精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第八次定时训练（1月月考）数学试题

2024级高二第八次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程，易得直线与轴垂直，即可求解. 【详解】由直线，可得，此时直线与轴垂直， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】双曲线离心率为，可得， 即：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，点到双曲线的渐近线的距离为． 故选：C． 4. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 5. 在数列中，若，则（    ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 6. 意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（    ） A. 2025 B. 2026 C. 59 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质即可求解. 【详解】由题意可得 ，所以. 故选：D. 7. 如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，求出，，则根据即可求解. 【详解】不妨设，， 则，， 由，则， 于是， 在中，由余弦定理，，则， 设直线与所成角为，则， 故选：B． 8. 如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到最小值. 【详解】以坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A 若，，则 B. 若，则 C. 若的公差不为0，且，，成等比数列，则这个等比数列的公比是 D. 若，则的值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B；根据等差数列的通项公式列方程得到的关系式，进而判断C；根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 若的公差不为0，且，，成等比数列，则，即，整理得， 因为，所以，所以等比数列，，公比为，故C正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 的最小值为 C. 当时，围成的图形面积的最大值为 D. ，且与无公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意当时，是的中垂线判断A；当时，设，化简得，曲线为是一个圆，计算即为圆上点到轴的距离的最小值，判断B；根据的半径随着的增大而减小，时，围成图形面积的最大判断C；计算与圆心之间的距离和半径差的绝对值，并比较大小得到与内含，判断D正确. 【详解】对于A，当时，，是的中垂线，即为轴，所以A正确； 对于B，由上分析可知点所构成的曲线为轴.当时，设， 则，化简得， 当时，为，所以即为圆上的点到轴的距离， 即的最小值为，B错误； 对于C，由上分析可知的半径为随着的增大而减小， 所以时，围成的图形面积的最大值为，故C正确； 对于D，有上分析可知与圆心之间的距离为， 与半径差的绝对值为， 所以 ， 因为在上单调增，所以， 即成立， 所以与内含，所以与无公切线，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量坐标计算公式可得答案. 【详解】由题，在上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，则计算得到数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以 ； 则数列为 因为是除以5所得的余数，所以数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 故答案为：2 14. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知. 又所以，所以所以由椭圆的定义可知. 因为， 所以在中，由勾股定理得即.① 在中，由勾股定理得即整理得. 将代入①式得，整理得，所以离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得通项； （2）将裂项，通过裂项相消求和后放缩证明不等式. 【小问1详解】 当时，，移项得，故. 当时，， 化简得，即. 因此是首项为3、公比为3的等比数列，故. 【小问2详解】 由，得，， 则. . 因，故. 17. 已知数列中，，. （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件变形可得，根据等差数列的定义，即可得证，将首项和公差代入通项公式，即可得答案. （2）求出，利用错位相减求和法，求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． 【小问2详解】 由题意， 所以， 令，① 则，② ①②得： 故，所以． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取PD中点N，连接MN，AN，根据中位线的性质，可得，且，根据条件，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）（i）根据面面垂直的性质定理，结合条件，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据夹角公式，可得其余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. （ii）假设存在，设，根据点到平面距离的向量求法，可得点到平面的距离，即可求得值，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 证明：取PD中点N，连接MN，AN， 因为M，N分别为PC，PD中点， 所以，且， 因为，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 （i）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 因为平面， 所以，， 因为， 所以，即，所以两两垂直， 以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面，为棱的中点， 所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值. （ii）假设线段上存在点满足条件，设，， 则， 所以点到平面的距离， 解得，则， 所以存在，使得点到平面的距离是. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义和焦点三角形的周长列方程可解； （2）设出直线方程，联立曲线方程得到韦达定理，然后利用直线方程与联立表示出交点的纵坐标，再由中点坐标公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 又的周长为，由椭圆的性质可得， 联立可解，所以， 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立椭圆方程，消去可得， 设， 显然，则， 因为， 所以，代入可解得， 同理可解得， 所以的中点的纵坐标为， 又 展开代入韦达定理可得 ， 所以线段的中点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第八次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 2. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 数列中，若，则（    ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 6. 意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（    ） A. 2025 B. 2026 C. 59 D. 60 7. 如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A B. C. D. 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若的公差不为0，且，，成等比数列，则这个等比数列的公比是 D. 若，则的值为6 11. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 最小值为 C. 当时，围成的图形面积的最大值为 D. ，且与无公切线 三、填空题 12. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 14. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 17. 已知数列中，，. （1）证明数列是等差数列，并求通项公式； （2）设，求的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $