20.2 勾股定理的逆定理及其应用(作业)-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

20.2勾股定理的逆定理及其应用 目第1课时勾股定理的逆定理（建议用时：30分钟） 1.(2025南昌二十八中期中)一个三角形的三 (1)求证：AD⊥BC. 边长为a,b,c,由下列条件不能判断它是直 (2)求DE的长. 角三角形的是 A.a:b:c=8:16:17 B.a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=13:5:12 2.一个三角形的三条边长分别为6,8,10，那么 最长边上的高为 () A.6 B.4.5 C.4.8 D.8 3.若一个三角形的三条边长之比为5：12： 8.如下图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°， 13,周长为60cm,则它的面积为 E为AB的中点，DE⊥AB于点E,DE= A.60 cm2 B.80 cm2 C.100 cm D.120 cm" √3，BC=2,CD=4.求： 4.（2025滁州全椒期中)勾股定理最早出现在 (1)∠ABC的度数， 《周髀算经》中“勾广三，股修四，弦隅五.”3,4， (2)CE的长. 5;5,12,13;7,24,25;…这类勾股数的特点如 下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为2n一1(n >1,n为正整数)，则股为 (结果用含n的式子表示) 5.如图，在△ABC中，AC=4,BC=3,AB=5,AD 为△ABC的角平分线，则CD C D B D 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，AB=4,BC=2,BD=1, CD=√3，则∠ACB的度数为 7.如下图，在△ABC中，AB=5,BC=6,AD 为BC边上的中线，且AD=4,过点D作 DE⊥AC于点E. 100 八年级数学RJ版 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用（建议用时：30分钟） 1.古代数学文化我国南宋著名数学家秦九韶 度为12.8 n mile,/h,则该可疑船只最早何时 的著作《数书九章》里记载有这样一道题： 进入我国领海？ “问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中 斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这 道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分 别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有 多大.题中“里”是我国古代的长度单位，则 该沙田的面积为 A.78平方里 B.65平方里 C.60平方里 D.30平方里 2.如图，某港口P在东西方向的海岸线上，甲、 乙两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向 航行，甲、乙两轮船每小时分别航行12 n mile 5.综合与实践 和16 n mile,1小时后两船分别位于点A,B 主题：用一张正方形纸板制作无盖正方体形 处，且相距20 n mile..如果知道甲船沿北偏西 纸盒 40°方向航行，那么乙船沿 步骤：①如图①，将正方形纸板的边长三等 方向航行 分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个 北 角上的小正方形；②如图②，把剪好的纸板 S 折成无盖正方体形纸盒. 猜想与证明： 第2题图 第3题图 (1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上 3.如图，分别以△ABC的三边为边向外作正 ∠ABC1的大小关系. 方形，然后分别以三个正方形的中心为圆 (2)证明(1)中你发现的结论 心，以正方形边长的一半为半径作圆，记三 个圆的面积分别为S1,S2,S3·若S1十S2= S3,则△ABC的形状为 三 图① 图② 角形. 4.如下图，南北方向PQ以东为我国领海，以 西为公海.晚上10：28，我国边防反偷渡巡逻 的101号艇在A处发现其正西方向的C处 有一艘可疑船只正向我国沿海靠近，便立即 通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意 其动向.经检测，AC=10 n mile,AB= 6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速 下册课外拓展提高 101B D D 图① 图② (2)如图②，当AC边上的中线BD等于AC时，BC= /BD-CD2=6: 当BC边上的中线AE等于BC时， AE2-CE2=AC2, 即BC-(2BC)'=(45), 解得BC=8(负值已舍去). 综上所述，BC的长是6或8. 第2课时勾股定理的实际应用 1.B2.B3.D 4.A【解析】过点C作CF⊥AB于点F, 如图. 根据题意得AC=AB=5m,CF=DE= 3m. B 由勾股定理可得AF十CF=AC2, ∴.AF=√AC2-CF=√5-32=4(m), E D ∴.BF=AB-AF=5-4=1(m), .此时秋千上升的高度为1m. 5.(2√6+2√2)【解析】如图所示，△BCD 是等腰直角三角形，△ACD是等边三角 形.在Rt△BCD中，CD=√BC+BD =4Ecm,则BE=CE=2CD 2√2cm.,AC=CD=4√2cm, ∴.在Rt△ACE中，AE=√AC-CE=2√6cm, ∴.AB=AE+BE=(2√6+2√2)cm,即从点A爬到点 B的最短距离为(2√6+2√2)cm. 6.解：(1)：∠AFC=90°，AF=24m,CF=7m, .AC=√AF+CF=√/24'+7=25(m). BF=AF-AB=24-18=6(m), .BC=√CF+BF=√/7+6=√/85(m), ,.CE=AC-BC=(25-√/85)m. 故男子需向右移动的距离为(25一√85)m. (2),需收绳长=AC-CF=25一7=18(m), 且该男子以0.5m/s的速度收绳， “收绳时间=0.5 18 36(s). .36>30, .该男子不能在30s内将船从A处移动到岸边F的 位置. 第3课时勾股定理的作图与计算 1.C2.B 3.C【解析】如图，在等腰三角形ABC1中，腰AC,=AB =√22+2=√8=2√2： 在等腰三角形ABC2中，腰BC,=AB=√2+2=√⑧ =22; 在等腰三角形ABCg中，腰AC, BC,=√+3=√/10： 在等腰三角形ABC4中，腰AC,= BC,=√4+2=√20=25； 在等腰三角形ABC。中，腰AC6= BC,=√32+5=√34. 故格点C有5个. 4.√/10-15.> 6.6cm【解析】：将长方形ABCD折叠，使点B与点 D重合，.ED=BE. 设AE=x,则ED=BE=9-x. 在Rt△ABE中，AB2+AE=BE, .32十x2=(9-x)2,解得x=4, 1 六SaAe=2AB·AE=2X3X4=6(cm). 7.解：(1)如图，点P即为所求。 B 取格点M,N(使得CM=BM,MN⊥BC),作直线 MN交AC于点P,点P即为所求. (2)如图，连接PB,则PC=PB. 设PC=PB=x,则PA=6-x. 在Rt△ABP中，PA2+AB=PB2, 13 (6一x)2+4=x,解得x=3 ·PA=6-135 Γ3=31 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.A2.C 3.D【解析】设三角形的三条边长分别为5.x,12x,13x. 根据题意，得5.x+12x+13.x=60,解得x=2,∴.三条 边长分别为10,24,26.102十242=26，.该三角形 为直角三角形.故该三角形的面积为2×10×24= 120(cm). 4.2n2-2n 4 5.3 6.90°【解析】BC=2,BD=1,CD=√5， .BD2+CD2=1+3=4=BC2, ∴△CDB是直角三角形，∠CDB=90°， .∠CDA=90°. AB=4,BD=1, ..AD=AB-BD=3, ∴.AC=VAD+CD=W32+(5)2=2√5， 下册参考答案 27△ .∴.AC2+BC2=12+4=16=AB2, △ABC是直角三角形，∠ACB=90°. 7.解：(1)证明：BC=6,AD为BC边上的中线， .BD-DC-7BC-3. AD=4,AB=5, .BD*+AD2=AB2, ∴.∠ADB=90°， 即ADBC. (2),AD⊥BC,AD为BC边上的中线， ∴.AB=AC=5」 :Sa=2AD·DC=2AC·DE, 号×4X3-号x5DE 1 解得DE=2.4. 8.解：(1)如图，连接BD. E为AB的中点，DE⊥AB, .'BD=AD.AE=BE. :∠DAB=30°，DE=√3， ∴.∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=23, ∴.AE=BE=√(23)2-(3)2=3. BC2+BD=2+(23)2=16=CD2, .△BCD是直角三角形，∠CBD=90° ∴.∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+90°=120°， (2)如图，过点C作CF⊥AB,交 D AB的延长线于点F,则∠BFC =90°.由(1)，可得∠CBF=180°A -∠ABC=60. ∠BFC=90°， .∠BCF=30°， F= 2BC=1. ..EF=BE+BF=4. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得CF=√BC2-BF =3. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE=√EF+CF= W42+(5)2=√19. 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 1.D2.北偏东50° 3.直角【解析】由题意，得S,=x(2AC)=AC。 S=x(分BC)=xBC,S,=x(2AB)厂 AB.:S,十S,=S,即号AC+青BC= 1 4元ABAC+BC=AB,△ABC为直角三 1 角形. 4.解：，AB2+BC2=62+82=100=10=AC2, ∴.△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°. 428 八年级数学RJ版 又SE=号AC,BD=AB·BC号X10: 1 BD-2X6X8, 解得BD=4.8 n mile. 在Rt△BCD中，CD=BC2-BD2=82-4.82=40.96, 解得CD=6.4 n mile.. 故该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时 间为6.4÷12.8=0.5(h), 该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上 10:58. 5.解：(1)∠ABC=∠A1B1C1. (2)证明：，AB1为正方形对角线， ∴∠A,B,C=2×90r=45 如图，连接AC.设每个小正方形的边长 为1， 则AB=√+3=√10， AC=√+2=√5，BC=√1+2 =5, .BC2+AC2=AB,且AC=BC, ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BCA=90°， .∠ABC=45°，∴.∠ABC=∠A1B,C1. 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 1.A2.C3.B4.A 5.144°6.(x+180)°7.80° 8.解：设∠A=x,则∠B=2x, ∴∠C=∠A=x,∠D=∠B=2x. :∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴x+2x十x+2.x=360°，解得x=60°， .∠A=60°，∠B=120°，∠C=60°，∠D=120°. 9.解：(1)∠1+∠2=90°.理由： ,BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线， .∠1=∠ABE,∠2=∠ADF :∠A=∠C=90°， .∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°， .2(∠1+∠2)=180°， ∴.∠1+∠2=90°. (2)BE∥DF.理由： :在△FCD中，∠C=90°， .∠DFC+∠2=90°. ,∠1+∠2=90°，.∠1=∠DFC,.BE∥DF. 21.1.2多边形及其内角和 1.C 2.B【解析】如图，AB∥CD, A不1 ∴.∠4+∠5=180°. ,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =360°， ∴.∠1+∠2+∠3=180°.