第04讲 空间直线、平面的平行讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本讲义聚焦空间直线与平面的平行，以基本事实4（平行线传递性）和等角定理为基础，逐步展开直线与平面平行的判定（线线平行推线面平行）、判定与性质（线面平行推线线平行），进而延伸至平面与平面平行的判定（线面平行推面面平行）和性质（面面平行推线线平行），构建递进式学习支架。 该资料以“数学思维”为核心，通过典例与变式题（如证明线面平行、面面平行）培养逻辑推理能力，结合图形语言与符号语言强化“数学语言”表达，课中助力教师分层教学，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，提升空间观念与创新意识。

第04讲 空间直线、平面的平行 知识点1：基本事实4和等角定理的应用 知识点2：直线与平面平行的判定 知识点3: 直线与平面平行的判定与性质 知识点4：平面与平面平行的判定 知识点5：平面与平面平行的性质 知识点1：基本事实4和等角定理的应用 1．基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 2．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【题型1 等角的应用】 【典例1】若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【变式1】已知空间两个角与，若，，，则 . 【变式2】若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 知识点2； 直线与平面平行的判定 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行。 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 【题型2 证明线面平行】 【典例2】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    【变式1】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【变式2】如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【变式3】如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 知识点3：直线与平面平行的判定与性质 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 【题型3 线面平行的性质】 【典例3】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【变式1】如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【变式2】已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    【变式3】如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 知识点4：平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言：如图所示． 【题型4 证明面面平行】 【典例4】如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【变式1】如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【变式2】如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG. 【变式3】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 知识点5：平面与平面平行的性质 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． (2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线平行． 【题型5 面面平行性质定理的应用】 【典例5】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【变式2】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【变式3】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：． 【题型1 等角定理的应用】 【典例1】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型2 线面平行推线线平行】 【典例2】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【变式1】如图，在五面体中，已知四边形为梯形，，求证：． 【变式2】如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 1．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 2.已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 3．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 5．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 7．（多选题）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8.（多选题）平面与平面平行，且，下列说法中正确的有（    ） A．a与内的所有直线都平行 B．a与内无数条直线平行 C．a与内的任意一条直线都不垂直 D．a与无公共点 9．已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 10．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 11．如图，在正方体 中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间直线、平面的平行 知识点1：基本事实4和等角定理的应用 知识点2：直线与平面平行的判定 知识点3: 直线与平面平行的判定与性质 知识点4：平面与平面平行的判定 知识点5：平面与平面平行的性质 知识点1：基本事实4和等角定理的应用 1．基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 2．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【题型1 等角的应用】 【典例1】若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 【变式1】已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 【变式2】若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 知识点2； 直线与平面平行的判定 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行。 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 【题型2 证明线面平行】 【典例2】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，则，据此可完成证明. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面    【变式1】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接交于，先根据中位线性质证明线线平行，得出，再根据线面平行的判定定理证明平面. 【详解】连接交于，连接，   四边形是矩形, 是的中点， 是线段的中点， 是的中位线， ， 又 平面，平面， 平面. 【变式2】如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与平行即可. 【详解】连接BD交AC于G，连接FG． ∵F、G分别为BE、BD的中点， ∴，平面ACF，DE 面， ∴平面ACF 【变式3】如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 知识点3：直线与平面平行的判定与性质 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 【题型3 线面平行的性质】 【典例3】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 【变式1】如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 【变式2】已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可得出结果. 【详解】如图所示，过作平面交平面于， 因为，所以，同样过作平面交平面于， 因为，所以，所以， 又，，所以， 又，，所以，所以. 【变式3】如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 知识点4：平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言：如图所示． 【题型4 证明面面平行】 【典例4】如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。 【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形， 且有，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，得证. 【变式1】如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行. 【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵， ∴平面平面BCHG． 【变式2】如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理进行证明. 【详解】由于分别是的中点， 所以是三角形的中位线， 所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于分别是的中点， 所以是三角形的中位线， 所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于， 所以平面PAB//平面EFG. 【变式3】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【分析】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【详解】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面 知识点5：平面与平面平行的性质 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． (2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线平行． 【题型5 面面平行性质定理的应用】 【典例5】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【分析】连接，即可证明平面，从而得到平面平面，由面面平行的性质即可得证. 【详解】连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式2】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 【变式3】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据四棱柱性质可证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】由四棱柱可知，，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面； 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. 【题型1 等角定理的应用】 【典例1】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以 或 . 故选：C 【变式1】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    【题型2 线面平行推线线平行】 【典例2】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 【变式1】如图，在五面体中，已知四边形为梯形，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】直接利用直线与平面平行的判定定理证明平面,再用性质判定． 【详解】∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面，平面平面， ∴． 【变式2】如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点， 为的中点， 又 是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 1．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 2.已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线 平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 3．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 4．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 5．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可. 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立. 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若为的中点，连接，根据重心的性质，且，即可得. 【详解】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故. 故选：A    7．（多选题）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用线面位置关系的定义和判定定理、性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行或异面，所以C错误； 对于D中，若，根据平行平面的性质，可得，所以D正确. 故选：ABC. 8.（多选题）平面与平面平行，且，下列说法中正确的有（    ） A．a与内的所有直线都平行 B．a与内无数条直线平行 C．a与内的任意一条直线都不垂直 D．a与无公共点 【答案】BD 【分析】如图，借助长方体逐项判断即可； 【详解】如图， 在长方体中，平面平面， 将平面看作平面，将平面看作平面， 平面，平面， 由长方体结构特点易知：与AB不平行，且与AB垂直，所以A，C错误. 易知两平面内由无数条直线平行，同时两平面没有交点，所以B，D正确； 故选：BD. 9．已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 【答案】或. 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面的位置关系是或. 故答案为：或. 10．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 11．如图，在正方体 中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【答案】 【分析】由线面平行的性质可得，结合已知可求的长. 【详解】平面，平面平面，平面ADC， ．是AD的中点， 是的中点， ． 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定即可证明. 【详解】连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 1 学科网（北京）股份有限公司 $