20.2.1 勾股定理的逆定理-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 已知识要点扫描 =BE. 1.勾股定理的逆定理 .BE2-EA2=AC2, ∴.CE2-EA2=AC2, 定义 解题步骤 ∴.EA2+AC2=CE2, (1)先比较a,b,c的大小， ∴.△ACE是直角三角形，∠A=90°. 如果三角形的 找出最大边长.(2)计算两 勾股 三边长a,b,c 条较小边长的平方和以及 (2).D是BC的中点，BD=5, 定理 满足a2十b2= 最大边长的平方.(3)比较 ∴.BC=2BD=10. 的逆 c2,那么这个 计算结果，若相等，则是直 ,∠A=90°，AC=6, 定理 三角形是直角 角三角形，并且最长边所对 ∴.AB=√BC2-AC2=√102-62=8. 三角形 的角是直角；若不相等，则 .CE=BE,∴.CE=8-AE, 不是直角三角形 在Rt△AEC中，EA2+AC2=CE2, 2.勾股数 名称 6+AE2=(8-AE)2,解得AE= 勾股数 4 能够成为直角三角形三条边长的三个正整 基础对点训练 定义 数，称为勾股数 知识点① 勾股定理的逆定理 (1)确定三个正整数a,b,c,(2)确定最大数 判断 1.(2025瑞金月考)下列四组线段a,b,c,能组 c,(3)判断较小两个数的平方和是否等于 方法 成直角三角形的是 最大数的平方，即a2十b2是否等于c2 A.a=4,b=5,c=6 经典例题剖析 B.a=3,b=4,c=5 【例】如右图，在△ABC C.a=2,b=3,c=4 中，D是BC边的中点，DE⊥ D.a=1,b=√2，c=3 BC交AB于点E,且BE一 2.下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验 EA2=AC2. 证5>2的是 () (1)求证：∠A=90°. A.只有甲 B.只有乙 (2)若AC=6,BD=5,求AE的长度， C.甲、乙均可 D.无法确定 【点拨】(I)连接CE,由线段的垂直平分线 性质可得BE=CE,再结合BE2一EA2=AC 可得EA2十AC2=CE2,可证得结论；(2)由D 第2题图 第3题图 是BC的中点可求得BC=10,在Rt△AEC 3.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC= 中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于 6.AB的垂直平分线分别交AC,AB于点 AE的方程，可求得AE的长. D,E,连接BD,则CD的长为 () 【解】(1)如图，连接CE. 5 D是BC的中点，DE⊥BC,∴.CE A.1 c D. 4 下册第二十章 211 4.已知三角形的三边长为n,n十1，m(其中m2知识点② 勾股数 =2n十1)，则此三角形 8.下列四组数中，是勾股数的是 A.一定是等边三角形 A.0.3,0.4,0.5 B.32,42,52 B.一定是等腰三角形 C.3,4,5 C.一定是直角三角形 n D.形状无法确定 9.古代数学文化勾股定理在《九章算术》中的 5.若△ABC的三边长a,b,c满足(b-c)2十 表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除 (c2+b2-a2)2=0,则△ABC是 ( 之，即弦”.大意为c=√a2+b2(a为勾，b为 A.等腰三角形 股，c为弦).若“勾”为6，“股”为8，则“弦”为 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 10.(2025池州青阳期中)已知a=n2+1,b= D.等腰直角三角形 2n,c=n2-1. 6.(2025赣州寻乌月考)如图，已 (1)当n=3时，若a,b,c为三角形的三边 知在△ABC中，D是AB上一 长，求这个三角形的面积. 点，且AC=20,CD=12,BC= D B (2)小敏发现：当n取任意大于1的整数 15,DB=9,则△ABC的面积第6题图 时，a,b,c为勾股数.你认为小敏的发现正 为 确吗？请判断并说明理由. 7.若a,b,c是△ABC的三边长，且a,b,c满 足(a-5)2+1b-121+√c-13=0. (1)求a,b,c的值. (2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由 易错点忽略勾股数为正整数而致错 11.若3,4，a为一组勾股数，则a的值为 ( A.√7 B.5C.5或7D.5或7 2 八年级数学RJ版∠C=60°，.∠PEC=180°-∠EPC-∠C=90°， ∴EC=2PC=(2+25)cm. 6.解：在Rt△ABC中， AC=VAB+BC=√/62+8=10. 由折叠可知，AB'=AB=6,∠AB'E=∠B=90°， .B'C=AC-AB'=10-6=4. 设EB'=x,则BE=x,EC=8-x 在Rt△EB'C中， EB2+B'C2=EC2,x2+4=(8-x)2, 解得x=3,即EB'=3. 故AC的长为10，EB的长为3. 解题技巧专题利用勾股定理解决最短 路径问题 1.A 2.解：如图，连接BD交AC于点O,连接 ED交AC于点P',连接BP'. 易知BD⊥AC,且BO=DO, .BP'=DP',EP'+BP'=EP'+ DP'=ED,此时EP十BP有最小值. ,'AE=3,BE=1,.AD=AB=1十3=4. 由勾股定理，得ED=√AE十AD=5,即EP+BP 的最小值为5. 3.√1494.5 5.解：(1)如图，作点A关于CD的A 对称点A1,连接AB交CD于点 P,点P为所求， (2)如图，过点B作BE⊥AC于 点E. ,点A1,A关于CD对称，2BE=24cm, .'.A C=AC=2 cm,PA=PA,BE=12 cm, ..PA+PB=PA+PB=AB.A E=AC+CE=2 +18-4=16(cm). 在Rt△A,EB中，A1B=√BE+A1E= √/122+162=20(cm), ∴.蚂蚁爬行的最短路径长是20cm. 思想方法专题勾股定理中的方程思想 1.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H. ,AC=BC=2,∠ACB=90°，CH ⊥AB, ∴AB=2√2，AH=BH=CH =√2. .CD=AB=22. ∴DH=√CD-CH=√8-2=√6， DB=√6-√2. 2.16 3.空【解折】如图，连接BE, ,D为AB的中点，ED⊥AB, ..AE=BE. 设AE=BE=x,则CE=8-x. 在Rt△ECB中，BC2+CE =BE2, 即6+(8-x)2=x2, 解得工一5即AE-华 4.解：设体育馆楼高AC=xm,则绳子长AB=（x十 2)m. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC, .(x+2)2=x2+62, 解得x=8, ∴.体育馆楼高AC的长度为8m. 5.B 6.解：由题意，易得四边形BCEF是长方形， .BF=CE=5尺. 依题意，得BC=10尺，DE=1尺，AB=AD,∴.CD= CE-DE=4尺. 设绳索有x尺长，则AD=AB=x尺，AC=(x一 4)尺. 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB, 即102+(x-4)2=x2, 解得x=14.5, .绳索长14.5尺. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.A3.C4.C5.D 6.150【解析】：CD2+BD2=144+81=225,BC2 =225, ∴.CD+BD=CB2, ∴CD⊥AB, ∴∠ADC=90°， .AD=√AC2-CD=16, ∴.AB=AD+DB=16+9=25, 1 △ABC的面积=2×25X12=150., 7.解：(1)：(a-5)+|b-12|+√c-13=0, .a-5=0,b-12=0,c-13=0, .a=5,b=12,c=13. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169, .a2+b2=c2, .△ABC是直角三角形. 8.C9.10 10.解：(1)a=n2+1,b=2n,c=n2-1, ∴.当n=3时，a=32+1=10,b=2×3=6,c=32一1 =8. a2=102=100,b2+c2=62+82=100, .a2=b2+c2, ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边长， 5=7×6×8=21. 下册参考答案 5△ (2)小敏的发现是正确的. 理由：b2十c2=(2n)2+(n2-1)2=4n2十(n)2 2n2+1=n+2n2+1, a2=(n2+1)2=n'+2n2+1, ∴.b2+c2=a2. n为大于1的整数， ∴a,b,c为正整数，此时a,b,c为一组勾股数，即当n 取任意大于1的整数时，a,b,c为勾股数. 11.B【解析】3,4，a为一组勾股数，.当a最大时，a =√/32十4=5；当4最大时，a=√4-32=√7.，√7 不是正整数，∴.a的值为5. 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 1.A2.D3.A 2 4.垂直5.合格6.5 7.488.24 9.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62 =45(dm). 在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45(dm), .BC+CD2=BD2. .△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，∴.BC CD. 故该车符合安全标准。 10.解：(1)在△BCD中，BC=8m,CD=6m,BD= 10m, .BC2+CD2=82+62=100,BD2=100, ..BC2+CD2=BD2, .△BCD是直角三角形，∠BCD=90°. (2)如图，过点A作AE⊥BD于点E, .∠AEB=90° .AB=AD. ·BE=DE=2BD=5m. 在Rt△ABE中，AB=13m, .AE=√AB2-BE=√132-5=12(m), 1 1 六S△Am=2BD·AE=2X10X12=60(m), 1 :S△D=2BC·CD= 2×8×6=24(m2), .S阴能部分=S△ABD一S△BD=60-24=36(m2), .阴影部分的面积为36m. 章未对点导练 1.C2.D 3.C【解析】由勾股定理，得BC=√AB十AC= √62+2=2√10 当AM LBC时，Sm=号AB·AC=号BCAM. 1 5号×6X2=×2V而，AM解得AM3 5 3 5 ≤AM<6,当AM的长度为整数值时，符 合条件的AM的值有2,3,4,5，共4个. ④6 八年级数学RJ版 4.证明：如图，过点A作AP∥BC, 交ND的延长线于点P,连 接MP, .∠PAD=∠B,∠PAM= 180°-∠C=90°. :D为AB边的中点，.AD=BD. ∠PAD=∠B, 在△PAD和△NBD中，AD=BD, ∠ADP=∠BDN, .△PAD≌△NBD(ASA), ..PD=ND,PA=NB. 又，DM⊥DN,.DM垂直平分PN, ∴.PM=MN. 在Rt△PAM中，由勾股定理，得PM=AM+PA, ..MN2=BN2+AM2. 5.D 6.45°【解析】连接AC,如图. 由题意得AC2=1+2=5,BC 1+22=5,AB2=1+32=10, .AC2+BC2=AB2,∴.△ABC是 直角三角形，∴∠ACB=90°. ,AC=BC=√5，.∠ABC=∠CAB=45. 7.解：(1)35+√17+√26 (2)证明：如图，连接BD. :BD2=42+32=25,AB2+AD2=22+42+12+22 =25, ∴AB十AD=BD,∴.∠BAD是直角 【解析】(1)AB=√22+4=2√5，AD=√+2=√5， CD=√1+4=√17，BC=√+5=√26， .四边形ABCD的周长为AB+AD+CD十BC=2√5 +√5+√17+/26=35+17+√/26. 8.解：(1)由题意，得DE=AB=1.68,∠CDB=90. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CD=BC2-BD2= 302-242=182, .CD=18, ∴.CE=CD+DE=18+1.68=19.68. 故风筝的高度CE为19.68m. (2)如图所示，连接MB. ,CM=8,CD=18, ∴.MD=CD-CM=18-8=10. 在Rt△MBD中，由勾股定理，得 MB2=MD+BD2=102+24= 676=262, .MB=26,..BC-MB=30-26=4. 故他往回收线4m.