20.1.1 勾股定理-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

.x+y=2-√3+2+3=4， xy=(2-√J3)(2+√3)=4-3=1. (2)由(1)，得x十y=4,xy=1, ..x2-xy+y=(x+y)2-3xy =42-3×1 =16-3 =13. 16.解：原式=(23+4)×1 1 3+12(3+1) =(2√3+4)× 2(3+1) 1 =(2√5+4)× 2(23+4) 1 =2 解题技巧专题利用二次根式性质解题的 常见题型 1.B2.1 3.2026【解析】根据题意，得m一2026≥0，即m≥ 2026,.2025-m<0,∴.√m-2026+|2025-m|= √/m-2026+m-2025=m,∴.√m-2026=2025, .m-2026=2025,.m-2025=2026. 4.解：根据题意，得一10≥0解得m=10n=6, 10-m≥0， .∴.m2-n2=102-62=64, ∴.m2一n2的平方根是士8. 5.解：根据题意，得-(5-a)2≥0，即(5-a)≤0，∴.(5 a)2=0,∴.a=5, “原式=6=-√8言×5+5+45+0 =1-2+5=4. 6.C7.D 8.解：(1)一2 (2)由题意，得一5≥0， 5-y≥0， 解得y=5, ∴.x2=9,∴.x=士3. 当x=3时，x十y=8;当x=-3时，x十y=2. 故x+y的值为8或2. (3)由题意，得(m一3)n≥0. n≠0，.m-3≥0，.m≥3，.2m-4>0, ,∴.2m-4+|n+2|十√/(m-3)n2+4=2m, ∴.n+2|+√(m-3)n=0. ,|n+2|≥0，√(m-3)n≥0， .∴.n十2=0，(m-3)n2=0,∴.n=-2,m=3, .m十n的值为1. 9.A 10.解：2a+≥0，当2a+1=0,即a=一号时， √2a十1+1的值最小， 最小值是1. 章末对点导练 1.A2.B 3@04 ,5.a≤-2 1 6.1≤a≤37.C8.D 9.B【解析】43=1849,44=1936,452=2025,462 =2116, ∴.442<2024<452，∴.44<√/2024<45，n=44. 10.A11.A12.22-613.4√214.10√2 15.解：(1)原式=3√3-5√3+2√5=0. (2)原式=7-5+2=4. 16.D【解析】由题意可知，大正方形的边长为√30十 √48=（√30+4√3）cm,∴.剩余部分的面积为（√30 +43)2-30-48=24√10(cm2). 17.解：(1)，两个正方形的面积分别为18dm2和 50dm2, .这两个正方形的边长分别为3√2dm和5√2dm, ∴.原长方形木板的面积为5√2×(3√2十5√2)= 80(dm2). (2)4 【解析】(2)：3V2≈4.242,5√2-32=2√2≈2.828， .2.828÷1.3≈2,4.242÷2≈2，.2×2=4（块）， .从剩余的木块（阴影部分）中截出长为2dm、宽为 1.3dm的长方形木条，最多能截出4块这样的木条. 18.D19.C20.021.2522.423.60 24.解：(1)原式=6-√16+4 =6一4+4 =6. (2)原式=√36+2-1 =6+2-1 =7. (3)原式=9-2√J2+2√2-2 =7. (4)原式=1+2-1-2√2 =-2. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.C2.D3.D4.B 5.B【解析】如图①，过点A作AD⊥BC于点D. :∠BAC=120°，AB=AC,.BD=CD=2BC,∠B 1 =∠C=30°，∴AD= 3 X3=2(cm).在Rt△ABD 中，由勾殿定理，得BD=√F-()-35(cm. .BC=2BD=3√3(cm). B 图① 图② 下册参考答案 3△ 一题多解法《 如图②，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点 E.∠BAC=120°，AB=AC,.∠EAB=60°， 1 ∠C=30°，.∠EBA=30°，.AE= 2AB-2X 33 (cm).在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE =√AB-AE= 2 2(cm), ∴.BC=2BE=3√3(cm). 6.9变式题150π变式题2507.108.4 9.36cm 10.解：(1)：∠A=90°，AB=12,BC=20, .AC=√BC-AB7=√20-12=16. (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. ∠A=90°，∴.AB+AP2=BP2, .122+x2=(16一x)2,解得x=3.5. AP的长为3.5. 11.解：(1)证明：：大正方形的面积=四个直角三角形的 面积十小正方形的面积， i.c-(6-a)+4Xzab =b2-2ab+a'+2ab =b2+a2, ∴.a2+b2=c2. (2)由勾股定理，得a=√2-b=√152-12=9， .小正方形的面积S=(12-9)2=9. (3)√13【解析】(3)大正方形的面积为3+2=9十 4=13(cm2), .大正方形的边长为√3cm. 12.C【解析】①如图①，当高AD在△ABC内部时，在 Rt△ABD中，AB=15,AD=12,由勾股定理得BD =AB2-AD2=152-122=81,则BD=9. 在Rt△ACD中，AC=13,AD=12,由勾股定理得 CD2=AC2-AD=132-122=25,则CD=5.故BC 的长为BD+DC=9+5=14. ②如图②，当高AD在△ABC外部时，同理得BD 9,CD=5.故BC的长为BD一CD=9一5=4.综上， BC的长为14或4. 图① 图② 第2课时勾股定理的实际应用 1.D2.D3.1004.65 5.解：由题意可得DM=3.4m. A'M=33.4m,B'M=51.4m, .A'D=A'M-DM=33.4-3.4=30(m),B'D= B'M-DM=51.4-3.4=48(m). 4 八年级数学RJ版 在Rt△ADA'中，AD=√AA-AD=√/50-30= 40(m), 在Rt△BDB'中，BD=√BB-BD=√50-482= 14(m),,.AB=AD-BD=40-14=26(m) 故这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为 26m. 6.C 7.D【解析】如图，假设将木块表面展开，AC即为所求， M A E B 则AB=4+2+2=8(m),BC=AD=6m, ∴.最短路程是AC=√AB+BC=√8+6=10 (m). 8.13【解析】将长方体的四个侧面展开，连接AB′，如 图.根据“两点之间，线段最短”可知，AB的长即为所 用细线的最短长度，AB′=√(2×2+2X4)+5=13 (cm).故所用细线的长度最短为l3cm. B B' 9.解：(1)CC'等于底面圆的周长，即CC=π×6=3×6= 18(cm). (2)如图，线段AB即为最短路径. 由题意可得四边形AA'C'C是矩 形，AC=12cm,B是CC'的中点， 1 六∠C=90°，BC=2CC'=9cm, ∴.由勾股定理，得AB=√AC十BC=15cm. 故最短路径的长度为15cm. 第3课时勾股定理的作图与计算 1.D2.C 3.解：(1)如图①，正方形ABCD即为所求. (2)如图②，△DEF即为所求. 图① 图② 4.A 5.(2+2√3)【解析】：△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B=∠C=60°，AB=BC.:DP⊥BC,∴∠BPD= 90°，∴.∠BDP=180°-∠B-∠BPD=30°.BP= 4cm,∴.BD=2BP=8cm,.DP=√BD2-BP= √82-4？=43(cm).由折叠的性质，得AD=DP= 4√3cm,∠DPE=∠A=60°，∴.AB=BD+AD= (8+4V3)cm,∠EPC=180°-∠BPD-∠DPE= 30°，.PC=BC-BP=AB-BP=(4+4W3)cm.第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理 知识要点扫描 A.6 B号 c n号 勾股定理 3.分类讨论思想若直角三角形的三边长分别 内容 图例 为a,b,c,其中a=9,b=12,则c2的值为 直角三角形两条直角边的 勾股定理 平方和等于斜边的平方 A.15 B.225 在Rt△ABC中，若a,b C.63 D.225或63 符号语言 为直角边长，c为斜边长， 4.(教材变式)如图，△ABC中，∠C=90°，∠B 则a2+b2=c2 =30°，AD是△ABC的角平分线.若AC 经典例题剖析 √3，则线段AD的长是 () 【例】（教材变式）在Rt△ABC中，已知∠C A.1 B.2 C.√3 D.3 =90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长， (1)若a=3,b=4,则c= (2)若a=8,c=10,则b= (3)若b=12,c=13,则a= 第4题图 第6题图 (4)若c=34,a:b=8：15,则a= 5.一题多解法若等腰三角形的顶角为120°， b= 腰长为3cm,则这个等腰三角形的底边长为 【点拨】根据已知条件可知，在Rt△ABC () 中，C为斜边长，利用勾股定理即可解答 A.12 cm B.33 cm 【解】(1)5(2)6(3)5(4)1630 C.3cm D.6√3cm 基础对点训练 6.(2025南昌期中)如图所示的是由一个直角 知识点①利用勾股定理计算 三角形和三个正方形组成的图形.若正方形 1.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， B,C的面积分别为16,25，则正方形A的面 ∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则下 积为 列式子成立的是 ( A.a2-c2=b2 变式题1三个正方形变式为三个半圆 B.b2=a2+c2 转化思想如图，分别以 C.c2=2b2 D.b2=2a2 Rt△ABC的三边为直径向 2.如图，在△ABC中，∠ACB 外作三个半圆，其面积分别 =90°，AC=8,AB=10,CD D 为S1,S2,S3.若S2=32π，Sg ⊥AB于点D,则CD的长 第2题图 变式题1图 是 =18π，则S1= 八年级数学RJ版 变式题2三个正方形变式为三个等腰直 知识点② 勾股定理的验证 角三角形 11.【课本再现】 如图，分别以Rt△ABC的 如图①，我们称该图案为“赵爽弦图”.“赵 三边为斜边向外作等腰直H 爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一 角三角形.若斜边AB= 个大正方形，中空的部分是一个小正方形， 10,则图中阴影部分的面 其中直角三角形的两直角边长为a,b(b> 积为 变式题2图 a>0),斜边长为c. 7.(2025新余校级期中)在平面直角坐标系中， 点A(一6,8)到原点的距离为 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC= 图① 图② 图③ √7，则AB边的长是 (1)请利用图①验证勾股定理. 9.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的 【知识应用】 面积为 (2)在图①中，若c=15,b=12,求小正方形 8 cm 的面积. 10cm (3)小明按图②的方式把边长为3cm和 第9题图 2cm的两个正方形切割成5块，按图③的 10.（2025上饶广信区期中)如右 方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形 图，在Rt△ABC中，∠A 的边长是 cm. 90°，AB=12,BC=20. (1)求AC的长. (2)若点P为线段AC上一点，连接BP,且 BP=CP,求AP的长. 易错点忽视分类讨论三角形高的位置 12.在△ABC中，AB=15,AC=13,BC 边上的高AD=12,则边BC的长为 ( A.4 B.14 C.4或14 D.8或14 下册第二十章 15△