22.1 函数的概念&22.2 函数的表示-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第二十二章 函数 22.1函数的概念 知识要点扫描 色基础对点训练 1.常量与变量 知识点① 常量与变量 一般地，在一个变化过程中，我们称数值 1.(教材变式)某种签字笔的售价为a元/支， 始终不变的量为常量，数值发生变化的量为 买5支签字笔共支出b元.下列说法正确的 变量. 是 2.函数的有关概念 A.a是常量时，b是变量 一般地，在一个变化过程中，如果有两个 B.a是变量时，b是常量 变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y C.a是变量时，b也是变量 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x D.无论a是常量还是变量，b都是变量 是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y 知识点② 函数的有关概念 b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 2.有下列式子：①y=3x-5;②y2=√元；③y 3.函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变 +0.1x=50;④y=√x-1.其中y是x的 量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式 函数的个数是 () 子叫作函数的解析式。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.自变量取值范围的确定 3.已知函数y=+2 x-1 x≠1)，当x=2时，对应 内容使函数解析式有意义的自变量的全体取值叫 的函数值是 ( 叙述 作自变量的取值范围 A.4 B.3 C.2 D.0 4.漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人 民对函数思想的创造性应用.某漏刻水位h (1)确定函数自变量取值范围的方法： (单位：cm)与时间t(单位：min)满足h=0.4t ①当函数解析式为整式时，自变量为全体实 +2,当h为6时，时间t的值为 数：②当函数解析式含有分式时，自变量的取 知识点③ 确定函数自变量的取值范围 值须保证分母不等于零；③当函数解析式为 二次根式时，自变量的取值范围要使被开方 中，自变量x的取值范围 知识 5.在函数y=十3 式为非负实数；④当函数解析式有零指数幂 详解 是 或负整数指数幂时，其自变量应使相应的底 A.x≥3 B.x≥-3 数不为0；⑤当函数解析式是复合形式时，须 C.x≥3且x≠0 D.x≥-3且x≠0 列不等式组，使所有式子同时有意义， (2)自变量的取值可以是无限的，也可以是有 1 6.函数y= 十(x一2)°的自变量x的取 √x+I 限的 值范围是 下册第二十二章 55 22.2函数的表示 第1课时 函数的图象 已知识要点扫描 【点拨】根据小刚离家的距离与时间的关 1.函数的图象 系，确定出图象即可，注意等车的那段时间离 家的距离是保持不变的， 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函 【答案B 内容 数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 叙述 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就 【例2】右图所示sm 是这个函数的图象 的是小强散步过程中 2000 1200 所走的路程s(单位： 一方面，函数图象上的任意点(x,y)中的 m)与步行时间 2430 70 t/min 知识 x,y都满足函数关系；另一方面，满足函数 详解 关系的任意一对有序实数对(x,y)所对应 t(单位：min)之间的函数关系图象，其中有一 的点一定在函数的图象上 时间段小强是匀速步行的，则这一时间段小强 的步行速度为 2.函数图象的画法 A.50 m/min B.40 m/min 内容 我们通常采用描点法来画函数图象，画函 200 叙述 数图象分为三步：列表、描点、连线 C. 7 m/min D.20 m/min (1)列表：表中给出一些自变量的值及其对 【点拨】根据图象可知，小强匀速步行的路 应的函数值！ 程为2000一1200=800(m),匀速步行的时间 (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量 为70一30=40(min),.这一时间段小强的步 知识 的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 详解 800 出表格中数值对应的各点。 行速度为 =20(m/min). 40 (3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把 【答案D 所描出的各，点用平滑的曲线连接起来 基础对点训练 经典例题剖析 知识点① 函数的图象及画法 【例1】小刚从家去学校，先匀速步行到车 1.将常温中的温度计插入到一杯恒温60℃的 站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速 热水中，温度计的读数y(单位：℃)与时间 行驶一段时间后到达学校.能反映小刚离家的 x(单位：min)之间的函数关系用图象可近似 距离s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函 表示为 ( 数关系的大致图象是 /m x/mi t/min t/min B B s/m s/m t/min t/min r/mi x/min C 4L56 八年级数学RJ版 2.（教材变式)匀速地向一 2 y/cm 个容器内注水（注满为 止).在注水过程中，若容 0 器中水面高度h与注水 图① 图② 第2题图 第4题图 时间t的变化规律如图所示，则这个容器的 A.48 cm2 B.54 cm2 C.108 cm2 D.36 cm2 形状可以是 变式题如图①，在口ABCD中，∠C= 60°，动点P从点A出发，沿A→B→C匀 速运动至点C后停止.设点P运动的路程 B C D 为x,△APD的面积为y.若y关于x的 3.(教材变式)请按要求在如下图所示的平面 函数图象如图②所示，则y的最大值为 直角坐标系中画出函数y=2x2一2的图象. (1)列表. (2)描点、连线， 图② (3)判断点(-5,40).(2- )是香在函数 变式题图 y=2x2一2的图象上. 5.应用意识小红星期天从家里出发骑车去舅 舅家做客（中途有折返去商店购买礼物），下 图是她本次去舅舅家所用的时间t(单位： min)与离自己家距离x(单位：m)的关系示 意图.根据图中提供的信息回答下列问题： 2.34x (1)小红家到舅舅家的路程是 m, 小红在商店停留了 min. (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小 红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶 了多少米？一共用了多少分钟？ 知识点②函数图象的应用 ↑x/m 1500 1200 4.如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B 900 600 出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A 300 0 2468101214/min 后停止.已知点P的运动速度为2cm/s,设点 P的运动时间为t(单位：s),△PAB的面积 为y(单位：cm).若y关于t的函数图象如图 ②所示，则长方形ABCD的面积为() 下册第二十二章 57△ 第2课时 函数的表示方法 知识要点扫描 位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间 函数的表示方法 的函数关系式是 () A.y=1.5(x+12)(0≤x≤10) 表示 定义 优点 缺点 方法 B.y=1.5x+12(0≤x≤10) C.y=1.5.x+12(x≥0) 把一系列自 (1)只能列出部 D.y=1.5(x-12)(0≤x≤10) 变量的值与 由表中已有自 分自变量与函 对应的函数 变量的每一个 数的对应值. 知识点③ 图象法 列 表 值列成一个 值可以直接得 (2)不容易看 3.如图所示的是底部放有一个实心 表来表示函 出相应的函 出自变量与函 铁球的长方体水槽轴截面示意图， 数关系的 数值 数之间的变化 现向水槽匀速注水.下列图象中能 方法 规律 大致反映水槽中水的深度y与注 第3题图 (1)不能直观、 水时间x之间的函数关系的是 (1)形式简洁. 形象地反映出 用含自变量 (2)能够准确地 变量之间的变 解 的代数式表 反映整个变化 析 化趋势. ∠ 法 示函数关系 过程中自变量 (2)有些实际 的方法 与函数的对 问题不能用解 应值 4.如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从 析式表示出来 点A出发，沿三角形的边以1cm/s的速度 能直观、形象地 只能得到自变 逆时针运动一周，图②是点P运动时，线段 图 用图象来表 表示出自变量 示函数关系 量与函数的近 AP的长度y(单位：cm)随运动时间x(单 法 与函数的变化 的方法 似对应值 位：s)变化的函数图象.求图②中点P的 规律 坐标. 基础对点训练 V/cm 知识点① 列表法 1.某商店某年6月初销售纯净水的数量如下 81318x/ 表所示.观察此表，利用所学的函数知识预 图② 测该年6月7日该商店销售纯净水的数量约 为 瓶。 日期 1 2 3 数量/瓶 120 125 130 135 知识点② 解析法 2.一根弹簧原长12cm,它所挂物体的质量不 超过10kg,并且所挂物体的质量每增加1kg 弹簧就伸长1.5cm.挂物后弹簧长度y(单 58 八年级数学RJ版+CD=AC2,∴.BC2+AB2=AC2,.△ABC是直角 三角形，且∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形； ③四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC= AC.0B=0D=3BD.:∠1=∠2.0A=0B. 1 ∴AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形：④当AC⊥BD 时，不能判定四边形ABCD是矩形.故能判定四边形 ABCD是矩形的条件有3个. 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,CD=AB. .CF=AE,∴.CD一CF=AB一AE,即DF=BE, .四边形EBFD是平行四边形. ,DE⊥AB,即∠DEB=90°，.四边形EBFD是 矩形. (2)在Rt△ADE中，AD=√AE+DE=√3+4=5. :DF=5,.AD=DF,∴.∠DAF=∠DFA. .CD∥AB,∴.∠DFA=∠FAB,∴.∠DAF=∠FAB, ,.AF平分∠DAB 7.C 8.证明：(1)：M是斜边AB的中点， ..AM=BM. .DM=AM, ∴.AM=BM=DM ∴.∠MAD=∠MDA,∠MDB=∠MBD, :∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD=18O°， ∴.∠MDA+∠MDB=90°， .AD⊥BD (2)ME⊥AD,AD⊥BD, .ME∥BD :DE∥AB, ∴.四边形BDEM是平行四边形， .ED=MB. .MA=MB, ∴.ED=MA. ,DE∥AM, .四边形AEDM是平行四边形， 又，AM=MD, .四边形AEDM是菱形 9.20√2【解析】如图②，：四边形ABCD是正方形， .∠B=90°，AB=BC, ..AB2+BC=AC2,2AB2=AC*. AC=40, .2AB2=402, .AB=20√2. 如图①，，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=BC, .△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB=20V2 10.A11.C 12.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD. 又BE=BE, '.△ABE≌△CBE(SAS) 16 八年级数学RJ版 (2)四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，∠ADB=45°. .DE=DA, ∴.∠DAE=∠DEA. :∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， .∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 第二十二章函数 22.1函数的概念 1.C2.C3.A4.105.D6.x>-1且x≠2 22.2函数的表示 第1课时函数的图象 1.C2.B 3.解：(1)60-206 (2)描点、连线，画出函数图象如 图所示. (3)当x=-5时，y=2×(-5)2 一2=48≠40： 当x=2时=2×()-2 、3 2 故点（一5,40）不在函数y=2x2 -2的图象上点（分-）在函数y=2-2的图 象上 4.A 变式题3√3【解析】设△APD边AD上的高为h,则 S△APm=2AD·h,其中AD固定不变.当点P在AB 段运动时，h随着x的增大而增大，对应图②中的OE 段；当点P在BC段运动时，h的值不变，对应图②中 的EF段，此时S△APD最大.由图②可知，AB=3,BC =7-3=4=AD 如图，过点B作BM⊥AD于 点M. 在Rt△ABM中，∠A=∠C= 60°，AB=3,∴.∠ABM=30°， ∴.AM= 2 AB= 3 2,·BM=VAB-AM= V-() 2 ya-AD BM- 2 5.解：(1)15004 (2)根据图象，12≤t≤14时，直线最陡，故小红在 12min一14min这一时间段速度最快，为500-600 14-12 450(m/min). (3)小红共行驶了1200+600+900=2700(m),共用 了14min. 第2课时函数的表示方法 1.1502.B3.D 4.解：由图象可知，AB=8cm,BC=(18-8)×1=10 (cm).当x=13时，点P运动了13s.13>8,∴.点P 在线段BC上，BP=13一8=5(cm),.P为BC的中 点.又∠CAB=90,AP三2BC=5,∴.图②中点 P的坐标为(13,5). 章末对点导练 1.D2.B3.A4.D 5.C【解析】观察图象知甲、乙两地相距400km,故A选 项结论正确，但不符合题意；慢车的速度为150÷2.5 =60(km/h),故B选项结论正确，但不符合题意；相遇 时快车行驶了400一150=250(km),故C选项结论错 误，符合题意；快车的速度为250÷2.5=100(km/h), 到达乙地用时400÷100=4(h),故D选项结论正确， 但不符合题意. 6.A【解析】：甲和丙的体积相等，甲的质量>丙的质 量，甲的密度大.乙和丁的体积相等，乙的质量> 丁的质量，∴乙的密度大.，甲和乙的质量相等，甲的 体积<乙的体积，∴.甲的密度大.综上所述，四种物质 中密度最大的是甲. 7.B【解析】由图②的折线第一段可知，点P从点A运 动到点B处，运动的时间为4s,∴.AB=4. :2AF·AB=12.AF=6 ∴.A选项说法不正确，B选项说法正确. 由图②的折线第二段可知，点P再经过2s到达点C 处，即BC=2. 由图②的折线第三段可知，点P再经过6s到达点D 处，即CD=6. 由图②的折线第四段可知，点P再经过4s到达点E 处，即DE=4,∴.C选项说法不正确. 图①中各角均为直角， ,∴.EF=AB十CD=4十6=10， .D选项说法不正确. 8.8时和189.B10.y=-2.x+3711.C12.C 第二十三章一次函数 23.1一次函数的概念 1.A2.2变式题33.D4.y=3x5.C 6.D【解析】：y=(k十3)x2-1+4x-5是一次函数， 分三种情况讨论： ①2k一1=1且k+3≠一4，解得k=1: ②k十3=0，解得k=-3: 1 ③2k-1=0,解得k=2 故k的值为1或一3或2 7.①③⑤⑥⑦①⑥ 8.解：(1)若y是x的一次函数， 则m十1≠0且2一m|=1,解得m=1. 故当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数. (2)若y是x的正比例函数， 则m+1≠0且2一m=1,n+4=0, 解得m=1,n=一4. 故当m=1,n=一4时，y是x的正比例函数. 9.A 10.16.6【解析】将x=2.8,y=13.6代入y=2x+b,得 13.6=2×2.8+b,解得b=8,∴.y与x之间的函数关 系式为y=2x十8.将x=4.3代入y=2x十8，得y= 16.6,∴.当所寄物品质量为4.3kg时，邮费为16.6元. 11.解：(1)把x=2,y=19代入y=k.x+15,得2k+15 19,解得k=2,.y与x之间的函数关系式为y=2x +15. (2)把y=20代入y=2x+15,得2x+15=20,解得 x=2.5,即所挂物体的质量为2.5kg 12.-3【解析】由y=(m一3)xm-8十m十1是一次函 m一3≠0， 数，得{ 解得m=一3. m2-8=1, 23.2一次函数的图象和性质 第1课时一次函数的图象和性质 1.A 变式题B【解析】正比例函数y=3x,k>0,.当x <0时，y<0,y随x的增大而增大. 又-2<-1<0，y2<y1<0. 一题多解法 把A(-1,y1),B(-2,y2)分别代入函数y=3x 得y1=-3,y2=-6,∴y2<y1<0. 2.D3.-24.D5.C 6.1(答案不唯一)7.一2（答案不唯一） 86名【得折1：号>复m<… ∴.一次函数y=(2k一1)x十6中，y随x的增大而减 小，2k-1<0,k<2 9.A 10.解：(1)证明：令x=3,得y=k(3一3)=0， ∴.点(3,0)在该函数的图象上 (2)将一次函数y=k(x一3)的图象向上平移2个单 位长度，得y=k(x-3)十2. 将(4，-2)代入y=k(x-3)+2,得-2=k(4-3)+ 2,解得k=一4. (3)x1一x2<0不成立.理由如下： ,k<0,∴.一次函数y=k(x一3)的函数值y随x的 增大而减小. :点A(x1,y1),B(x2,y:)在该函数的图象上，且y1 <y2, x1>x2x1-x2>0. 故x1一x2<0不成立. 11.m≤0 下册参考答案 17