矩形，且，， ， 有，， ，即， 又，且，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）连接，设，连接， 易知点为中点， 点为中点， ，且， 又，， ，且， 则四边形为平行四边形， 即， 平面，且平面， 平面. 【变式3】如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可； （2）根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直. 【详解】（1）因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 知识点5： 面面垂直性质定理的应用 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 【题型5 面面垂直性质定理的应用】 【典例5】如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，由线面垂直可得线线垂直，结合勾股定理即可得证； （2）根据三棱柱体积计算公式计算即可. 【详解】（1）连接，因为，是中点，所以，， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，， 因为，，，所以； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 即三棱锥的高为， 而， 所以. 【变式1】如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 【变式2】在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 因此平面，同理可知，平面， 又，所以， 因此 且，故四边形为平行四边形， 所以 ， 又因为 ，所以． 知识点6：二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 【题型7 求二面角】 【典例7】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以 . 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 【变式1】如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 【变式2】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【详解】（1）设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 【变式3】如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需根据线面垂直的判定定理证明平面，进一步结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先说明是二面角的平面角，进一步结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）由于底面是直角梯形且，所以由得， 因为底面，平面，所以， 而，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角. 由得， 而，即， 所以在梯形中，由可得， 所以在直角中，，而， 所以，即二面角的大小为. 【题型1 直线与平面所形成的角】 【典例1】如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于 ． 【答案】 【分析】连接，可证M，N分别为的中点，且可求得，再根据正方体的性质可得∥，为异面直线MN与所成的角（或其补角），即可得答案. 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥， ， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 【变式1】在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 【题型2 二面角的计算问题】 【典例2】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，， 由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 则， 因为，所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，. (1)求证：平面 (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）根据“堑堵”定义可得，然后利用线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理可证； （2）记的中点为，证明为二面角的平面角，然后可得. 【详解】（1）因为，且为直角三角形，所以， 由直三棱柱定义可知，平面，因为平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为平面，因为平面，所以，， 因为，所以， 记的中点为，则， 所以为二面角的平面角， 因为平面，因为平面，所以， 因为， 所以，即二面角的正切值为. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明出，利用线面垂直的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理额可证得结论成立； （2）由二面角的定义可知为二面角的平面角，计算出的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】（1）由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得， 取的中点，连接， 因为，，，所以四边形为正方形， 所以，故， 再由勾股定理可得：， 又因为，则由，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且、平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 在中，，，， 所以， 因此二面角的余弦值为. 1．若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得. 【详解】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D 2．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 3．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直关系以及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】结合题意由“”能推出“”， 由“”不能推出“”，也可能或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4．如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误. 【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面， 因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知 ，而直线与直线相交， 所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 5．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【详解】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B    6．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 7．如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 【答案】 平行 【分析】构造平行四边形，结合线面平行的证明方法可得直线平面，由为等边三角形可得与的夹角. 【详解】如图，将其补成正方体，设和交于点，连接， 依题意可知，且， 即四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以直线平面． 为与的夹角， ，即为等边三角形， ，故. 故答案为：平行；. 8．在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直、线面垂直的性质定理即可证； （2）由题设易得，由线面平行的判定得，再由线面平行的性质有，最后应用线面平行的判定即可证. 【详解】（1）由，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故. （2）由为的中点，为的中点，则， 由，，则，又平面，平面平面， 所以，平面，平面， 所以平面. 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 10．如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第05讲空间直线、平面的垂直 知识导航 动冷 知识点1：异面直线所成的角 知识点2：直线与平面垂直的判定 知识点3：线面垂直性质定理的应用 知识点4：平面与平面垂直的判定 知识点5：面面垂直性质定理的应用 知识点6：二面角 知识梳理 知识点1：异面直线所成的角 (I)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把d与b'所成的角叫 做异面直线a与b所成的角（或夹角） (2)异面直线所成的角0的取值范围：0°<90° (3)当0=90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 题型精讲 中功 【题型1异面直线所成的角】 【典例1】如图，在正方体ABCD-A1B,C1D,中，异面直线A1C1与BC所成的角是() 1 D 及 D B A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式1】已知长方体ABCD-A1B,C1D1中，AA,=AD=2AB,则异面直线AC与BC1所成角的余弦 值为() 5 B. c.10 D. 910 5 4 5 【变式2】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线AB与EF所成角的大小为() A.0° B.45° C.60° D.90° 【变式3】如图，在长方体ABCD-AB1C1D,中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱CC1=4,点 E,F分别为CC1,AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的正弦值为() D C B A E B A B. 5 C. 2 3 .S 3 知识梳理 身功 2 知识点2：直线与平面垂直的判定 1.直线与平面垂直 定义 如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1与平面α互相垂直 记法 l⊥a 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 1⊥a,1⊥b,aca,bca,anb=P→l⊥a 图形语言 题型精讲 办珍 【题型2证明线面垂直】 【典例2】如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，SD垂直于底面ABCD,E为SC的中点， SD=AD,O为BD中点. S B (1)求证：SA乙/化平面BDE: (2)求证：AC⊥平面SBD 3 【变式1】如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD. S B (1)求证：AC⊥平面SDB: (2)若AB=1,直线SB与平面ABCD所成的角为60°，求四棱锥S-ABCD的体积. 【变式2】如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，E是B1A上的点，且A1E⊥平面AB,C· (1)求证：BC⊥平面AA1B1B; (2)若AA,=A1B,=2,求点C到平面AB1C1的距离. 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形，PC⊥CD. 4 R B (1)证明：CD⊥平面PAC: (2)若AP=AC=CD=1,求点A到平面PCD的距离. 知识梳理 知识点3：线面垂直性质定理的应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 →a∥b 图形语言 ①线面垂直→线线平行 作用 ②作平行线 题型精讲 冷功 【题型3线面垂直性质的应用】 【典例3】如图，已知点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC,∠ABC=90°，AE⊥PB于E, AF⊥PC于F,求证： 5 (1)BC⊥平面PAB: (2)PC⊥EF. 【变式1】（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,将△ABD沿BD折起，使得点A到达点A的位置，点A在 平面BCD上的射影O恰好落在CD上. D B (1)求证：AD⊥平面ABC: (2)求直线AC与平面BCD所成的角. 【变式2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，E,F分别为棱DD1,BB1的中点. 6 D C B A E D 二二2 B (1)证明：C1F/∥平面AOE: (2)证明：AC⊥OE, 【变式3】如图，己知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AB=1,AD=3,E,F分别是BC 和PB的中点. (1)求证：EF∥平面PAC: (2)求证：AF⊥PE: (3)求三棱锥E-PAD的体积. 7 知识梳理 知识点4：平面与平面垂直的判定 ()定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直， (2)画法： (3)记作：a⊥E, (4)判定定理： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 a 符号语言 1La,lc→a⊥p 题型精讲 珍动 【题型4证明面面垂直】 【典例4】如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是 侧棱PA的中点. P D ⊙ (1)求证：PC/元平面BDE; (2)求证：平面PCD⊥平面PAD 8 【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别是PB,CD 的中点. D C (1)求证：EF/元平面PAD: (2)求证：平面PBD⊥平面PAC. 【变式2】如图，在多面体ABCDEF中，面ABFE为矩形，ADI∥BC,AD⊥AB,AD=AE=2, AB=BC=1,DF=3. E A 的 (1)求证：平面ABFE⊥平面ABCD: (2)设G为FD中点，求证：CG/∥平面ABFE. 【变式3】如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC,M,N分别是PB,PC的中点. 9 (1)求证：MN‖平面ABC: (2)求证：平面PAC⊥平面PBC. 知识梳理 知识点5：面面垂直性质定理的应用 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 文字语言 那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 →a⊥B a la 图形语言 B ①面面垂直→线面垂直 作用 ②作面的垂线 题型精讲 中中 【题型5面面垂直性质定理的应用】 10