20.1.2 勾股定理的实际应用&20.1.3-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第2课时 勾股 知识要点扫描 勾股定理的实际应用 (1)已知直角三角形的任意两边长，求第三 边长 (2)已知直角三角形的任意一边长及另外两 应用 边的关系，求另外两边长 类型 (3)证明包含平方（算术平方根）关系的几何 问题. (4)构造方程（或方程组）计算有关线段的长 度，解决生活中的实际问题 (1)在利用直角三角形解决实际问题时，一 般先从实际问题中抽象出包含直角三角形 的数学模型，把实际问题中的量抽象成线段 知识 的长度，由此转化成求直角三角形的边长的 详解 问题 (2)在非直角三角形的问题中，常作该三角 形的高，将问题转化为直角三角形模型后再 利用勾股定理进行解答 已经典例题剖析 【例】（教材变式）一架长为5m的梯子斜 靠在一竖直墙上，这时梯子底端距离墙脚3m. 若梯子的顶端向下滑动1m,则梯子的底端将 滑动 ( ) A.0 m B.1 m C.2 m D.3m 【点拨】根据题意画出如右图 所示的图形，在Rt△ABC中，利 用勾股定理求出AC的长；在 BB Rt△A1B1C中，利用勾股定理求出B1C的长， 最后由B1C一BC即可解答. 【答案】B 已基础对点训练 知识点① 勾股定理在生活中的应用 1.(教材变式)如图，有一根电线杆垂直立在地 面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电 16 八年级数学RJ版 定理的实际应用 线杆，拉线AC=BC=6m,且和地面成60°， 则电线杆引线处C离地面的高度(CD的 长)是 ( ) A.3 m B.√3mC.23mD.33m b60 D B 第1题图 第2题图 2.如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥ AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢 ( A.(24-12√3)m B.(24-8√3)m C.(24-6√3)m D.(24-4√3)m 3.(教材变式)如图所示的是一个外轮廓为长 方体的机器零件的平面示意图.根据图中标 出的尺寸（单位：mm)计算两圆孔中心A,B 之间的距离为 mm. L60 B160 -140→ 第3题图 第4题图 4.如图所示的是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚 高b=2.5m,棚长d=10m,则覆盖在棚斜 面上的塑料薄膜（阴影部分）的面积为 m2. 5.（2025滁州全椒期中)消防云梯（如图①）主 要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让 消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行 灭火、疏散等救援任务.消防云梯的使用可 以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时 间，减少救援难度和风险.如图②，已知某云 梯最多只能伸长到50m(AA'=BB'= 50m),消防车高3.4m,救人时云梯伸至最 长，在从33.4m高的A'处(A'M=33.4m) 救人后，还要从51.4m高的B处(B'M= 51.4m)救人.这时消防车从A处向着火的 楼房靠近的距离AB为多少米？ D------- A消防车 M地面 图① 图② 知识点②利用勾股定理解决最短路径问题 6.如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高 10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵 树相距12m,则喜鹊至少要飞 () A.5m B.12m C.13m D.17m 0 m 12m 第6题图 第7题图 7.(2025赣州寻乌月考)如图，在一个长方形草 坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知 AD=6m,AB=4m,该木块的较长边与 AD平行，横截面是边长为2m的正方形.一 只蚂蚁从点A爬过木块到达点C处需要走 的最短路程是 A.15m B.√/113mC.13m D.10m 8.如图，长方体的长为4cm,宽 为2cm,高为5cm.若用一根5cm 细线从点A开始经过4个侧 V2 cm 4 cm 第8题图 面缠绕一圈到达点B,则所用 细线的长度最短为 cm. 9.数形结合思想如图①，圆柱的底面直径为 6cm,高12cm.蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究 蚂蚁从点A爬到点B的最短路径 C B C 图① 图② (1)图②是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形 成的四边形AACC,点B在线段CC'上.