第01讲 基本立体图形﹑直观图讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本高中数学讲义聚焦基本立体图形与直观图核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、棱台的结构特征，延伸至圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的定义与分类，最后衔接平面图形直观图的斜二测画法，构建从空间几何体到平面表示的完整学习支架。 资料以“知识点+题型+变式”设计为亮点，通过典例解析（如棱柱结构辨析、圆柱最短距离问题）培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），借助分类讨论与推理计算（如正棱锥侧面积、圆台母线长计算）发展逻辑推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后通过易错点分析与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第01讲 基本立体图形 直观图 知识点1：棱柱的结构特征 知识点2：棱锥、棱台的结构特征 知识点3: 旋转体的结构特征 知识点4：平面图形的直观图 知识点1：棱柱的结构特征 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，… 2.棱柱的分类 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【题型1 棱柱的结构特征和分类】 【典例1】下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 【变式1】下列立体图形为平行六面体的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行六面体是一种底面为平行四边形的四棱柱‌，属于特殊的四棱柱结构，其六个面均由平行四边形组成，即可依次判断ABCD. 【详解】由平行六面体的定义， 选项A,C,D底面不为平行四边形，故A,C,D错误； 选项B满足平行六面体的特征. 故选：B. 【变式2】下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 知识点2：棱锥、棱台的结构特征 1.棱锥的结构特征 定义 有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 2.棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、… 【题型2 正棱锥及其有关计算】 【典例2】如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，求： （1）正六棱锥的高； （2）正六棱锥的斜高； （3）正六棱锥的侧棱长. 【答案】（1）6；（2）；（3）. 【分析】（1）在中求出的长度，即为正六棱锥的高； （2）在中求出的长度，即为正六棱锥的斜高； （3）在中求出的长度，即为正六棱锥的侧棱长. 【详解】∵正六棱锥的底面周长为24， ∴正六棱锥的底面边长为4. 在正六棱锥中，，H为中点，∴. ∵O是正六边形的中心， ∴为正六棱锥的高. （1）在中，，又，∴. （2）在中，. （3）在中，，∴. 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为. 【变式1】已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据正六棱锥的结构特征，借助于易求得其高线长. 【详解】 如图，因为正六棱锥的底面边长为1， 由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，. 所以正六棱锥的高为. 故选：C. 【变式2】已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高. 【答案】高为，斜高为. 【分析】在正四棱锥中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高. 【详解】如图，在正四棱锥中，作底面于点， 取中点，连接、、， 由正四棱锥的底面面积为可得，所以，. 因为，都是直角三角形，侧棱， 所以高为，斜高. 【变式3】正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出. 【详解】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A. 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题. 知识点3： 旋转体的结构特征 1.圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 2.圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 3.圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 4．球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 【题型3 圆柱的展开图及最短距离问题】 【典例3】如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为 .    【答案】 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，   ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 【变式1】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 【变式2】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【变式3】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 【题型4 圆锥的有关计算】 【典例4】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故选：D. 【变式1】在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.    【答案】 【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为， 底面半径为2母线长为4的圆锥的高为， 则圆柱的上底面为中截面，可得， ，， . 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键. 【变式2】某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：C. 【变式3】已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， . 故答案为：． 【题型5 圆台的有关计算】 【典例5】一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】(1) . (2) . 【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长. 【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接. 由已知可得上底半径，下底半径，且腰长， ∴，即圆台的高为. （2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.    【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题. 【变式1】中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D 【变式2】如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】利用扇形的弧长公式，结合已知条件，求出圆台上、下底面圆的半径和的长，再结合圆台的几何结构特征，即可求得圆台的高. 【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为， 所以在圆锥中，可得，所以， 又在圆锥中，可得，所以， 所以该圆台的高为 . 故选：A. 【变式3】圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为 cm 【答案】 【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离． 【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为, 由图得：所求的最短距离是， 设，圆心角是， 则由题意知，①， ②， 由①②解得，， ∴，则． 则绳子最短距离为cm． 故答案为：． 知识点4：平面图形的直观图 1． 斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 2.规则 ①原图形中x轴、y轴、Z轴两两垂直，直观图中，y轴、轴的夹角为45°(或135°)，z’轴与轴和轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。 3:三变与三不变 三变：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变. 三不变：平行性不改变；与x轴和轴平行的线段的长度不改变；相对位置不改变. 【题型6 斜二测画法辨析】 【典例6】关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 【变式1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 【变式2】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】（多选题）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 【题型7 斜二测画法中有关量的计算】 【典例7】已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积. 【详解】如图所示，实线表示直观图，. , , ∴直观图的面积为, 故选：C. 【点睛】本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用斜二测画法的规则，得到，且，结合勾股定理，即可求解. 【详解】由斜二测画法，可得直观图是对应的平面图形，如图所示， 因为，，可得，且， 所以. 故选：B. 【变式2】如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：B 易错一 直观图的有关计算 【典例1】如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 【变式1】如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 【变式2】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 1．若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断即可. 【详解】对于A，六棱柱有18条棱，A不是； 对于B，五棱锥的10条棱，B不是； 对于C，四棱柱有12条棱，C是； 对于D，三棱台有9条棱，D不是. 故选：C 2．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误. 故选：C. 3．下列几何体为旋转体的是（    ） A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台 【答案】D 【分析】根据旋转体定义得解. 【详解】在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体. 故选：D. 4．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 6．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解直角三角形可求点到直线AC1的距离. 【详解】 如图，连接，由正方体的性质可得，， 故到的距离为， 故选：C. 7．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 8．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是（   ） A．三边互不相等的三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角A为锐角的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】由题意，在原中，，因为，则， 又，所以，O为中点， 则，， 所以原是一个等腰直角三角形． 故选：B. 9．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 10．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】利用侧面展开图与原几何体的轴截面之间的数量关系求解即可. 【详解】如图所示， 设圆锥底面圆的半径为，高为2，母线长为， 由题意得，， 故，解得． 故答案为：. 11．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为 ． 【答案】 【分析】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，等腰梯形的腰长为棱台的侧棱长，然后根据已知数据求解即可. 【详解】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，高为3， 所以侧棱长为． 故答案为： 12．从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．    【答案】 【分析】画出轴截面，设出，由图形关系求解即可. 【详解】题图中的几何体的轴截面如图所示，   ，所以是等腰直角三角形． 又，则．设，则． 又，故， 所以所求截面面积． 故答案为： 13．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 基本立体图形 直观图 知识点1：棱柱的结构特征 知识点2：棱锥、棱台的结构特征 知识点3: 旋转体的结构特征 知识点4：平面图形的直观图 知识点1：棱柱的结构特征 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，… 2.棱柱的分类 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【题型1 棱柱的结构特征和分类】 【典例1】下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【变式1】下列立体图形为平行六面体的是（   ）. A． B． C． D． 【变式2】下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 知识点2：棱锥、棱台的结构特征 1.棱锥的结构特征 定义 有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 2.棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、… 【题型2 正棱锥及其有关计算】 【典例2】如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，求： （1）正六棱锥的高； （2）正六棱锥的斜高； （3）正六棱锥的侧棱长. 【变式1】已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高. 【变式3】正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 知识点3： 旋转体的结构特征 1.圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 2.圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 3.圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 4．球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 【题型3 圆柱的展开图及最短距离问题】 【典例3】如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为 .    【变式1】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【变式2】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【变式3】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 圆锥的有关计算】 【典例4】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.    【变式2】某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 【变式3】已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为 【题型5 圆台的有关计算】 【典例5】一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【变式1】中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ） A． B． C．1 D．4 【变式3】圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为 cm 知识点4：平面图形的直观图 1． 斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 2.规则 ①原图形中x轴、y轴、Z轴两两垂直，直观图中，y轴、轴的夹角为45°(或135°)，z’轴与轴和轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。 3:三变与三不变 三变：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变. 三不变：平行性不改变；与x轴和轴平行的线段的长度不改变；相对位置不改变. 【题型6 斜二测画法辨析】 【典例6】关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【变式1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【变式2】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【变式3】（多选题）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【题型7 斜二测画法中有关量的计算】 【典例7】已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式1】如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 易错一 直观图的有关计算 【典例1】如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【变式2】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 1．若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 2．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 3．下列几何体为旋转体的是（    ） A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台 4．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 6．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 8．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是（   ） A．三边互不相等的三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角A为锐角的等腰三角形 9．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 10．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 11．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为 ． 12．从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．    13．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $