19.3.2 二次根式的混合运算&解题技巧专题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第2课时 二次 知识要点扫描 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数中的运 算顺序一样：先乘方，后乘除，最后加减，有括 号先算括号内的 注意：(1)在运算过程中，实数运算中的运 算律（分配律、结合律、交换律等）和所有的乘 法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次 根式的混合运算中仍然适用. (2)二次根式混合运算的结果应写成最简 形式 已经典例题剖析 【例】计算： 1 (1)(2025合肥期中)√48+√3一， 2 √12+|1-√61. (2)(2025高安期中)（√2一1）2-(5 3)(√5+3). 【点拨】(1)先利用二次根式的性质进行化 简以及计算二次根式的乘法和化简绝对值，再 进行加减运算即可得解；(2)先分别利用完全 平方公式和平方差公式计算，然后去括号并进 行加减运算即可. 【解】(1)原式=4√3+√3一√6+√6一1= 5√3-1. (2)原式=（√2）2-2√2+1-[（√5）2-32] =2-2√2+1-5+9=-22+7. 色基础对点训练 知识点① 二次根式的混合运算 1.化简√⑧-√2（√2+2）的结果是 A.-2 B.2-2 C.2 D.4√2-2 根式的混合运算 2.估计√2（√⑧十√10）的值应在 A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 3.计算(3√48一2√27)÷√3的结果是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.计算/12(75+3 -√48)的结果是 3 ) A.12 B.4√3 C.23 D.6 5.计算（一 -15-21+,层÷的结 果是 A.43-1 收48- C.45+2 D.43-2 6.计算：√2(2一√)+√6= 1 7.(2025毫州蒙城月考)计算：√27一9 V3 √18X√2= 8.(2025准南期中)计算，V-√分)×y反- √28÷√7= 9.-题多解法计算：(5√5 -2√45)÷ (-√5)= 10.计算： (1)W6+√⑧×√12-6× 6 下册第十九章 9△ 2)2+5-F×vs. √5 3 (3)12-2(2+6)+(). 厚层-E+x 知识点② 乘法公式在二次根式混合运算中的 应用 11.计算：(5-2)2025×(5+2)2026=() A.√5+2 B.√5-2 C.2026 D.2025 12.设6一√10的整数部分为a,小数部分为b, 则(2a+√10)b的值为 () A.6 B.210 C.12 D.910 13.(2025滁州全椒期中)计算：（√5一√2）2+ 14.计算： 3 1)(5-5)5+3)+2×V, 410 八年级数学RJ版 (2)(32+1)2-22-3|. (3)(3+1)(3-1)-(√2-1)2. 15.运算能力已知x=2一√3，y=2十√5，求： (1)x+y和xy的值. (2)x2-xy十y2的值. 易错点进行二次根式的混合运算时，运 算顺序出现错误 16.化简：(2√3+4)÷(5+1) 1 2(3+1) 解题技巧专题 利用二次根式性质解题的常见题型 题型① 利用被开方数的非负性(a≥0)化简 8.二次根式√a的双重非负性是指被开方数a 求值 ≥0，其化简的结果√a≥0.利用√a的双重非 1.(2025无为月考)已知3x-6+6-3.x+y 负性解答下列问题： =2025,则√2025xy的值为 (1)已知a-1+√3+b=0,则a+b的值为 A.2025√3 B.20252 C.2025 D.4050 (2)若x,y为实数，且x2=√y-5十√5-y 2.已知x,y是实数，且满足y=√x一2026十 +9,求x+y的值. √2026一x,则x'的值为 (3)已知实数m,n(n≠0)满足|2m一4|+|n 3.若m-2026+|2025-m|=m,则m- +2|+√(m-3)n2+4=2m,求m+n 20252= 的值 4.已知√m-10+3√10-m=-6,求m,n 的值及m2一n2的平方根. 5求a-V8高0+5++-6-a 的值. 题型③ 利用二次根式的非负性（√a≥0）求 代数式的最大（小）值 9.若√/3一2x在实数范围内有意义，则x的 A最大值是号 B.最小值是 题型② 利用二次根式的非负性（√a≥0）化 简求值 C.最大值是号 D最小值是号 6.已知(x一1)2十√y+4=0,则√(xy)的值 10.当a取什么值时，代数式2a+1+1的值 等于 最小？请求出这个最小值， A.2 B.-2 C.4 D.-4 7.若|x一5引+2√y+2=0,则x一y的值是 A.-7B.-5C.3 D.7 下册第十九章0.493√5 .T=2×3×√9.8 5 ≈1.34(s. (2):T=2m√g =1s,π=3， 11 1 ÷√0.8=61=36×9.8≈0.27m 即座钟的摆长应设计为大约0.27m. 68【得雲-V雲立…8 √2-x √2-x 解得一1≤x<2.结合选项，x的值可以是0. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1.B2.C3.B4.2变式题35.②⑤ 6.解：(1)由题意可知，4a-5=13-2a,解得a=3. (2)a=3,a≤x≤2a,.3≤x≤6， ∴.x-2≥0，x-60 .原式=|x-2|+√(x-6)=|x-2|+|x-6|=x -2+(6-x)=4. 7.D8.D9.A10.7√211.9√512.123 13.36-3② 4 14.√2【解析】，两个大正方形的面积均为98cm, .∴.AB=BC=/98cm. 小正方形的面积为72cm,.A'E=CE= √/72cm, .BE=BC-CE=√98-√72=72-6√2=√2 (cm). 15.解：(1)原式=25-25+3√2 =32. (2)原式=2√2+2√3-(3√3-√2) =2√2+2√3-3√5+√2 =3√2-√3. (3)原式=5√2+3√5-3√2+4√2 =3√5+6√2. (4)原式=2√3+2√6+6+43 =6√3+2√6+6. 16解：61)原式-6×誓-5×9-26+日×25 2√6-√5-2√6+5=0. (2)设原题中“■”是a, 则原式-。·-5×-2+×25- 5 2 5a-5-26+5-(g-26-5 1 1 15 42a2=5a2 故原题中“■”是 5 2 八年级数学RJ版 第2课时二次根式的混合运算 1.A2.B 3.C【解析】原式=(12√3-6√3)÷√3=6√3÷√3=6. 4.A【解标1原武=2后×(65+3×号-4)=25 ×2√5=12. 5.C【解析】原式 -2-5)+含x18=4 -2+√3+3√3=4√3+2. 6.27.68.3 9.5【解析】原式=(5-6√5)÷(-√5)=-5√5： (-5)=5. ◆一题多解法《 原式-5得÷(-5)-2压÷(-5)-1 +6=5. 6 10.解：1)原式=6+2厄×25-6×6 =√6+4√6-√6 =4√6 (2)原式= 2√5+√5 5 35 -√16 5 =3-4 =-1. (3)原式=2√5-2-2√3+4 =2. (40原式三√分X24-√2-18 =3√2-2√-3√2 =-23. 11.A 12.A【解析】，3<√10<4，.2<6-√/10<3， .a=2,b=6-√10-2=4-√10， .(2a+√10)b=(4+10)(4-√10)=6. 13.7-√10 3 14.解：1)原式=(5)-(3)2+√12× =5-3+3=5. (2)原式=(3√2)2+2×3√2×1+12-(3-22) =18+62+1-3+22 =16+82. (3)原式=(3)2-1-(3-2√2) =3-1-3+2√2=-1+2√2. 15.解：(1)x=2-√3，y=2+√3， .x+y=2-√3+2+3=4， xy=(2-√J3)(2+√3)=4-3=1. (2)由(1)，得x十y=4,xy=1, ..x2-xy+y=(x+y)2-3xy =42-3×1 =16-3 =13. 16.解：原式=(23+4)×1 1 3+12(3+1) =(2√3+4)× 2(3+1) 1 =(2√5+4)× 2(23+4) 1 =2 解题技巧专题利用二次根式性质解题的 常见题型 1.B2.1 3.2026【解析】根据题意，得m一2026≥0，即m≥ 2026,.2025-m<0,∴.√m-2026+|2025-m|= √/m-2026+m-2025=m,∴.√m-2026=2025, .m-2026=2025,.m-2025=2026. 4.解：根据题意，得一10≥0解得m=10n=6, 10-m≥0， .∴.m2-n2=102-62=64, ∴.m2一n2的平方根是士8. 5.解：根据题意，得-(5-a)2≥0，即(5-a)≤0，∴.(5 a)2=0,∴.a=5, “原式=6=-√8言×5+5+45+0 =1-2+5=4. 6.C7.D 8.解：(1)一2 (2)由题意，得一5≥0， 5-y≥0， 解得y=5, ∴.x2=9,∴.x=士3. 当x=3时，x十y=8;当x=-3时，x十y=2. 故x+y的值为8或2. (3)由题意，得(m一3)n≥0. n≠0，.m-3≥0，.m≥3，.2m-4>0, ,∴.2m-4+|n+2|十√/(m-3)n2+4=2m, ∴.n+2|+√(m-3)n=0. ,|n+2|≥0，√(m-3)n≥0， .∴.n十2=0，(m-3)n2=0,∴.n=-2,m=3, .m十n的值为1. 9.A 10.解：2a+≥0，当2a+1=0,即a=一号时， √2a十1+1的值最小， 最小值是1. 章末对点导练 1.A2.B 3@04 ,5.a≤-2 1 6.1≤a≤37.C8.D 9.B【解析】43=1849,44=1936,452=2025,462 =2116, ∴.442<2024<452，∴.44<√/2024<45，n=44. 10.A11.A12.22-613.4√214.10√2 15.解：(1)原式=3√3-5√3+2√5=0. (2)原式=7-5+2=4. 16.D【解析】由题意可知，大正方形的边长为√30十 √48=（√30+4√3）cm,∴.剩余部分的面积为（√30 +43)2-30-48=24√10(cm2). 17.解：(1)，两个正方形的面积分别为18dm2和 50dm2, .这两个正方形的边长分别为3√2dm和5√2dm, ∴.原长方形木板的面积为5√2×(3√2十5√2)= 80(dm2). (2)4 【解析】(2)：3V2≈4.242,5√2-32=2√2≈2.828， .2.828÷1.3≈2,4.242÷2≈2，.2×2=4（块）， .从剩余的木块（阴影部分）中截出长为2dm、宽为 1.3dm的长方形木条，最多能截出4块这样的木条. 18.D19.C20.021.2522.423.60 24.解：(1)原式=6-√16+4 =6一4+4 =6. (2)原式=√36+2-1 =6+2-1 =7. (3)原式=9-2√J2+2√2-2 =7. (4)原式=1+2-1-2√2 =-2. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.C2.D3.D4.B 5.B【解析】如图①，过点A作AD⊥BC于点D. :∠BAC=120°，AB=AC,.BD=CD=2BC,∠B 1 =∠C=30°，∴AD= 3 X3=2(cm).在Rt△ABD 中，由勾殿定理，得BD=√F-()-35(cm. .BC=2BD=3√3(cm). B 图① 图② 下册参考答案 3△