求 CC的长（π取3）. (2)在图②中画出蚂蚁爬行的最短路径，并 求出最短路径的长度 下册第二十章 7△ 第3课时勾股定理的作图与计算 知识要点扫描 的正方形 (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形， 用勾股定理作长度为无理数√的线段 使三角形三边长分别为2，√5，√13. 作长度为无理数 内容 √n的线段 构造一个直角三角形，利用勾股 实质 定理，通过作两条直角边长，作 出斜边长是无理数的线段 (1)设法将n表示成两个正整数 图① 图② 的平方和， 知识点③ 在折叠中的应用 (2)构造直角三角形，使直角三 步骤 4.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点 角形的两条直角边长等于第一 C恰好落在AB边的中点C'上.若AB=6, 步得出的两个正整数的值，则斜 BC=9,则BF的长为 () 边长为√m A.4 B.3√2 C.4.5 D.5 已基础对点训练 知识点①在数轴上作无理数 1.(2025瑞金月考)如图，A(0,3),B(1,0),以 点B为圆心、AB长为半径画弧，交x轴负 B P 第4题图 第5题图 半轴于点C,则点C的坐标为 5.如图，把等边三角形ABC沿DE折叠，使点A 恰好落在BC边上的点P处，DP⊥BC于点 P.若BP=4cm,则EC的长为 cm 第1题图 第2题图 6.如右图，在Rt△ABC中， A.(2-√/10,0) B.(-√10,0) ∠B=90°，AB=6,BC=8. C.(10,0) D.(1-√10,0) 将△ABC折叠，使点B恰 知识点② 在网格中的应用 好落在斜边AC上的点B′B… 处，折痕为AE.求AC和EB'的长， 2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格 点（网格线的交点）上，则其三条边中最长边 的长为 ( A.√5 B.√17 C.32 D.5√2 3.如下图，正方形网格中的每个小正方形的边 长都是1，每个小格的顶点叫作格点。 (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10 18 八年级数学RJ版一题多解法《 如图②，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点 E.∠BAC=120°，AB=AC,.∠EAB=60°， 1 ∠C=30°，.∠EBA=30°，.AE= 2AB-2X 33 (cm).在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE =√AB-AE= 2 2(cm), ∴.BC=2BE=3√3(cm). 6.9变式题150π变式题2507.108.4 9.36cm 10.解：(1)：∠A=90°，AB=12,BC=20, .AC=√BC-AB7=√20-12=16. (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. ∠A=90°，∴.AB+AP2=BP2, .122+x2=(16一x)2,解得x=3.5. AP的长为3.5. 11.解：(1)证明：：大正方形的面积=四个直角三角形的 面积十小正方形的面积， i.c-(6-a)+4Xzab =b2-2ab+a'+2ab =b2+a2, ∴.a2+b2=c2. (2)由勾股定理，得a=√2-b=√152-12=9， .小正方形的面积S=(12-9)2=9. (3)√13【解析】(3)大正方形的面积为3+2=9十 4=13(cm2), .大正方形的边长为√3cm. 12.C【解析】①如图①，当高AD在△ABC内部时，在 Rt△ABD中，AB=15,AD=12,由勾股定理得BD =AB2-AD2=152-122=81,则BD=9. 在Rt△ACD中，AC=13,AD=12,由勾股定理得 CD2=AC2-AD=132-122=25,则CD=5.故BC 的长为BD+DC=9+5=14. ②如图②，当高AD在△ABC外部时，同理得BD 9,CD=5.故BC的长为BD一CD=9一5=4.综上， BC的长为14或4. 图① 图② 第2课时勾股定理的实际应用 1.D2.D3.1004.65 5.解：由题意可得DM=3.4m. A'M=33.4m,B'M=51.4m, .A'D=A'M-DM=33.4-3.4=30(m),B'D= B'M-DM=51.4-3.4=48(m). 4 八年级数学RJ版 在Rt△ADA'中，AD=√AA-AD=√/50-30= 40(m), 在Rt△BDB'中，BD=√BB-BD=√50-482= 14(m),,.AB=AD-BD=40-14=26(m) 故这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为 26m. 6.C 7.D【解析】如图，假设将木块表面展开，AC即为所求， M A E B 则AB=4+2+2=8(m),BC=AD=6m, ∴.最短路程是AC=√AB+BC=√8+6=10 (m). 8.13【解析】将长方体的四个侧面展开，连接AB′，如 图.根据“两点之间，线段最短”可知，AB的长即为所 用细线的最短长度，AB′=√(2×2+2X4)+5=13 (cm).故所用细线的长度最短为l3cm. B B' 9.解：(1)CC'等于底面圆的周长，即CC=π×6=3×6= 18(cm). (2)如图，线段AB即为最短路径. 由题意可得四边形AA'C'C是矩 形，AC=12cm,B是CC'的中点， 1 六∠C=90°，BC=2CC'=9cm, ∴.由勾股定理，得AB=√AC十BC=15cm. 故最短路径的长度为15cm. 第3课时勾股定理的作图与计算 1.D2.C 3.解：(1)如图①，正方形ABCD即为所求. (2)如图②，△DEF即为所求. 图① 图② 4.A 5.(2+2√3)【解析】：△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B=∠C=60°，AB=BC.:DP⊥BC,∴∠BPD= 90°，∴.∠BDP=180°-∠B-∠BPD=30°.BP= 4cm,∴.BD=2BP=8cm,.DP=√BD2-BP= √82-4？=43(cm).由折叠的性质，得AD=DP= 4√3cm,∠DPE=∠A=60°，∴.AB=BD+AD= (8+4V3)cm,∠EPC=180°-∠BPD-∠DPE= 30°，.PC=BC-BP=AB-BP=(4+4W3)cm. ∠C=60°，.∠PEC=180°-∠EPC-∠C=90°， ∴EC=2PC=(2+25)cm. 6.解：在Rt△ABC中， AC=VAB+BC=√/62+8=10. 由折叠可知，AB'=AB=6,∠AB'E=∠B=90°， .B'C=AC-AB'=10-6=4. 设EB'=x,则BE=x,EC=8-x 在Rt△EB'C中， EB2+B'C2=EC2,x2+4=(8-x)2, 解得x=3,即EB'=3. 故AC的长为10，EB的长为3. 解题技巧专题利用勾股定理解决最短 路径问题 1.A 2.解：如图，连接BD交AC于点O,连接 ED交AC于点P',连接BP'. 易知BD⊥AC,且BO=DO, .BP'=DP',EP'+BP'=EP'+ DP'=ED,此时EP十BP有最小值. ,'AE=3,BE=1,.AD=AB=1十3=4. 由勾股定理，得ED=√AE十AD=5,即EP+BP 的最小值为5. 3.√1494.5 5.解：(1)如图，作点A关于CD的A 对称点A1,连接AB交CD于点 P,点P为所求， (2)如图，过点B作BE⊥AC于 点E. ,点A1,A关于CD对称，2BE=24cm, .'.A C=AC=2 cm,PA=PA,BE=12 cm, ..PA+PB=PA+PB=AB.A E=AC+CE=2 +18-4=16(cm). 在Rt△A,EB中，A1B=√BE+A1E= √/122+162=20(cm), ∴.蚂蚁爬行的最短路径长是20cm. 思想方法专题勾股定理中的方程思想 1.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H. ,AC=BC=2,∠ACB=90°，CH ⊥AB, ∴AB=2√2，AH=BH=CH =√2. .CD=AB=22. ∴DH=√CD-CH=√8-2=√6， DB=√6-√2. 2.16 3.空【解折】如图，连接BE, ,D为AB的中点，ED⊥AB, ..AE=BE. 设AE=BE=x,则CE=8-x. 在Rt△ECB中，BC2+CE =BE2, 即6+(8-x)2=x2, 解得工一5即AE-华 4.解：设体育馆楼高AC=xm,则绳子长AB=（x十 2)m. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC, .(x+2)2=x2+62, 解得x=8, ∴.体育馆楼高AC的长度为8m. 5.B 6.解：由题意，易得四边形BCEF是长方形， .BF=CE=5尺. 依题意，得BC=10尺，DE=1尺，AB=AD,∴.CD= CE-DE=4尺. 设绳索有x尺长，则AD=AB=x尺，AC=(x一 4)尺. 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB, 即102+(x-4)2=x2, 解得x=14.5, .绳索长14.5尺. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.A3.C4.C5.D 6.150【解析】：CD2+BD2=144+81=225,BC2 =225, ∴.CD+BD=CB2, ∴CD⊥AB, ∴∠ADC=90°， .AD=√AC2-CD=16, ∴.AB=AD+DB=16+9=25, 1 △ABC的面积=2×25X12=150., 7.解：(1)：(a-5)+|b-12|+√c-13=0, .a-5=0,b-12=0,c-13=0, .a=5,b=12,c=13. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169, .a2+b2=c2, .△ABC是直角三角形. 8.C9.10 10.解：(1)a=n2+1,b=2n,c=n2-1, ∴.当n=3时，a=32+1=10,b=2×3=6,c=32一1 =8. a2=102=100,b2+c2=62+82=100, .a2=b2+c2, ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边长， 5=7×6×8=21. 下册参考答案 5△