第01讲 复数的概念 讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本讲义聚焦高中数学复数的概念，系统梳理复数的基本概念（含虚数单位性质、定义及分类）、复数相等的充要条件（实部与虚部分别相等）、复数的几何意义（复平面、点与向量对应及模长），构建从代数定义到几何表示的完整学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，如复数分类辨析、模长计算等，结合易错点剖析，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达。

第01讲 复数的概念 知识点1：复数的基本概念 知识点2：复数相等 知识点3：复数的几何意义 知识点1：复数的基本概念 1、虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或 2、复数的概念 （1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数?b＝0 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0 【题型1 求复数的实部与虚部】 【典例1】已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 【变式1】复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的定义可知复数的虚部为. 故选：C. 【变式2】若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 【变式3】已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简复数，再求其虚部. 【详解】因为，所以，其虚部为2. 故选：C 【题型2 复数的分类及辨析】 【典例2】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【变式1】下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 【变式2】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 【题型3 已知复数的类型求参数】 【典例3】已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【分析】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【详解】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 【变式1】已知复数（）为纯虚数，则 ． 【答案】1 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故答案为：1. 【变式2】已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【详解】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B 【变式3】已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 知识点2：复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知求的值 【题型4 复数的相等】 【典例4】已知，其中，则 . 【答案】 【分析】根据复数相等，列出方程组计算即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式1】若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式2】已知，其中、，则 ． 【答案】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 【变式3】已知，则 . 【答案】3 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 知识点3：复数的几何意义 1.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2.复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数。 3.复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即， 若，，则表示到的距离，即 【题型5 复数的坐标表示 】 【典例5】已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义即可得答案. 【详解】复数在复平面对应的点为. 故答案为：. 【变式1】设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 【变式2】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义可得，从而求出a的取值范围． 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 【题型6 复数的几何意义-模长】 【典例6】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得到，再求模长即可. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A. 【变式1】已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数模的计算方法求解即可. 【详解】. 故选：D. 【变式2】已知为虚数单位，若，则复数的模为（    ） A．13 B．12 C．5 D． 【答案】A 【分析】代入复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 【题型7 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【典例7】已知复数，，且，则x，y满足的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】根据复数的模的概念列方程. 【详解】复数， 且， 所以. 故答案为： 【变式1】若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长. 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 【变式2】已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 【变式3】已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得. 【详解】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 易错一 复数的虚部问题 【典例1】已知i是虚数单位，则 【答案】0 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 【变式1】在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 【变式2】复数，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部. 【详解】由可得：，故的虚部为. 故选:D． 易错二 复数的几何意义 【典例2】已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 【变式2】已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则 ． 【答案】2 【分析】根据复数的几何意义得出向量，的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量的模． 【详解】由题可知，，， ，所以， 故答案为：2． 【变式3】若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 【答案】 【分析】设复数，由复平面内对应点的坐标求出复数，再计算模长可得. 【详解】设复数，则， 因为复数所对应的点的坐标为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 1．若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2．复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题可根据复数的模的计算公式来求解. 【详解】根据复数模的计算公式可得： . 故选：B 3．设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数虚部的概念得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A 4．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 5．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【详解】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 6．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 7．若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【分析】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 8．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 9．（多选题）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10．若，则 ， ． 【答案】 【分析】由相等复数的概念即可求解； 【详解】因为， 由复数相等的充要条件可知，． 故答案为：； 11．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，结合向量运算即可得解. 【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得， 因此，所以向量对应的复数是. 故答案为： 12．已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 复数的概念 知识点1：复数的基本概念 知识点2：复数相等 知识点3：复数的几何意义 知识点1：复数的基本概念 1、虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或 2、复数的概念 （1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数?b＝0 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0 【题型1 求复数的实部与虚部】 【典例1】已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【变式1】复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式3】已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 【题型2 复数的分类及辨析】 【典例2】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【变式1】下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 已知复数的类型求参数】 【典例3】已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【变式1】已知复数（）为纯虚数，则 ． 【变式2】已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3】已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 知识点2：复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知求的值 【题型4 复数的相等】 【典例4】已知，其中，则 . 【变式1】若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】已知，其中、，则 ． 【变式3】已知，则 . 知识点3：复数的几何意义 1.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2.复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数。 3.复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即， 若，，则表示到的距离，即 【题型5 复数的坐标表示 】 【典例5】已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【变式1】设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【题型6 复数的几何意义-模长】 【典例6】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1】已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【变式2】已知为虚数单位，若，则复数的模为（    ） A．13 B．12 C．5 D． 【题型7 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【典例7】已知复数，，且，则x，y满足的轨迹方程是 . 【变式1】若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 易错一 复数的虚部问题 【典例1】已知i是虚数单位，则 【变式1】在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2】复数，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 易错二 复数的几何意义 【典例2】已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【变式2】已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则 ． 【变式3】若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 1．若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 3．设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 4．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 5．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 6．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 8．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（多选题）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 10．若，则 ， ． 11．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 12．已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 1 学科网（北京）股份有限公司 $