第02讲 简单几何体的表面积与体积讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本高中数学讲义聚焦简单几何体的表面积与体积，系统梳理多面体表面积（棱柱、棱锥、棱台各面面积之和）、体积公式（棱柱Sh、棱锥1/3Sh、棱台1/3h(S'+√S'S+S)），以及圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积，球的表面积（4πR²）与体积（4/3πR³），构建从多面体到旋转体、从表面积到体积的递进学习支架。 资料以题型为载体，通过典例与变式题（如正四棱台防腐处理费用计算、牧民容器容积与涂料面积），培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维推理计算，用数学语言表达结果。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过实例巩固公式应用，查漏补缺。

第02讲 简单几何体的表面积与体积 知识点1：简单几何体的表面积 知识点2：简单几何体的体积 知识点3: 圆柱、圆锥、圆台的表面积 知识点4：球的表面积与体积 知识点1 简单几何体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和． 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【典例1】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【变式1】已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【变式2】已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【题型2 棱锥表面积的有关计算】 【典例2】底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 ． 【变式1】已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【变式2】已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是 . 【题型3 棱台表面积的有关计算】 【典例3】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【变式1】乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 【变式2】若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 知识点2：简单几何体的体积 棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高） 棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高） 棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高） 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 【典例4】如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【变式1】已知圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为 ． 【变式2】在正方体中，三棱锥的体积为9，则正方体的棱长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【题型5 台体体积的有关计算】 【典例5】已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在正四棱台中，，，则该棱台的体积为 ． 【变式3】中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为 . 知识点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积 1. 表面积公式：底面积：S底＝2πr2 2. 旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算， 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 【典例6】实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的母线长为16，底面半径为6，若圆锥的高为8，则该实体模型的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. (1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 【题型7 圆台表面积的有关计算】 【典例7】某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ） A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【变式1】已知圆台的上底面面积为9π，下底面周长为16π，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A．99π B．42π C．54π D．66π 【变式2】已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 知识点4：球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝πR3. 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径． 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 【典例8】已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 【变式1】已知一个球的半径为2，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为 . 【变式3】在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为 cm． 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 【典例9】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 【变式2】已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【题型1 多面体与球体内切外接问题】 【典例1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，则该四面体外接球的体积为 . 【变式2】已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型2 球的截面问题】 【典例2】如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【变式1】18世纪英国数学家辛卜森推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为2cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 . 【变式2】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 1．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 4．若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 5．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 7．在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如下图.已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为 ． 9．已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 10．已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为 . 11．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为 mL    12．如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为 ． 13．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 14．如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 简单几何体的表面积与体积 知识点1：简单几何体的表面积 知识点2：简单几何体的体积 知识点3: 圆柱、圆锥、圆台的表面积 知识点4：球的表面积与体积 知识点1 简单几何体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和． 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【典例1】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用正四棱柱的表面积公式列式求解即可. 【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 【变式1】已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【答案】D 【分析】由于底面是菱形，借助菱形的性质进一步分析可求出菱形的边长，进而得到侧面积. 