第02讲 复数的四则运算讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本讲义聚焦复数的四则运算核心知识点，先系统梳理加减运算的代数法则，再延伸至其几何意义（坐标与向量表示），最后讲解乘除运算（含共轭复数及运算法则），构建从代数到几何、从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于题型设计（典例+变式）与几何意义的向量结合，通过具体例题培养学生几何直观（数学眼光）和运算能力（数学思维），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升用数学语言表达复数关系的能力。

第02讲 复数的四则运算 知识点1：复数的加法与减法运算 知识点2：复数的加减运算的几何意义 知识点3: 复数的乘除运算 知识点1：复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 【题型1 复数加减法的代数运算】 【典例1】计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 【变式1】已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断. 【详解】已知，，则, 所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限， 故选：D 【变式2】已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数加减法运算求解. 【详解】复数，得. 故选：A 【变式3】已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 知识点2：复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 要点诠释：复数复平面内的点平面向量 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量. 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量 【题型2 复数加减法几何意义的运用】 【典例2】已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【分析】求出复数和差的模即得． 【详解】， 故选：A． 【变式1】已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是 . 【答案】 【分析】利用向量，可得其坐标，利用几何意义得到所对应的复数． 【详解】向量． 向量对应的复数是． 故答案为：． 【变式2】若向量，分别表示复数，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义结合向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】因为，又向量，分别表示复数，， 所以表示复数， 所以． 故答案为：． 【变式3】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 知识点3：复数的乘除运算 1．共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数的共轭复数为。 2．乘法运算法则： 设，（），我们规定： 注意： 1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3．乘法运算律： (1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【题型3 复数代数形式的乘法运算】 【典例3】已知是虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式1】计算: ． 【答案】1 【分析】先利用平方差公式展开，再结合即可. 【详解】. 故答案为：1 【变式2】若复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法化简可得复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【变式3】是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 【题型4 复数的除法运算】 【典例4】已知为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则结合完全平方公式进行计算. 【详解】由题意得， 故选：A 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故选：C 【变式2】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算求得复数即可. 【详解】由题意得，. 故选：C 【变式3】是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数运算法则求结论即可. 【详解】， 故选：A. 【题型5 共轭复数的概念及计算】 【典例5】复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，根据复数除法的计算法则求出复数，再根据共轭复数的定义求出即可得解. 【详解】因为复数， 所以. 故选：A 【变式1】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】复数，则， 故选：A 【变式2】已知复数z满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的代数形式的除法求出复数，再根据共轭复数的概念明确，根据复数虚部的概念可得的虚部. 【详解】因为 ， 所以. 所以的虚部为：. 故选：B 【变式3】已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的乘法、除法运算即可. 【详解】， 则，所以， 故选：A. 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】， 故选：B 2．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3．若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再求共轭复数，即可判断其虚部. 【详解】由， 故，所以的虚部为1． 故选：A． 4．复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 5．已知复数z满足（i为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题知，利用复数的乘法、除法运算可得，再算即可. 【详解】， 则. 故选：C. 6．已知复数，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出，再利用复数的除法公式求出，从而可求解. 【详解】由，，则，则， 所以，故B正确. 故选：B. 7．（多选题）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 【答案】AD 【分析】由复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】由得， 则，，故A正确，B错误， 的实部和虚部之和为，故C错误， 对应的点为，位于第一象限，故D正确， 故选：AD 8．（多选题）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算求解，根据共轭复数，复数的模长以及虚部的概念逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，的虚部为1，，，故ACD正确，B错误； 故选：ACD. 9．若复数满足，则 【答案】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 10．已知复数，则z的共轭复数 . 【答案】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 11．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到，，再由复数的乘法运算得到的值. 【详解】由图可知，所以，，所以， 所以. 故答案为：. 12．已知为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 复数的四则运算 知识点1：复数的加法与减法运算 知识点2：复数的加减运算的几何意义 知识点3: 复数的乘除运算 知识点1：复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 【题型1 复数加减法的代数运算】 【典例1】计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【变式1】已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 知识点2：复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 要点诠释：复数复平面内的点平面向量 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量. 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量 【题型2 复数加减法几何意义的运用】 【典例2】已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 【变式1】已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是 . 【变式2】若向量，分别表示复数，，则 ． 【变式3】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点3：复数的乘除运算 1．共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数的共轭复数为。 2．乘法运算法则： 设，（），我们规定： 注意： 1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3．乘法运算律： (1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【题型3 复数代数形式的乘法运算】 【典例3】已知是虚数单位，则 . 【变式1】计算: ． 【变式2】若复数，则 . 【变式3】是虚数单位，复数 ． 【题型4 复数的除法运算】 【典例4】已知为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 共轭复数的概念及计算】 【典例5】复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数z满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 4．复数， 则（    ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足（i为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D． 6．已知复数，，若，则（   ） A． B． C． D．2 7．（多选题）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 8．（多选题）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 9．若复数满足，则 10．已知复数，则z的共轭复数 . 11．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 12．已知为虚数单位，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $