20.2.2 勾股定理的逆定理的实际应用-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

(2)小敏的发现是正确的. 理由：b2十c2=(2n)2+(n2-1)2=4n2十(n)2 2n2+1=n+2n2+1, a2=(n2+1)2=n'+2n2+1, ∴.b2+c2=a2. n为大于1的整数， ∴a,b,c为正整数，此时a,b,c为一组勾股数，即当n 取任意大于1的整数时，a,b,c为勾股数. 11.B【解析】3,4，a为一组勾股数，.当a最大时，a =√/32十4=5；当4最大时，a=√4-32=√7.，√7 不是正整数，∴.a的值为5. 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 1.A2.D3.A 2 4.垂直5.合格6.5 7.488.24 9.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62 =45(dm). 在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45(dm), .BC+CD2=BD2. .△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，∴.BC CD. 故该车符合安全标准。 10.解：(1)在△BCD中，BC=8m,CD=6m,BD= 10m, .BC2+CD2=82+62=100,BD2=100, ..BC2+CD2=BD2, .△BCD是直角三角形，∠BCD=90°. (2)如图，过点A作AE⊥BD于点E, .∠AEB=90° .AB=AD. ·BE=DE=2BD=5m. 在Rt△ABE中，AB=13m, .AE=√AB2-BE=√132-5=12(m), 1 1 六S△Am=2BD·AE=2X10X12=60(m), 1 :S△D=2BC·CD= 2×8×6=24(m2), .S阴能部分=S△ABD一S△BD=60-24=36(m2), .阴影部分的面积为36m. 章未对点导练 1.C2.D 3.C【解析】由勾股定理，得BC=√AB十AC= √62+2=2√10 当AM LBC时，Sm=号AB·AC=号BCAM. 1 5号×6X2=×2V而，AM解得AM3 5 3 5 ≤AM<6,当AM的长度为整数值时，符 合条件的AM的值有2,3,4,5，共4个. ④6 八年级数学RJ版 4.证明：如图，过点A作AP∥BC, 交ND的延长线于点P,连 接MP, .∠PAD=∠B,∠PAM= 180°-∠C=90°. :D为AB边的中点，.AD=BD. ∠PAD=∠B, 在△PAD和△NBD中，AD=BD, ∠ADP=∠BDN, .△PAD≌△NBD(ASA), ..PD=ND,PA=NB. 又，DM⊥DN,.DM垂直平分PN, ∴.PM=MN. 在Rt△PAM中，由勾股定理，得PM=AM+PA, ..MN2=BN2+AM2. 5.D 6.45°【解析】连接AC,如图. 由题意得AC2=1+2=5,BC 1+22=5,AB2=1+32=10, .AC2+BC2=AB2,∴.△ABC是 直角三角形，∴∠ACB=90°. ,AC=BC=√5，.∠ABC=∠CAB=45. 7.解：(1)35+√17+√26 (2)证明：如图，连接BD. :BD2=42+32=25,AB2+AD2=22+42+12+22 =25, ∴AB十AD=BD,∴.∠BAD是直角 【解析】(1)AB=√22+4=2√5，AD=√+2=√5， CD=√1+4=√17，BC=√+5=√26， .四边形ABCD的周长为AB+AD+CD十BC=2√5 +√5+√17+/26=35+17+√/26. 8.解：(1)由题意，得DE=AB=1.68,∠CDB=90. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CD=BC2-BD2= 302-242=182, .CD=18, ∴.CE=CD+DE=18+1.68=19.68. 故风筝的高度CE为19.68m. (2)如图所示，连接MB. ,CM=8,CD=18, ∴.MD=CD-CM=18-8=10. 在Rt△MBD中，由勾股定理，得 MB2=MD+BD2=102+24= 676=262, .MB=26,..BC-MB=30-26=4. 故他往回收线4m.第2课时勾股定理 已知识要点扫描 解勾股定理的逆定理的实际应用题，核心 是通过三边关系判断直角三角形，步骤如下： 1.审题与建模 明确问题：确定题目是否涉及“通过边长 判断直角三角形”或“利用直角关系解决实际 问题”（如建筑垂直检测、距离定位等）. 转化模型：将实际场景抽象为三角形，标 注三边长度（或用变量表示）. 2.确定最长边 找出三边中最长的边，设为c,较短两边分 别为a,b. 3.验证 计算a2十b2和c2,比较两者是否相等， 若a2十b2=c2,则三角形为直角三角形， a,b为直角边，c为斜边；若不等，则不是直角 三角形 4.结合实际问题作答 若验证为直角三角形，进一步利用直角关 系解决问题（如求角度、证明垂直、计算面积 等)；若不是，说明无法构成直角三角形，需根 据题目要求补充其他结论， 已经典例题剖析 【例】如右图，有一块三角D 形菜园ABC,其中AB=13m, AC=12 m,BC=5 m. (1)判断菜园的边AC与BC是否垂直，并 说明理由， (2)现要扩大菜园，在边CB的延长线上找 一点D,使边AD的长为15m.菜园的面积扩 大了多少？ 【点拨】(1)利用勾股定理的逆定理求解即 可；(2)由勾股定理可得CD=9m,进而求出 的逆定理的实际应用 S△ACD一S△ACB的差值即可. 【解】(1)垂直.理由如下： '.'AB=13 m,AC=12 m,BC=5 m, ∴.AC2+BC2=169=AB2, ∴.∠ACB=90°， .AC⊥BC (2)由(1)可知，∠ACB=90°. ,AC=12m,AD=15m, ∴.CD=√AD2-AC2=9m, 1 SAACB-SAACB三2CD·AC一2BC·7 2×9X12-2×5×12=24(m2. 1 AC= 即菜园的面积扩大了24m2. 已基础对点训练 知识点勾股定理逆定理的实际应用 1.建筑工人为检测墙面是否垂直，用3m和 4m长的细绳拉直后，当墙角为直角时，第三 边长需为 () A.5m B.6m C.7 m D.8m 2.小明与小红同时从同一地点出发，小明向正 北方向走，速度是8km/h,小红的速度是 6km/h,1h后他们相距10km.由此判断小 红行走的方向是 ( A.正南 B.正东 C.正西 D.正东或正西 3.在一根长为30cm的绳子上，分别标出A, B,C,D四个点，它们将绳子分成长为5cm、 12cm和13cm的三条线段.一人握住绳子 的两个端点(A点和D点)，两人分别握住B 点和C点，将绳子拉直，会得一个 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.非三角形 下册第二十章 23 4.一根电线杆高8m,为了安全起见，在电线杆 顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一 条拉线.拉线工人发现所用线长为10m(不 计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”) 5.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得 长为2.4m,宽为0.7m,对角线为2.5m,则 这个桌面 (填“合格”或“不合 格”). 6.下图是某超市购物车的侧面简化示意图.测 得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心 的距离AB=30cm,则点C到AB的距离为 cm. 路 ④…B 第6题图 第7题图 7.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生 放学后走BA,BC两条路可到达公路，经测 量BC=60m,BA=80m,AC=100m.现需 修建一条小路从学校B到公路，则这条小路 的最短距离为 m 8.为了增强学生的环保意识和 生态意识，阳明中学在植树 节当天组织了植树活动.这B生单星C 次植树活动中，小洛所在班 第8题图 级一共植树12棵，按图中所示的方式进行 分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是 2m,则小洛所在班级植树围成的区域 (△ABC)的面积为 m2. 9.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示 意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测 AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm, 其中AB与BD之间由一个固定为90°的零 24 八年级数学RJ版 件连接，即∠ABD=90°.通过计算说明该车 是否符合安全标准. 图② 10.(2025赣州信丰期中)某校开展劳动教育课 程，并取得了丰硕成果.下图是该校开垦的 一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地 ABCD.经测量AB=AD=13m,BC= 8m,CD=6m,且BD=10m. (1)试说明：∠BCD=90°. (2)求阴影部分的面积.