【详解】由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5， 所以侧面积为． 故选：D. 【变式2】已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【变式3】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【详解】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 【题型2 棱锥表面积的有关计算】 【典例2】底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 ． 【答案】8 【分析】利用正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 如图，由底面边长为2，高为的正四棱锥可得:, 由勾股定理得：斜高， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：8 【变式1】已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积. 【详解】 在正三棱锥中，底面边长为6，高， 且为的中心也是重心，所以， 则，所以， 即. 故答案为：. 【变式2】已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出边长为的正三角形的面积，即可得解. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 【变式3】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是 . 【答案】2 【分析】根据多面体表面积求法计算可得结果. 【详解】设正方形的边长为， 则这个八面体的表面中所有的正三角形边长均为， 所以其表面积为，解得. 故答案为：2 【题型3 棱台表面积的有关计算】 【典例3】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【变式1】乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 【变式2】若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【分析】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D 知识点2：简单几何体的体积 棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高） 棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高） 棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高） 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 【典例4】如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 【变式1】已知圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据侧面积求出圆柱的高，利用体积公式可得答案. 【详解】设高为，因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，即. 圆柱的体积为. 故选：C 【变式2】一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱及圆锥的体积计算公式即可得出结果. 【详解】由题可知，， ∴该模具的体积为， 故答案为：. 【变式2】在正方体中，三棱锥的体积为9，则正方体的棱长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用锥体的体积公式，结合割补法即可得解. 【详解】设正方体的棱长为， 易得， 所以，解得， 故正方体的棱长为3. 故选：A. 【题型5 台体体积的有关计算】 【典例5】已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 【变式1】已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 【变式2】在正四棱台中，，，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，进而利用台体体积公式进行求解. 【详解】上下底面中心分别为，连接，过点作⊥于点， 则， 因为，，所以，故， ， 由勾股定理得， 则该棱台的体积为. 故答案为： 【变式3】中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】先根据梯形面积公式求出斜高，再利用勾股定理求出正四棱台的高，最后根据正四棱台体积公式计算体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，，棱，的中点，， 连接，，，，则，分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以正四棱台的体积. 故答案为： 知识点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积 1. 表面积公式：底面积：S底＝2πr2 2. 旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算， 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 【典例6】实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 【变式1】已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为h， ，解得， . 故选：D 【变式2】如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的母线长为16，底面半径为6，若圆锥的高为8，则该实体模型的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的下底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，分别求出，即可得到该模型的表面积． 【详解】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积. 所以圆柱的下底面积为;圆柱的侧面积为;圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为. 所以该模型的表面积为. 故选：C 【变式3】在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. (1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥和圆柱的体积公式计算容积. （2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求容器的表面积. 【详解】（1）圆锥的底面半径为20cm，高为20cm，所以圆锥的容积为： （）， 圆柱的底面半径为20cm，高为50cm，所以圆柱的容积为： （）， 所以该容器的容积为： （）. （2）圆锥的侧面积为：（）， 圆柱的侧面积为：， 圆柱的底面积为：（）. 所以需要涂防水涂料的面积为：（）. 【题型7 圆台表面积的有关计算】 【典例7】某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ） A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【答案】BCD 【分析】由勾股定理可求圆台的高，判断A；由梯形面积公式可判断B，由圆台的侧面积、体积公式可判断CD. 【详解】由题意，且，可知轴截面为等腰梯形， 作于E，则， 故，即该圆台的高为，A错误； 该圆台轴截面面积为，B正确； 该圆台的侧面积为，C正确； 圆台的体积为，D正确， 故选：BCD 【变式1】已知圆台的上底面面积为9π，下底面周长为16π，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A．99π B．42π C．54π D．66π 【答案】D 【分析】先利用条件求得圆台的上下底面圆半径，利用圆台侧面积公式即得. 【详解】设圆台的上下底面圆的半径分别为， 由题意，，解得， 则圆台的侧面积为. 故选：D. 【变式2】已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴截面可得上下底面半径和母线，代入表面积公式即可. 【详解】该圆台的表面积. 故选：B 【变式3】亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】圆台的上底圆直径为3，上底圆直径为4.6，高为0.6， 过点作，垂足分别为， 故，故， 故该圆台部分的侧面积为. 故选：B 知识点4：球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝πR3. 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径． 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 【典例8】已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 【答案】 【分析】将球的半径代入球的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】①球的半径为，则它的表面积为， 故答案为：； ②球的半径为，则它的体积为， 故答案为：， 【变式1】已知一个球的半径为2，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球的表面积公式求解即可. 【详解】球的表面积为. 故选：D. 【变式2】将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为 . 【答案】 【分析】由圆锥和铁球的体积相等求出圆锥的高，再求出母线长即可. 【详解】设圆锥的高为，依题意，，解得（cm）， 所以圆锥的母线长（cm）. 故答案为： 【变式3】在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为 cm． 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】设球型小钢珠的半径为， 上升水柱的体积， 所以， ， ． 故答案为：. 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 【典例9】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 【变式1】长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的特征和勾股定理求出外接球半径，然后根据公式求出球的体积即可. 【详解】设长方体外接球的直径为， 则根据勾股定理可得. 所以长方体外接球的半径为. 所以长方体外接球的体积为. 故答案为：. 【变式2】已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球的半径为，正方体的棱长为，利用球的体积可求得球的半径，进而利用正方体的体对角线为球的直径，即可求解. 【详解】设球的半径为，正方体的棱长为， 因为球的体积为，所以，解得， 因为正方体的顶点都在球面上，所以，所以. 故选：C. 【变式3】如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据三棱锥的外接球即是正方体的外接球，运算得解. 【详解】设正方体外接球的半径为，则，即， 由题，三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 【题型1 多面体与球体内切外接问题】 【典例1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 【变式1】已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，则该四面体外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据已知条件得出，再结合长方体的外接球半径公式求解进而得出体积即可. 【详解】四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，可知， 将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 则，解得， 由于，四面体的外接球半径为， 四面体外接球的体积为. 故答案为： 【变式2】已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体体公式可求得结果. 【详解】如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，即，故该正三棱台的外接球体积为. 故选：C 【题型2 球的截面问题】 【典例2】如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解. 【详解】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 【变式1】18世纪英国数学家辛卜森推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为2cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，进而得出两个截面圆的半径，求出截面圆的面积，结合题意给的体积公式计算即可. 【详解】由球O的表面积为，得球O的半径为3， 则两个截面圆和的半径都为， 根据对称性，几何体的中截面为圆O，其面积为； 所以几何体的体积为． 故答案为：. 【变式2】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 1．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 2．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】圆锥的轴截面特征即可求. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选： 3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可． 【详解】设球的半径为，如图所示，    根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为， 球心到截面圆的距离为， 所以由， 解得， 所以球的体积为， 故选：A. 4．若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 5．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据几何体的特征，确定球心的位置位于下底面与上底面的外接圆圆心的中点，进而求得球的半径满足，进而可得表面积. 【详解】 如图，过点作于点，连接， 因为，所以， 由平面几何知识可和， 又，故，所以， 所以. 设直四棱柱的下底面与上底面的外接圆圆心为， 则的中点为球心，且. 设球的半径为，因为，所以， 所以， 所以球的表面积. 故选：A 6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且， 由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为， 则，解得， 故答案为：D. 7．在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如下图.已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出彩球的半径，圆锥的底面半径和高，从而求出，从而得到该冰淇淋模型的高为. 【详解】设彩球的半径为，则，解得， 设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的高为，则， 如图所示，，由勾股定理得， 故该冰淇淋模型的高为. 故选：B 8．已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】求出圆柱底面圆半径及高，再利用柱体体积公式求解. 【详解】由圆柱底面圆周长为，得该圆柱底面圆半径为1， 由圆柱的侧面展开图的矩形面积为，得母线长， 所以该圆柱的体积为. 故答案为： 9．已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 【答案】/ 【分析】求出正方体内切球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 10．已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为 . 【答案】18 【分析】根据正方体的对角线是外接球的直径求得棱长，然后可得表面积． 【详解】设正方体的棱长为，则其对角线为其外接球的直径，所以外接球的半径为， 由已知，， 所以正方体表面积为， 故答案为：18. 11．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为 mL    【答案】168 【分析】设正四棱台的高为，根据倒入酒的体积求出高，再求该方斗杯的容积即可. 【详解】设正四棱台的高为， 正四棱台的中截面的边长为，面积为， 倒入酒的体积为，解得， 则该方斗杯的容积为. 故答案为：.    12．如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】由棱台的结构特征可知，，结合锥体的体积公式分析求解即可. 【详解】设三棱台的高为， 因为，可知， 所以. 设，所以， 设到平面的距离为， 因为，且，所以， 所以三棱锥的体积. 故答案为：. 13．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，结合梯形的面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）取，O分别为上、下底面的中心，连接，，，得到底面，过点作，得到四边形为矩形，求得正四棱台的高为，结合台体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成， 因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为， 可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为， 所以正四棱台表面积为. （2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心， 连接，，，则底面，且，， 过点作交AO于点，则底面， 可得四边形为矩形，且，所以， 因为，所以，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 14．如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【答案】(1)平方厘米． (2)立方厘米． 【分析】（1）根据棱柱、棱台的侧面积特征计算即可； （2）根据棱柱、棱台的体积公式计算即可. 【详解】（1） 由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． （2）由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $