8.2 立方根 课件 2025--2026学年人教版七年级数学下册

8.2立方根 学习内容 一、知识讲解 　　回忆：平方根的概念是什么？ 　　一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根．求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 　　思考：你能类比平方根的概念给出立方根的概念吗？ 　　一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根．求一个数的立方根的运算，叫作开立方． 例如，2 是 8 的立方根． 新知探究 3 　　探究　根据立方根的意义填空： 　　因为 13＝1，所以 1 的立方根是（ ）； 　　因为（ ）3＝0.064，所以 0.064 的立方根是（ ）； 　　思考：你能发现正数的立方根有什么特点吗？ 　　正数的立方根是正数． 新知探究 1 0.4 0.4 4 　　探究　根据立方根的意义填空： 　　因为（ ）3＝－8，所以－8 的立方根是（ ）； 　　因为（ ）3＝－　，所以－　的立方根是（ ）； 　　思考：你能发现负数的立方根有什么特点吗？ 　　负数的立方根是负数． 新知探究 －2 －2 5 　　探究　根据立方根的意义填空： 　　因为（ ）3＝0，所以 0 的立方根是（ ）． 新知探究 0 0 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0． 归纳 6 　　问题　立方根的符号应该如何表示呢？ 　　类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“　 ”，读作“三次根号 a”， 其中 a 是被开方数，3 是根指数． 例如， 表示 8 的立方根，　 ＝2； 表示－8 的立方根， 　 ＝－2． 　　追问 1 ：　 中的根指数 3 能不能省略？为什么？ 不能．若根指数 3 省略了，就会和算术平方根符号“ 　”混淆． 算术平方根的符号　 ，实质上省略了 中的根指数 2，因此 也 可读作“二次根号 a”． 新知探究 7 　　追问 2：你能说说数的立方根与数的平方根有什么不同吗？ 新知探究 定义 特征 表示方法 平方根 如果 x2＝a， 那么 x 叫作 a 的平方根． 正数有两个平方根， 且它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根． ±　 (a≥0) 立方根 如果 x3＝a， 那么 x 叫作 a 的立方根． 正数的立方根是正数； 0 的立方根是 0； 负数的立方根是负数． 8 　　探究 1 计算 和 ，它们有什么关系？ 和 呢？ 新知探究 互为相反数 　　你从这两组求值中发现了什么规律？ 　　互为相反数的两个数的立方根也互为相反数． 　　你能用符号语言表达这个规律吗？ ＝2 ＝－2 ＝3 ＝－3 互为相反数 9 　　　用计算器计算下表中的立方根，并将计算结果填在表中． 　　你能发现什么规律？ 　　被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点相应 地向右或向左移动 1 位． 新知探究 0.06 0.6 6 60 　　 用计算器计算 （结果保留小数点后三位），并利用你发现的规 律求出 ， ， 的近似值． 　　使用计算器可得 　　根据发现的规律可得： 新知探究 0.464 2 0.046 42 46.42 学习内容 二、典型例题与巩固训练 例1 求下列各数的立方根： (4) ； (1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； 解：(1) (－2)3 的立方根是－2，即 = －2； (2) 因为 73 = 343，所以 343 的立方根是7. 即 = 7； (3) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是－4， 即 = －4； (4)因为 = . 所以 的立方根是 ，即 = . 典例讲解 求下列各数的立方根： (1)(-2)3;(2)343(3)-64;(4) . 解：(1)(-2)3的立方根是-2，即 =-2. (2)因为73=343，所以343的立方根是7，即 =7. (3)因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4，即 =-4. (4)因为（ ）3= ，所以 的立方根是 ， 即 = . 巩固练习 典例讲解 例2说出下列各式的意义，并求它们的值 (1) (2) (3) (4) 解(1)729的立方根； (2)的立方根的相反数； (3)的立方根的相反数； (4)的立方的立方根； 求带分数的立方根应先化为假分数 求下列各式的值: (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ＝＝8； (2) ＝＝0.1； (3) ＝＝4. 巩固练习 典例讲解 例3.计算(1) (2) (3)． (4) 解(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 计算(1) (2) (3) 解(1)原式 (2)原式 (3)原式 巩固练习 例4.求未知数的值 (1) (2) 解(1)∵ ∴ 解得： (2)原方程变形为： ∵ ∴ 解得： 典例讲解 巩固练习 求未知数的值 (1) (2) 解(1)原方程变形为： ∵ ∴ 解得： (2)原方程变形为： ∵ ∴解得： 例5.已知的平方根是±3，的立方根是2，求的算术平方根 解:∵的平方根是±3 ∴即 ∵的立方根是2 ∴ ∴ ∴ 典例讲解 巩固训练 (1)已知+,且的平方根是它本身，求xy的立方根 解:∵ 和互为相反数 ∴，解得 ∵的平方根是它本身 ∴，解得 ∴ 易错易混辨析 若则 若则 例6.先填写下表,再回答问题. 0.01 a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 　 　  　 　  1 10 　 　  (1)由上表发现规律:被开方数的小数点每向右(或向左)移动三位,立方根的小数点就要　 　移动　 　位.  (2)根据你发现的规律填空: 0.1 100 向右(或向左) 一 14.42 0.144 2 7.697 典例讲解 1.若 ≈0.6694，则 ≈ . 2.已知 ≈1.26，≈12.6，用含 n 的式子表 示 m，则 m＝ . 6.694 1000n 巩固训练 学习内容 三、综合训练 1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 中，有意义的有（ ） D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 已知 =0.7，则 =_____; =______. 70 ﹣0.07 3.求下列各式的值. （1） （2） （3） （4） = – 0.3 = = = = = 27 4.比较下列各组数的大小. （1） 与2.5; （2） 与 . 解：因为 = 9 2.53 = 15.625 所以 < 15.625 所以 < 2.5 因为 = 3 所以 3 < 所以 < 5.若 =2， =4，求 的值. 解：∵ =2， =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ = = 4 或 = = 0. 学习内容 四、课堂小结 如果x3 = a，那么x叫做a的立方根 性质 定义 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）. 用计算器计算 立方根 课堂小结 学习内容 五、课堂检测 　 1.64的立方根是 (　　) A.4 B.±4 C.8 D.±8 课堂检测 解析:一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A. A　 　 2. 等于(　　) A.2 B.-2 C.2 D.-2 解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有(-2)3=-8, 所以 =-2.故选B. B　 　 3.下列说法正确的是 (　　) A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数 B.一个数的立方根与这个数同号 C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根 D.一个数的立方根是非负数 解析:利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误. B　 4.一个长方体的长为5 cm、宽为2 cm、高为3 cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm). 解:设这个正方体的棱长为x cm.根据题意,得x3=3×5×2×3,即x3=90,两边开立方, 得x= ≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48 cm. 谢 谢 37 ①已知≈1.442,则≈　 　,≈　 　;  ②已知≈0.076 97,则≈　 　.  $