圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 考点目录 圆与四边形综合问题 圆与函数综合问题 考点一 圆与四边形综合问题 例1.(25-26九年级上·浙江绍兴月考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长BA,CD交于点E,连结 AC,BD,AC⊥BD于点F,连结BO并延长交CD于点G,BG交AC于点H,已知∠BAC=∠EAD,BC=V3O ,CD=25. B G E (I)求证：BG⊥CD. (2)求cosLABD的值与AB的长. (③)连结OD,若P是线段AC上一点，当点P关于△OBD一边所在直线的对称点落在边BE或BC上时，求出所有满 足条件的AP的长. 【答案】()见解析 2)cos∠ABD=30, AB=4: 6 ③)AP的长为46或26或26. 31 3 【详解】(1)证明：~四边形ABCD为O的内接四边形， ∠BCD+∠BAD=180°， .∠DAE+∠BAD=180°， ∠DAE=∠BCD, ∠BAC=∠BDC=∠EAD, .ZBDC ZBCD :BC=BD, aBCD是等腰三角形， “O是等腰三角形aBCD的外心， 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 BG⊥CD; (2)解：BC=BD=√30，BG⊥CD, cD-cD-5. ÷BG=VBC2-CG=5, AC⊥BD, DCF-CDG. 2 √30CF=25×5, Cr=56 5v6 Cos∠ACD= 。。 CF =3 =30, CD 25 6 ∠ABD=LACD, c0s∠ABD=V3 BF=BC2-CF2 _230 3 2W30 COS∠ABD= BF 3 √30， ABAB 6 AB=4; (3)解：第一种情况：当点P与其对称点关于直线BD对称时， B H G D E LACD+∠CDF=LACD+∠CHG=90°， ∴.∠CHG=∠CDB, ~∠CHG=∠BHA,∠BDC=∠BAC, ∠BHA=∠BAH, ∴AB=BH, ∴HF=FA,即点H和点A关于直线BD对称， 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 “当P与H重合时，其对称点A在直线BE上， AF=√AB2-BF2=, 42- 2V3026 3 3 4V6 ·AH=2AF= 3 六AP的长为46， 3 第二种情况：当点P与其对称点关于直线BO对称时， ~△BCD是等腰三角形，BG⊥CD, ∴BG是等腰△BCD的对称轴， 当点P与BD边上的F重合时，其关于直线BO的对称点在BC上， ”AB=2V6 3 AP的长为26 第三种情况：当点P与其对称点关于直线OD对称时， 设P关于直线OD的对称点为P,PP'交OD于M,AP交OD于N, B M G D AB=BH,AH⊥BF, ∴∠ABD=∠HBD, 0B=0D, ∠OBD=∠ODB=∠ABD, OD川AB, PM PN ,∠DAE=∠ADN,∠BAN=∠AND, P'M AN ∠BAC=∠EAD, 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 ∠AND=∠ADN, :.AN AD, ~P与P关于直线OD对称， :PM P'M, :PN AN AD, DF=CD2-CF2 25 56_V30 3 3 ~P与P关于直线OD对称， ∴PM=P'M, :PN AN AD, DF =CD2-CF2 2- 5V6 V30 3 3 2 ·AD=√AF2+DF2 26 30 3 3 6, AP =2AN =2AD=26. 综上，所有满足条件的AP的长为46或26或2、6. 3 例2.(2025九年级上江苏无锡专题练习)如图1，在矩形ABCD中，AB=4v5cm,BC=4cm,点P以√3Cms的 速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为s,⊙O是 △PQB的外接圆. D 图1 图2 (1)当t=1时，⊙O的半径是_cm,⊙O与边CD的位置关系是_， (2)连接C0,则C0长的取值范围是-· (3)如图2，连接AC,当⊙O与线段AC相切时，求t的值. 【答案】(1)3cm;相交 (2)2V3≤C0≤4 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 3)1=8(2-5 【详解】(1)解：当t=1时，AP=√3cm,CQ=lcm, .PB=3v3cm,BO=3cm, P0=V35+3=6, :o0的半径=P0 =3cm; 过点O作直线OH⊥CD于H,交AB于G,如图1所示， D H C :矩形ABCD中，∠DCB=∠ABC=90°， P G B 图1 BCHG是矩形， .OG∥BC,HG=BC=4cm, .△PGO∽△PBQ, OG PO PG 1 BO PO PB2' 1 3 0G=2×3=2 :0H=4-3-5<3, 22 :O0与边CD的位置关系：相交； 故答案为：3cm,相交； (2)解：如图1所示，连接CO, 则AP=√3t,CQ=t, .PB=V3(4-t,BQ=4-t,0≤t<4, Pg=3(4-t)}2+4-)}2=2(4-t), OG PG PO 1 BO-PB-PO-2' J 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 .GG8-P6CH 2 =1PB 21 5(4-, 2 ∴0H=4-4-1-4+1 22 .0C=0H2+HC2 4-34- 14 4 =VP-41+16 =V1-2)2+12, :0≤1<4， :当t=2时，C0取最小值2√5； 当t=0时，C0取最大值4； 2W5≤C0≤4； 故答案为：2V3≤C0≤4； (3)解：过点P作PE⊥AC于E,如图2所示， D 0 :AB=4V3,BC=4, 图2 AC=45+4=8, 在R△ABC中BC= 3C, ∠BAC=30°，∠ACB=60°， 4P=3-1cg AB 43 4 BC .PQ∥AC, ∴.∠QPB=30°，∠PQB=60°， 6 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 :⊙0与线段AC相切， ..PE=PO, 2 1 解得，t=82-V5. 例3.(25-26九年级上江苏连云港·月考)【问题情境】如图，矩形ABCD中，作LEAF=45°，分别交BC边于点E, 交CD边于点F,作△AEF的外接⊙O. O. B E (图1) (图2) (图3) 【特殊体会】当∠BAE=15°时，如图1，判断DF与AF之间的数量关系是 【初步探究】当⊙O经过点D时，如图2，试探究AB、CF、AD之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当⊙O与BC相切时，如图3，解决下列问题： ①判断⊙O与CD的位置关系，并说明理由； ②若BE=5,DF=3,求EF(直接写出结果). 【答案】【特殊体会】DF=4 【初步探究】AB+CF=AD,见解析 【深入探究】①CD与⊙O相切；②217 【详解】解：特殊体会：四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， ∠EAF=45°，∠BAE=15°， ∠FAD=90°-45°-15°=30°， DF=AF: 2 初步探究：AB+CF=AD.如题图2. 四边形ABCD是矩形， ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AD=BC, ~四边形AEFD是⊙O内接四边形， > 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 ∠AEF+∠ADF=180°， ∴.∠AEF=90°. ∠EAF=45°， ∠AFE=45°=∠EAF, ∴AE=EF. LAEF=90°=LABE, ∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°. ∴LBAE=∠CEF. ·△ABE≌△ECF(AAS. ·AB=EC,BE=CF. CE +BE=BC, .AB+CF=AD. 深入探究：①CD与⊙O相切. 如图，连接OE、OF. E ∠EAF=45°， ∠E0F=2×45°=90°. ~BC与⊙O相切， OE⊥BC. ∠0EC=90°， 又∠ECF=90°， 四边形OECF是矩形， ∠0FC=90°， OF⊥CD. 又0F是半径， CD与⊙O相切. ②EF=217. 6 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 如图，延长FO交AB于点G, D E L0FD=90°=∠BAD=∠D,LE0G=90°=LB=∠BE0, :四边形ADFG、BEOG都是矩形， ∠AG0=90°，AG=DF=3,0G=BE=5, 04=AG2+BE2=32+52=34, ∴0E=0F=0A=V34, ∴EF=V0F2+0E2 34+(34=V68=27. 例4.(2024天津模拟预测)已知四边形ABCD内接于⊙O,过C、D分别作⊙O的切线I,,若（⊥I,BD为 ⊙O的一条直径，设4与交于P点 D (I)判断线段AB、AC、AD的数量关系，并证明 (2)若AC也是⊙O的一条直径，连接AP、BP,设LAPB=0,求tan0的值 【答案】(I)线段AB、AC、AD的数量关系为AB+AD=√2AC,见解析 a 【详解】(1)解：线段AB、AC、AD的数量关系为AB+AD=√2AC,证明如下： 如图1所示，过C点作CE⊥AC且使CE=CA,连接DE,OC D B 图1 12 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 ,☑为⊙O的切线切点为C、D, OC⊥CP,OD⊥DP,DP=PC, 又4⊥12， ∴四边形OCPD是正方形， ∴OC⊥BD, 又“BD为⊙O的一条直径，O为圆心， ∠BCD=90°，BC=CD, ∠BCD=90°，CE⊥AC, ∴LDCE+∠ACD=90°，∠BCA+LACD=90°， .∠BCA=∠DCE, 在BCA与△DCE中， BC=CD ∠BCA=∠DCE AC=CE △BCA≌△DCE(SAS), AB=DE,∠BAC=∠E,∠ABC=∠EDC, ~四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°， .LEDC+∠ADC=180°， 即∠ADE=180° A、D、E三点共线， ∠D0C=∠B0C=90°， ∠DAC=1∠D0C=x90°=450， 2 ∠E=∠BAC=∠B0C=x90°=45°， ∠E=∠DAC=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形，D点为AE边上一点， ∴2AC2=AE2, 即AE=√2AC AE=AD+DE=AD+AB, AD+AB=2AC. 10圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 圆与四边形综合问题、圆与函数综合问题专项训练 考点目录 圆与四边形综合问题 圆与函数综合问题 考点一 圆与四边形综合问题 例1．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，连结，，于点，连结并延长交于点，交于点，已知，，． (1)求证：． (2)求的值与的长． (3)连结，若是线段上一点，当点关于一边所在直线的对称点落在边或上时，求出所有满足条件的的长． 例2．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 例3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 例4．（2024·天津·模拟预测）已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 变式2．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，内接于，为的中点，弦交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若为的切线，的半径，，求的长． 变式3．（2025·福建泉州·模拟预测）如图1，内接于，为的直径，点在上，连接交于点，． (1)求证：是的平分线； (2)过作，过作，交于点，连接． ①如图2，连接，若，证明：； ②如图3，过点作的切线交延长线于点，若点为中点，且，求的面积．（结果保留） 变式4．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在菱形中，点P在对角线上，且，是的外接圆．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的直径．（请用两种方法作答） 考点二 圆与函数综合问题 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 例2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 例4．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式； (2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标； (3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由． 变式2．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 交轴于点． (1)求点和点的坐标； (2)以为圆心， 3 为半径作圆． ①如图1，连接是线段上的动点， 过点作的一条切线（点为切点）， 求线段的最小值； ②如图2，点为抛物线的顶点， 点在圆上，连接， 求的最大值． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ； 直线的解析式为 ； (2)如图，过作交抛物线于，以为直径作圆，圆心为，圆与直线：交于抛物线对称轴右侧的点，点到直线的距离为，过作，垂足为，再过作，垂足为，求的值； (3)如图，为抛物线上一点，过作交抛物线于另一点，连接，并延长交于点，若点总在直线上运动，求的值． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像与轴交于两点，其中点为，与轴负半轴交于点，其对称轴是直线．    (1)求二次函数的表达式； (2)圆为的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴上存在点，使得以为顶点的三角形与相似，则点坐标为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $