23.1 一次函数的概念-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第二十三章 一次 23.1一次 知识要点扫描 一次函数的概念 一般地，形如y=kx十b(k,b是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时， 概念 y=k.x十b即y=kx,形如y=kx(k是常 数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k 叫作比例系数 (1)当b=0时，y=kx十b变为y=kx,所以 说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一 次函数不一定是正比例函数，下图可表示出 它们的关系. 知识 一次函数 详解 正比例函数 (2)一次函数必须同时满足以下条件：①函 数的解析式是整式；②自变量的次数为1： ③自变量的系数不为0 经典例题剖析 【例1】已知y=(m2-1)x2+(m-1)x十 m,当m= 时，y是x的一次函数. 【点拨】根据一次函数的定义可知m2一1 =0且m一1≠0，由此得出答案. 【解】-1 【例2】某加油站推出促销活动，一张加油 卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加 油卡加油，每升油的价格降低0.3元.假设这 张加油卡的面值能够一次性全部用完 (1)实际花了多少钱购买会员卡？ (2)优惠后油的价格为y元/L,原价为x 元/L,求y关于x的函数解析式（不用写出自 变量的取值范围) (3)油的原价是7.3元/L,求优惠后油的 单价比原来便宜多少元？ 函数 函数的概念 【点拨】(1)由加油卡的面值及折扣直接计 算求解即可.(2)由题意可知，y=0.9(x一 0.3),整理求解即可.(3)由(2)的函数解析式 及题意可知x与y的值，再根据优惠后油的单 价比原来便宜(x一y)元，计算求解即可， 【解】(1)1000×0.9=900（元）. 故实际花了900元购买会员卡. (2)由题意可知，y=0.9(x一0.3)，整理， 得y=0.9x-0.27, ∴.y关于x的函数解析式为y=0.9x 0.27. (3)当x=7.3时，y=0.9×7.3-0.27=6.3. 7.3-6.3=1(元)， ∴.优惠后油的单价比原来便宜1元. 基础对点训练 知识点①正比例函数概念及解析式 1.(教材变式)下列函数中，表示y是x的正比 例函数的是 A.y=-0.5x B.y=3x2 C.y2=9x D.y=2x+1 2.在y=(m十2)x+（m2一4)中，若y是x的 正比例函数，则m的值为 变式题由正比例函数确定常数变式为确 定指数 当m= 时，函数y=（m十 3)xm-?是正比例函数. 3.已知y与x成正比例关系，并且当x=1时， y=8,那么y与x之间的函数关系式为 ( A.y-5x B.y=2x C.y=6x D.y=8x 下册第二十三章 61 4.跨物理学科随着海拔的升高，大气压强下 降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量 y(单位：g/m3)与大气压强x(单位：kPa)大 致成正比例函数关系.当大气压强为36kPa 时，含氧量为108g/m3,则y与x之间的函 数关系式为 知识点②一次函数的概念及解析式 5.如果y一1与x成正比例关系，且当x=2时， y=5,那么y关于x的函数解析式是( A.y-1=x-2 B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y-1=2(x-2) 6.若关于x的函数y=(k十3)x2k-1+4x一5 是一次函数，则k的值为 ( A.1或-3 B.1或2 C.-3或2 D.1或-3或2 7.(教材变式)下列函数中，是一次函数的是 ,是正比例函数 的是 .(填序号) ①y=- 2②y= 2 ;③y=3-5x;④y= 1 -5x:⑤y=6x-2:⑥y=x(x-4)-x； ⑦y=x-6. 8.已知y=(m+1)x2-lml+n十4. (1)当m,n为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m,n为何值时，y是x的正比例函数？ 42 八年级数学RJ版 9.跨生物学学科生物学研究表明，某种蛇在 一定生长阶段，其体长y(单位：cm)是尾长 x(单位：cm)的一次函数，部分数据如下表 所示，则y与x之间的关系式为 ( x/cm 6 8 10 y/cm 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15.x D.y=15.x+45.5 10.某快递公司寄快递时的邮费y(单位：元)与 所寄物品质量x(单位：kg)之间满足函数 关系y=2x十b.当所寄物品质量为2.8kg 时，邮费为13.6元；当所寄物品质量为 4.3kg时，邮费为 元 11.跨物理学科物理实验证实：在弹性限度 内，某弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质 量x(单位：kg)满足函数关系y=kx十15. 下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所 挂物体质量的数量关系 x/kg 0 2 5 y/cm 15 19 25 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的 质量. 易错点忽略一次函数自变量的系数不为 零而致错 12.已知y=(m一3)xm-8+m+1是一次 函数，则m=第2课时函数的表示方法 1.1502.B3.D 4.解：由图象可知，AB=8cm,BC=(18-8)×1=10 (cm).当x=13时，点P运动了13s.13>8,∴.点P 在线段BC上，BP=13一8=5(cm),.P为BC的中 点.又∠CAB=90,AP三2BC=5,∴.图②中点 P的坐标为(13,5). 章末对点导练 1.D2.B3.A4.D 5.C【解析】观察图象知甲、乙两地相距400km,故A选 项结论正确，但不符合题意；慢车的速度为150÷2.5 =60(km/h),故B选项结论正确，但不符合题意；相遇 时快车行驶了400一150=250(km),故C选项结论错 误，符合题意；快车的速度为250÷2.5=100(km/h), 到达乙地用时400÷100=4(h),故D选项结论正确， 但不符合题意. 6.A【解析】：甲和丙的体积相等，甲的质量>丙的质 量，甲的密度大.乙和丁的体积相等，乙的质量> 丁的质量，∴乙的密度大.，甲和乙的质量相等，甲的 体积<乙的体积，∴.甲的密度大.综上所述，四种物质 中密度最大的是甲. 7.B【解析】由图②的折线第一段可知，点P从点A运 动到点B处，运动的时间为4s,∴.AB=4. :2AF·AB=12.AF=6 ∴.A选项说法不正确，B选项说法正确. 由图②的折线第二段可知，点P再经过2s到达点C 处，即BC=2. 由图②的折线第三段可知，点P再经过6s到达点D 处，即CD=6. 由图②的折线第四段可知，点P再经过4s到达点E 处，即DE=4,∴.C选项说法不正确. 图①中各角均为直角， ,∴.EF=AB十CD=4十6=10， .D选项说法不正确. 8.8时和189.B10.y=-2.x+3711.C12.C 第二十三章一次函数 23.1一次函数的概念 1.A2.2变式题33.D4.y=3x5.C 6.D【解析】：y=(k十3)x2-1+4x-5是一次函数， 分三种情况讨论： ①2k一1=1且k+3≠一4，解得k=1: ②k十3=0，解得k=-3: 1 ③2k-1=0,解得k=2 故k的值为1或一3或2 7.①③⑤⑥⑦①⑥ 8.解：(1)若y是x的一次函数， 则m十1≠0且2一m|=1,解得m=1. 故当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数. (2)若y是x的正比例函数， 则m+1≠0且2一m=1,n+4=0, 解得m=1,n=一4. 故当m=1,n=一4时，y是x的正比例函数. 9.A 10.16.6【解析】将x=2.8,y=13.6代入y=2x+b,得 13.6=2×2.8+b,解得b=8,∴.y与x之间的函数关 系式为y=2x十8.将x=4.3代入y=2x十8，得y= 16.6,∴.当所寄物品质量为4.3kg时，邮费为16.6元. 11.解：(1)把x=2,y=19代入y=k.x+15,得2k+15 19,解得k=2,.y与x之间的函数关系式为y=2x +15. (2)把y=20代入y=2x+15,得2x+15=20,解得 x=2.5,即所挂物体的质量为2.5kg 12.-3【解析】由y=(m一3)xm-8十m十1是一次函 m一3≠0， 数，得{ 解得m=一3. m2-8=1, 23.2一次函数的图象和性质 第1课时一次函数的图象和性质 1.A 变式题B【解析】正比例函数y=3x,k>0,.当x <0时，y<0,y随x的增大而增大. 又-2<-1<0，y2<y1<0. 一题多解法 把A(-1,y1),B(-2,y2)分别代入函数y=3x 得y1=-3,y2=-6,∴y2<y1<0. 2.D3.-24.D5.C 6.1(答案不唯一)7.一2（答案不唯一） 86名【得折1：号>复m<… ∴.一次函数y=(2k一1)x十6中，y随x的增大而减 小，2k-1<0,k<2 9.A 10.解：(1)证明：令x=3,得y=k(3一3)=0， ∴.点(3,0)在该函数的图象上 (2)将一次函数y=k(x一3)的图象向上平移2个单 位长度，得y=k(x-3)十2. 将(4，-2)代入y=k(x-3)+2,得-2=k(4-3)+ 2,解得k=一4. (3)x1一x2<0不成立.理由如下： ,k<0,∴.一次函数y=k(x一3)的函数值y随x的 增大而减小. :点A(x1,y1),B(x2,y:)在该函数的图象上，且y1 <y2, x1>x2x1-x2>0. 故x1一x2<0不成立. 11.m≤0 下册参考答案 17