6.3 向心加速度 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦圆周运动中的向心加速度，通过小球匀速圆周运动实例导入，以速度改变、加速度方向等问题链衔接圆周运动基础，搭建从运动描述到加速度分析的学习支架，引导学生理解概念及公式。 资料以生活情境和历史装置（如投石机）创设探究场景，通过牛顿第二定律与加速度定义双路径推导公式，培养科学思维。分层例题与训练覆盖基础到拓展，助力学生构建运动与相互作用观念，提升解决实际问题的能力。

第六章 圆周运动 第3节 向心加速度（解析版） 学习目标 1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。 2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 课堂学习 一 向心加速度 【导入】 1.如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动。 （1）小球的速度是如何改变的？ （2）小球的加速度方向有什么特点？ （3）小球的加速度发生改变吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动？ 【知识梳理】 （一）向心加速度的理解 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向 。 3.作用：改变速度的 ，不改变速度的 。 4.说明：匀速圆周运动加速度的 时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是 。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度 ；可分解为 和 分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度 。 （二）向心加速度的计算 【课堂探究】 1.我们如何计算一个匀速圆周运动的向心加速度的大小？ (1)试着从牛顿第二定律推导向心加速度的方向和大小。 (2)试着从加速度的定义进行推导向心加速度的方向和大小。 【知识梳理】 1.向心加速度公式 (1)an== 。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an= 。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an= = 。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 思考与讨论1： （1）根据an=，向心加速度与r成反比，根据an=ω2r，向心加速度与r成反比，这似乎矛盾了？ 【例题分析】 如图所示，小物体随圆盘一起绕中心O点在水平面内做匀速圆周运动。小物体加速度的方向指向（　　）例1 A．O点 B．a C．b点 D．c点 图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　）例2 A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 （多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（　　）例3 A．P、Q线速度之比为 B．P、Q角速度之比为 C．P、Q向心加速度之比为 D．P点所受合外力总是指向O 二 圆周运动的动力学问题分析 【模型构建】 1.如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 （1）什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) （2）当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) （3）如图所示，两个小球在同一水平面做圆锥摆，请比较甲，乙两个小球的向心加速度，线速度，角速度的大小。 【知识梳理】 （一）分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 【例题分析】 如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列关于悬点到轨迹圆心高度h、细绳拉力F、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是（　　）例4 A． B． C． D． 如图所示，飞车表演场地可以看成一个圆台的侧面，侧壁是光滑的，飞车表演者可以看作质点，在A和B不同高度的水平面内做匀速圆周运动。以下关于表演者在A、B两个轨道时的线速度大小（vA、vB）、角速度（ωA、ωB）、向心力大小（FnA、FnB）和对侧壁的压力大小（FNA、FNB）的说法正确的是（　　）例5 A．vA < vB B．ωA>ωB C．FnA>FnB D．FNA=FNB 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．摩天轮是游乐场中常见的游乐设施，如图所示。游客坐在摩天轮上做半径为R的匀速圆周运动，运动的周期为T。则游客做匀速圆周运动的向心加速度大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，一个球绕中心轴线以角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．、两点线速度相同 B．、两点角速度相同 C．若，则、两点的速度之比 D．若，则、两点的向心加速度之比 3．如图所示，光滑金属杆折成的直角三角形框架位于竖直面内，，斜边位于水平方向，杆上串有金属小球，现令金属框架绕过点的竖直轴匀速转动，小球跟随杆在水平面内做匀速圆周运动，在图示位置处于稳定状态，则下列说法正确的是（　　） A．小球受重力、弹力和向心力 B．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，向心加速度大小相同 C．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，半径越大，向心加速度越小 D．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，半径越大，角速度越大 4．如图所示为自行车传动装置的简易图，a为大齿轮边缘的点，c为小齿轮边缘的点，b为后轮辐条上的点。已知a、b、c三点做圆周运动的半径之比为3：3：2，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为2：2：3 B．a、b、c三点的角速度之比为2：3：3 C．a、b、c三点的周期之比为3：3：2 D．a、b、c三点的向心加速度之比为3：2：3 5.如图，用短棒在左侧将竹筛支撑住，小鸟在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，t=0时刻绳子拉动，拉走短棒，竹筛开始绕着右端支点转动，同时小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜。已知竹筛底面半径R=0.5m，初始竹筛底面与地面夹角为30°，竹筛的角速度随时间变化的图像简化为如右图所示，小鸟（可视为质点）做速度为0.2m/s的匀速直线运动，则（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的加速度大小不变 C．拉走短棒后，竹筛从开始运动到落地经历的时间为1s D．最终小鸟能够成功逃离竹筛 6.如图，某游乐场的旋转飞椅由水平圆形支架、轻绳和吊椅组成，圆形支架的半径为2m，绳长为5m。一游客坐在吊椅上随圆形支架匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知游客和吊椅的总质量为60kg，，取重力加速度g为10，若游客和吊椅可视为质点，则圆形支架的角速度和吊椅对轻绳的作用力大小F分别为（　　） A．　　F=750N B．　　F=750N C．　　F=1000N D．　　F=1000N 7.如图所示，竖直平面内的一光滑细杆连接在O点处，细杆与竖直方向的夹角为，杆上套有可视为质点的小球。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴以大小为的角速度匀速转动，小球相对于杆静止在某位置，重力加速度大小为g，小球到O点的距离为（    ） A． B． C． D． 能力提升 8．图甲所示是某游乐场一种名为“旋转跷跷板”的游戏装置，跨坐在跷跷板两端的游戏者不仅可以绕转轴旋转，同时还可以上升和下降。如图乙所示，游戏者A质量为2m，游戏者B质量为m，两侧跷跷板相互垂直且长度均为L。某次游戏时游戏者A控制跷跷板，使二人只在水平面内绕竖直转轴以角速度匀速旋转，游戏者B一侧跷跷板和竖直方向的夹角为60°，游戏者均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．A、B做匀速圆周运动的半径之比为 B．A、B做匀速圆周运动的线速度大小之比为 C．A、B做匀速圆周运动的向心加速度之比为 D．A、B做匀速圆周运动的向心力大小之比为 9.（多选）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 10．如图所示，做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点，弧长为L，所对的圆心角为。根据矢量运算的法则，这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 11.如图所示，半径R＝0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台静止不转动时，将一可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO'的夹角θ＝37°。已知sin37°＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 (1)求物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数； (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为零，求转台转动的角速度。 扩展探究 12.（多选）如图所示，甲、乙两人（视为质点）在光滑的冰面上，手拉手绕共同的竖直轴互相环绕以相同的周期T做匀速圆周运动，已知两人间的距离为L，两人的总质量为x，质量的乘积为y，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙的线速度之比等于圆周运动的半径之反比 B．甲、乙的加速度之比等于圆周运动的半径之比 C．甲、乙的线速度之比等于甲、乙的质量之比 D．甲、乙间的拉力大小等于 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆周运动 第3节 向心加速度（解析版） 学习目标 1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。 2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 课堂学习 一 向心加速度 【导入】 1.如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动。 （1）小球的速度是如何改变的？ 速度的大小不改变，方向改变。 （2）小球的加速度方向有什么特点？ 始终指向圆心。 （3）小球的加速度发生改变吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动？ 小球的加速度方向会变，匀速圆周运动是一种变速曲线运动。 【知识梳理】 （一）向心加速度的理解 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向圆心。 3.作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。 4.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。 （二）向心加速度的计算 【课堂探究】 1.我们如何计算一个匀速圆周运动的向心加速度的大小？ (1)试着从牛顿第二定律推导向心加速度的方向和大小。 已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r，方向和向心力方向相同，指向圆心。 (2)试着从加速度的定义进行推导向心加速度的方向和大小。 ①向心加速度的方向 第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 ②向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。 因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt 根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。 【知识梳理】 1.向心加速度公式 (1)an==ω2r。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=ωv。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=r=4π2f2r。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 思考与讨论1： （1）根据an=，向心加速度与r成反比，根据an=ω2r，向心加速度与r成反比，这似乎矛盾了？ 不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。 【例题分析】 如图所示，小物体随圆盘一起绕中心O点在水平面内做匀速圆周运动。小物体加速度的方向指向（　　）例1 A．O点 B．a C．b点 D．c点 【答案】A 【详解】做匀速圆周运动的物体，切向方向加速度为0，只受到向心加速度，方向应指向圆心。 故选A。 图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　）例2 A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 【答案】B 【详解】AB．石块A和重物B的转动角速度大小相同，有，石块A和重物B的转动半径不同，根据可得线速度大小不同，故A错误，B正确； CD．石块A的转动半径大于重物B的转动半径，根据可得二者的向心加速度大小不相等，有，故CD错误。 故选B。 （多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（　　）例3 A．P、Q线速度之比为 B．P、Q角速度之比为 C．P、Q向心加速度之比为 D．P点所受合外力总是指向O 【答案】AD 【详解】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知P、Q属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为1:1，故B错误； A．由可知，P、Q线速度之比，故A正确； C．由可知， P、Q向心加速度之比，故C错误； D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心O，故D正确。 故选AD。 二 圆周运动的动力学问题分析 【模型构建】 1.如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 （1）什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) 思路1： 小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。 思路2： 分解绳子的拉力，拉力在竖直方向上的分力等于重力，水平方向上的分力提供向心力。 （2）当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) 根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。 （3）如图所示，两个小球在同一水平面做圆锥摆，请比较甲，乙两个小球的向心加速度，线速度，角速度的大小。 根据an=gtan θ，可知θ越大，an越大。所以甲的向心加速度大。 根据，an=gtan θ，r=htanθ，解得所以θ越大，v越大。所以甲的线速度大。 根据，an=gtan θ，r=htanθ，解得，所以甲和乙的角速度相同。 【知识梳理】 （一）分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 【例题分析】 如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列关于悬点到轨迹圆心高度h、细绳拉力F、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是（　　）例4 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得，故B正确； A．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得 即h与ω2成反比，故A错误； C．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得小球的向心加速度 小球运动的角速度不同时，sinθ不同，所以a−ω2不是一次函数，故C错误； D．小球的线速度 所以v−ω2不是一次函数，故D错误。 故选B。 如图所示，飞车表演场地可以看成一个圆台的侧面，侧壁是光滑的，飞车表演者可以看作质点，在A和B不同高度的水平面内做匀速圆周运动。以下关于表演者在A、B两个轨道时的线速度大小（vA、vB）、角速度（ωA、ωB）、向心力大小（FnA、FnB）和对侧壁的压力大小（FNA、FNB）的说法正确的是（　　）例5 A．vA < vB B．ωA>ωB C．FnA>FnB D．FNA=FNB 【答案】D 【详解】D．设侧壁与竖直方向的夹角为θ，以飞车为研究对象，受力如图所示 竖直方向根据平衡条件可得 可得 可知，故D正确； ABC．水平方向根据牛顿第二定律可得 可得， 由于，则有，，，故ABC错误。 故选D。 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．摩天轮是游乐场中常见的游乐设施，如图所示。游客坐在摩天轮上做半径为R的匀速圆周运动，运动的周期为T。则游客做匀速圆周运动的向心加速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】游客做匀速圆周运动的角速度大小为 向心加速度大小为 解得 故选A。 2．如图所示，一个球绕中心轴线以角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．、两点线速度相同 B．、两点角速度相同 C．若，则、两点的速度之比 D．若，则、两点的向心加速度之比 【答案】B 【详解】AB．、两点同轴转动，、两点角速度相同，根据，由于、两点做圆周运动半径不相等，所以、两点线速度大小不相等，故A错误，B正确； C．若，根据可得，、两点的速度之比，故C错误； D．若，根据可得，、两点的向心加速度之比，故D错误。 故选B。 3．如图所示，光滑金属杆折成的直角三角形框架位于竖直面内，，斜边位于水平方向，杆上串有金属小球，现令金属框架绕过点的竖直轴匀速转动，小球跟随杆在水平面内做匀速圆周运动，在图示位置处于稳定状态，则下列说法正确的是（　　） A．小球受重力、弹力和向心力 B．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，向心加速度大小相同 C．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，半径越大，向心加速度越小 D．小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，半径越大，角速度越大 【答案】B 【详解】A．小球只受重力和弹力，向心力是两者的合力，故A错误； BC．小球所受重力和弹力的合力提供向心力，如图所示 由图可知， 得 故小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，向心加速度大小相同，故B正确，C错误； D．因小球a的向心加速度大小一定，根据可知，小球在杆上不同位置做稳定的圆周运动时，半径越大，角速度越小，故D错误。 故选B。 4．如图所示为自行车传动装置的简易图，a为大齿轮边缘的点，c为小齿轮边缘的点，b为后轮辐条上的点。已知a、b、c三点做圆周运动的半径之比为3：3：2，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为2：2：3 B．a、b、c三点的角速度之比为2：3：3 C．a、b、c三点的周期之比为3：3：2 D．a、b、c三点的向心加速度之比为3：2：3 【答案】B 【详解】AB．b、c两点同轴转动，角速度相等，即 a、c两点链条传动，线速度大小相等，即 根据线速度与角速度的关系 可得， 所以a、b、c三点的线速度之比为2：3：2，角速度之比为2：3：3，故A错误，B正确； C．根据角速度与周期的关系 可得a、b、c三点的周期之比为3：2：2，故C错误； D．根据向心加速度与角速度的关系 可得 根据向心加速度与线速度的关系 可得 可得a、b、c三点的向心加速度之比为4：9：6，故D错误。 故选B。 5.如图，用短棒在左侧将竹筛支撑住，小鸟在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，t=0时刻绳子拉动，拉走短棒，竹筛开始绕着右端支点转动，同时小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜。已知竹筛底面半径R=0.5m，初始竹筛底面与地面夹角为30°，竹筛的角速度随时间变化的图像简化为如右图所示，小鸟（可视为质点）做速度为0.2m/s的匀速直线运动，则（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的加速度大小不变 C．拉走短棒后，竹筛从开始运动到落地经历的时间为1s D．最终小鸟能够成功逃离竹筛 【答案】C 【详解】A．根据图可知，角速度在变大，不是匀速圆周运动，故A错误； B．根据 角速度在变大，所以向心加速度大小在变大，故B错误； C．竹筛转动30°后落地，根据图像与时间轴围成的面积表示转动的圆心角，可知竹筛从开始运动到落地需要的时间为t=1s，故C正确； D．小鸟成功逃离的最小速度 最终小鸟不能成功逃离竹筛，故D错误。 故选C。 6.如图，某游乐场的旋转飞椅由水平圆形支架、轻绳和吊椅组成，圆形支架的半径为2m，绳长为5m。一游客坐在吊椅上随圆形支架匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知游客和吊椅的总质量为60kg，，取重力加速度g为10，若游客和吊椅可视为质点，则圆形支架的角速度和吊椅对轻绳的作用力大小F分别为（　　） A．　　F=750N B．　　F=750N C．　　F=1000N D．　　F=1000N 【答案】A 【详解】对游客和吊椅，由合力提供向心力得 解得 绳对游客和吊椅的拉力 由牛顿第三定律得，吊椅对轻绳的作用力大小 故选A。 7.如图所示，竖直平面内的一光滑细杆连接在O点处，细杆与竖直方向的夹角为，杆上套有可视为质点的小球。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴以大小为的角速度匀速转动，小球相对于杆静止在某位置，重力加速度大小为g，小球到O点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设小球到点的距离为，对小球受力分析，竖直方向上有 水平方向上有 解得 故选A。 能力提升 8．图甲所示是某游乐场一种名为“旋转跷跷板”的游戏装置，跨坐在跷跷板两端的游戏者不仅可以绕转轴旋转，同时还可以上升和下降。如图乙所示，游戏者A质量为2m，游戏者B质量为m，两侧跷跷板相互垂直且长度均为L。某次游戏时游戏者A控制跷跷板，使二人只在水平面内绕竖直转轴以角速度匀速旋转，游戏者B一侧跷跷板和竖直方向的夹角为60°，游戏者均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．A、B做匀速圆周运动的半径之比为 B．A、B做匀速圆周运动的线速度大小之比为 C．A、B做匀速圆周运动的向心加速度之比为 D．A、B做匀速圆周运动的向心力大小之比为 【答案】D 【详解】A．A、B做匀速圆周运动的半径之比为，故A错误； B．两球做匀速圆周运动的角速度相等，根据可知，A、B做匀速圆周运动的线速度大小之比为，故B错误； C．根据可知，A、B做匀速圆周运动的向心加速度之比为，故C错误； D．根据可知，A、B做匀速圆周运动的向心力大小之比为，故D正确。 故选D。 9.（多选）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 【答案】AC 【详解】A．由题意可知，c、d的线速度大小相等，c、d的齿数之比为1:6，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，故A正确； B．齿轮a与b的边缘处线速度大小相等，故B错误； C．由题意可知，齿轮的角速度为 a、b的齿数之比为2:4，且线速度大小相等，根据可知，a、b的角速度之比为2:1，即齿轮的角速度为 b、c同轴传动，角速度相等，即齿轮的角速度为 c、d的齿数之比为1:6，且线速度大小相等，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，即齿轮的角速度为 则齿轮d边缘处的线速度大小为，故C正确； D．齿轮d边缘处的向心加速度大小为，故D错误。 故选AC。 10．如图所示，做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点，弧长为L，所对的圆心角为。根据矢量运算的法则，这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点的角速度大小 轨迹圆的半径 故质点的向心加速度大小 质点做圆周运动的速度大小 根据几何关系，质点从A点到B点的速度变化量大小 质点从A点到B点的平均加速度大小 这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为 故选A。 11.如图所示，半径R＝0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台静止不转动时，将一可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO'的夹角θ＝37°。已知sin37°＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 (1)求物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数； (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为零，求转台转动的角速度。 【答案】(1)0.75 (2)5rad/s 【详解】（1）对物块受力分析如图1所示，由于物块恰好静止，由平衡条件得 ，且 解得 （2）物块受到的摩擦力恰好为零时，受力分析如图2所示 由圆周运动的条件得 物块做圆周运动的半径 解得 扩展探究 12.（多选）如图所示，甲、乙两人（视为质点）在光滑的冰面上，手拉手绕共同的竖直轴互相环绕以相同的周期T做匀速圆周运动，已知两人间的距离为L，两人的总质量为x，质量的乘积为y，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙的线速度之比等于圆周运动的半径之反比 B．甲、乙的加速度之比等于圆周运动的半径之比 C．甲、乙的线速度之比等于甲、乙的质量之比 D．甲、乙间的拉力大小等于 【答案】BD 【详解】A．甲、乙的周期相等，由， 可得 即甲、乙的线速度之比等于圆周运动的半径之比，A错误； B．由，a乙 可得 即甲、乙的加速度之比等于圆周运动的半径之比，B正确； C．相互作用的拉力充当向心力，则向心力大小相等，由牛顿第二定律可得 则有 结合可得 即甲、乙的线速度之比等于甲、乙的质量之反比，C错误； D．由， 可得， 则有 结合r甲+r乙=L 解得，D正确。 故选BD。 学科网（北京）股份有限公司 $