解题技巧专题&思想方法专题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

解题技巧专题 利用勾股定理解决最短路径问题 题型① 平面图形中的最短路径问题 4.古代数学文化我国古代有这样一道数学问 1.如图，在锐角三角形ABC 题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有 葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之 中，AB=3√2，∠BAC= 45°，∠BAC的平分线交BCA∠ 长几何.”题意如下：如图所示，把枯木看作一 于点D,M,N分别是AD, 第1题图 个圆柱，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8 尺(1丈=10尺)，有葛藤自点A处缠绕而上， AB上的动点，则BM十MN的最小值是 绕五周后其末端恰好到达点B处，问葛藤有 ( 多长.问题中葛藤的最短长度为 丈 A.3 B.2 C.23 D.22 5.如图①，圆柱形容器高为18cm,底面周长为 2.如右图所示，在正方形ABCD 24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一 中，E为AB上的一点，AE= 滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯 3,EB=1,P为AC上的一点， 上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到 连接EP,BP.求EP+BP的 蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内 最小值 壁B处 (1)图②是杯子的侧面展开图.请在杯沿CD 上确定一点P,使蚂蚁沿A→P→B爬行的 距离最短 (2)结合图②，求出蚂蚁爬行的最短路径长 蚂蚁 B蜂 图① 图② 题型②立体图形中的最短路径问题 3.(2025高安期中)如图，长方体三条棱的长分 别为7cm,5cm,5cm.蚂蚁从A'点出发，沿 长方体的表面爬到C点，则最短路线长是 cm. D 第3题图 第4题图 下册第二十章 19△ 思想方法专题 勾股定理中的方程思想 题型① 利用边长之间的关系求边长 题型② 利用勾股定理解决古代数学问题 1.(2025合肥期中)如图，在Rt△ABC中，AC 5.古代数学文化《九章算术》中记载 =BC=2,点D在AB的延长线上，且CD “今有竹高一丈，末折抵地，去本三 AB,则BD的长是 尺.问：折者高几何？”大意为一根4然 A.√10-√2 B.√6-√2 竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫第5题图 C.2√2-2 D.2√/2-√6 伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵 地，抵地处离原竹子根部有3尺远.问原处 还有多高的竹子.如图，则AC的长为 ) B D 第1题图 第2题图 A C.】 2.如图，在△ABC中，AB=√4I,BC=8,AC 6.古代数学文化《算法统宗》是中国古代数学 =5,则△ABC的面积为 名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算 3.如图，在△ABC中，∠C= 法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架 90°，AC=8,BC=6,D为 R 秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前 AB的中点，过D作ED⊥ D 第3题图 推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和 AB交AC于E点，则AE的 人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳 长为 索始终拉得很直，问绳索长多少.”示意图如 4.为迎接安徽省第六届全民健身运动会，倡导 下，请解答该问题。 全民运动，健康成长，某中学计划翻修学校 体育馆.如下图，有一条从楼顶垂下的绳子， 绳子顶端A固定在楼顶部，绳子自然垂下至 楼底还余2m,当绳子的下端从点C拉开 777777777777777 6m至点B时，发现绳子下端刚好接触地 面.求体育馆楼高AC的长度， 420 八年级数学RJ版∠C=60°，.∠PEC=180°-∠EPC-∠C=90°， ∴EC=2PC=(2+25)cm. 6.解：在Rt△ABC中， AC=VAB+BC=√/62+8=10. 由折叠可知，AB'=AB=6,∠AB'E=∠B=90°， .B'C=AC-AB'=10-6=4. 设EB'=x,则BE=x,EC=8-x 在Rt△EB'C中， EB2+B'C2=EC2,x2+4=(8-x)2, 解得x=3,即EB'=3. 故AC的长为10，EB的长为3. 解题技巧专题利用勾股定理解决最短 路径问题 1.A 2.解：如图，连接BD交AC于点O,连接 ED交AC于点P',连接BP'. 易知BD⊥AC,且BO=DO, .BP'=DP',EP'+BP'=EP'+ DP'=ED,此时EP十BP有最小值. ,'AE=3,BE=1,.AD=AB=1十3=4. 由勾股定理，得ED=√AE十AD=5,即EP+BP 的最小值为5. 3.√1494.5 5.解：(1)如图，作点A关于CD的A 对称点A1,连接AB交CD于点 P,点P为所求， (2)如图，过点B作BE⊥AC于 点E. ,点A1,A关于CD对称，2BE=24cm, .'.A C=AC=2 cm,PA=PA,BE=12 cm, ..PA+PB=PA+PB=AB.A E=AC+CE=2 +18-4=16(cm). 在Rt△A,EB中，A1B=√BE+A1E= √/122+162=20(cm), ∴.蚂蚁爬行的最短路径长是20cm. 思想方法专题勾股定理中的方程思想 1.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H. ,AC=BC=2,∠ACB=90°，CH ⊥AB, ∴AB=2√2，AH=BH=CH =√2. .CD=AB=22. ∴DH=√CD-CH=√8-2=√6， DB=√6-√2. 2.16 3.空【解折】如图，连接BE, ,D为AB的中点，ED⊥AB, ..AE=BE. 设AE=BE=x,则CE=8-x. 在Rt△ECB中，BC2+CE =BE2, 即6+(8-x)2=x2, 解得工一5即AE-华 4.解：设体育馆楼高AC=xm,则绳子长AB=（x十 2)m. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC, .(x+2)2=x2+62, 解得x=8, ∴.体育馆楼高AC的长度为8m. 5.B 6.解：由题意，易得四边形BCEF是长方形， .BF=CE=5尺. 依题意，得BC=10尺，DE=1尺，AB=AD,∴.CD= CE-DE=4尺. 设绳索有x尺长，则AD=AB=x尺，AC=(x一 4)尺. 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB, 即102+(x-4)2=x2, 解得x=14.5, .绳索长14.5尺. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.A3.C4.C5.D 6.150【解析】：CD2+BD2=144+81=225,BC2 =225, ∴.CD+BD=CB2, ∴CD⊥AB, ∴∠ADC=90°， .AD=√AC2-CD=16, ∴.AB=AD+DB=16+9=25, 1 △ABC的面积=2×25X12=150., 7.解：(1)：(a-5)+|b-12|+√c-13=0, .a-5=0,b-12=0,c-13=0, .a=5,b=12,c=13. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169, .a2+b2=c2, .△ABC是直角三角形. 8.C9.10 10.解：(1)a=n2+1,b=2n,c=n2-1, ∴.当n=3时，a=32+1=10,b=2×3=6,c=32一1 =8. a2=102=100,b2+c2=62+82=100, .a2=b2+c2, ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边长， 5=7×6×8=21. 下册参考答案 5△