四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题（六）

绵阳南山中学实验学校高2023级高二（上）期末模拟试题（六） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为 A．30 B．31 C．32 D．36 2．已知直线：，：，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则 A．3 B． C．7 D． 4．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为 A．20 B．30 C．40 D．45 5．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为 A． B．9 C．4 D．8 6．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 A．或 B．或 C． D． 7．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 A． B． C．1 D． 8．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则 A． B．为对立事件 C．为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是 A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为 D．过点A向圆引切线，两条切线的夹角为 11．如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是 A．点E到的最大距离为 B．点F的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。 12．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为________. 13. 若抛物线上一点到焦点的距离为，则________. 14．已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了 40 位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图， (1)估计这 40 名学生的数学成绩的平均数与中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留1位小数) (2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在[50，70)分数段的同学中按组（各算一组）从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率. 16．（15分）已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点． (1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)证明：为线段的中点． 17．（15分）甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； (2)求团体总分不低于3分的概率； (3)若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. 18．（17分）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 19．（17分）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 绵阳南山中学实验学校高2023级高二（上）期末模拟试题（六） 数学参考答案 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A B A D B AD BC ACD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 12.18 13. 14． 三、解答题 15．【解答】（1）平均数为 ； 前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为， 则，得， 所以中位数为； （2）和两组的频率之比为，所以6人中，有2人，有4人，中2人，设为，有4人，设为， 所以6人中任选2人的样本空间, ，共15个， 其中至少有1人成绩位于的包含,，共9种情况， 所以这两个人中至少有一个人成绩位于[50，60)的概率. 16．【解答】（1）因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点为，准线为 （2）设， 因为过点作直线与抛物线交于不同的两点，直线斜率存在， 所以，即， 所以，则， 因为，所以，又由，得 则过点作轴的垂线为，直线，， 所以，， 所以， 所以，又因为三点都在上，所以为线段的中点得证. 17．【解析】：（1）设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分别为， 则，所以， 即乙、丙每次投篮成功的概率分别是； （2）团体总分不低于3分，即至少有一个人命中， 所以团体总分不低于3分的概率为； （3）团体总分不低于6分，即至少两人命中， 所以该小组晋级的概率为. 18．【解析】：（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，因为， 所以，所以， 又因为平面，所以∥平面； （2）解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； （3）解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 19．【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，当椭圆过点可得， 则椭圆的方程为； 当椭圆过点可得，方程组无解， 综上，椭圆的方程为； （2）①由题可设,，当时，设,、,，显然， 联立，则，即， 因为为线段的中点，所以， 又， 所以，即直线和直线的斜率之积为； ②由①可得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 即， 显然恒过定点,， 当时，直线即，此时为轴亦过点,； 综上所述，恒过定点,． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$