精品解析：安徽省无为第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷

2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 故选：D. 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 3. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若点到点的距离之和恰好为两点之间的距离，则点的轨迹不是椭圆， 所以前者不能推出后者． 由椭圆的定义知，椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数，所以后者能推出前者． 故“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的必要不充分条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及逻辑条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 5. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， ，， ， 所以点P到的距离． 故选：B. 6. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则在椭圆上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，为坐标原点，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线方程公式可得直线方程，进而求解，两点的坐标，即可得面积的表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】设,, 由题意可得的方程为， 令，，则,, 故， 由于在上，故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 故，即的面积的最小值为， 故选：A 7. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 8. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可. 【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线， 设切点坐标为，则，即， 由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，， 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 10. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B正确； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即. 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以.故D正确 故选：BCD 11. 如图，在等腰中，，，，分别是线段，上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到的过程中，下列选项中正确的是（ ） A. 二面角的平面角的大小为定值 B. C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 与所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用二面角的定义求解判断A；利用余弦定理求出判断B；利用锥体的体积公式求出最大值判断C；利用异面直线所成角的定义列出函数关系求解判断D. 【详解】翻折前，，，则，翻折后，，， 由平面平面，平面平面，平面，则平面， 对于A，过点在平面内作的延长线于点，连接， 由平面，得，而平面， 则平面，又平面，则， 二面角的平面角为，由，， 得，二面角的大小为定值，A正确； 对于B，由平面，得， 设，则，， ，， 由余弦定理得，，B错误； 对于C，，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，， 而，平面，则平面， 与所成的角为，且， 而函数先递增后递减，因此与所成的角先变小后变大，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列是等比数列，利用等比中项的性质求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的表达式. 【详解】在正项数列中，，则，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则， 因为. 故答案为：. 13. 若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据在原点处的切线方程为，进而根据公切线满足的数量关系得的切点为，将其代入即可求解. 【详解】由得，所以曲线在原点处的切线 为． 由得，设切线与曲线相切的切点为． 由两曲线有公切线得，解得，则切点为． 因为切点在切线上，所以． 故答案为： 14. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，证得的图象关于点对称，再利用等差数列的下标和性质即可求出. 【详解】 ， 因为，所以的图象关于点对称， 因为数列是等差数列，所以， 故， 故数列的前17项和为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △三个顶点是，圆是△的外接圆． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入圆中，求解出参数即可. （2）分情况讨论斜率是否存在，利用直线和圆的位置关系求解即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为，，在圆上，带入坐标得 解得：，，， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离为， 若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，可得，解得 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可； （ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 （ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. ， ， 两式相减，得 ； （ⅱ）， 因为 所以，所以数列是单调递增数列， 所以数列的最小项为， 要想对恒成立， 只需， 所以参数的取值范围为. 17. 已知数列和数列满足：，其中. （1）求数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解方程组得与的通项公式，再解方程组可得、的通项公式. （2）求得的通项公式，运用分组求和、等差数列求和公式、错位相减求和可得结果. 【小问1详解】 ∵，① ，② ①+②得：， ∴是以为首项，公差为0的等差数列， ∴，③ ①-②得：， ∴是以为首项，公比为的等比数列， ∴，④ ∴由③④得：，. 【小问2详解】 ∴，令 ∴③ ④ 由③-④得： ∴ ∴. 18. 如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点. （1）求证：； （2）在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； （3）若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱锥中，底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以； （2） 当为的中点时，平面平面， 证明如下： 在正四棱锥中，，又为中点， 所以， 在正方形中，，所以， 在正方形中，，又， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可得证； （2）当为的中点时，平面平面，利用面面垂直的判定定理即可得证； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为正四棱锥的所有棱长均相等，所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正四棱锥的棱长为， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 又设交点，则， 所以有 则直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上； （ⅱ）因为与的面积之积是, 由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得： ， 即交点为的横坐标为 又设直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上， 把代入直线方程可得： ，即交点为的横坐标为， 由， 因为，所以， 即与的面积之积是. 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵坐标，再利用韦达定理来证明定值即可； （ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为定值的问题. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 3. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则在椭圆上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，为坐标原点，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 10. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 11. 如图，在等腰中，，，，分别是线段，上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到的过程中，下列选项中正确的是（ ） A. 二面角的平面角的大小为定值 B. C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 与所成的角先变小后变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则______． 13. 若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则__________． 14. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △三个顶点是，圆是△的外接圆． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 17. 已知数列和数列满足：，其中. （1）求数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点. （1）求证：； （2）在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； （3）若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $