精品解析：湖南省邵阳市武冈市2025--2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持宇体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内） 1. 下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是将多项式变形为几个多项式乘积的形式，需满足左边是多项式，右边是多项式的乘积． 本题主要考查了因式分解的定义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 因式分解的定义是多项式变为多项式乘积； 选项A：右边含分式 ，不是整式，∴ 不符合； 选项B：右边为和的形式，非乘积，∴ 不符合； 选项C：左边是单项式，非多项式，∴ 不符合； 选项D：左边是多项式，右边是多项式的平方，∴ 符合 故选：D． 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，同底数幂的乘方，积的乘方；通过逐项计算判断：A选项平方根结果应为绝对值；C选项指数运算错误，应为相加得5次方；D选项负号立方后应为负；B选项立方根运算正确，保持符号． 【详解】解：对于A：∵， ∴（除非，但一般情况不成立）， ∴A错误． 对于B：∵， ∴， ∴B正确． 对于C：∵， ∴， ∴C错误． 对于D：∵为负数， ∴， ∴D错误． 故选：B． 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，平分，交于点D，E在上且．若，，求（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质，即可证得，再根据定理，即可证得，，可得，，再根据，即可求得． 【详解】解：如图：过点D作于点F， 平分，， ， 在与中， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 8. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 至少有两个内角是直角 C. 至多有一个内角直角 D. 至多有两个内角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题只需根据在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行分析，得出答案. 【详解】根据反证法的步骤,则可假设为三角形中有两个或三个角是直角. 故选B. 【点睛】本题考查的知识点是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤是：1.假设结论不成立；2.从假设出发推出矛盾；3.假设不成立，则结论成立. 9. 下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 10. 如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A. B. 90°﹣ C. α﹣90° D. 2α﹣180° 【答案】D 【解析】 【分析】设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题． 【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x， ∵， ∴，， ∴γ+β＝∠B+∠C＝α， ∵EB′∥FG， ∴∠CFG＝∠CEB′＝y， ∴x+2y＝180°①， 根据平行线的性质和翻折的性质可得：，， ∴， ∵γ+y＝2∠B， 同理可得出：β+x＝2∠C， ∴γ+y+β+x＝2α， ∴x+y＝α②， ②×2﹣①可得x＝2α﹣180°， ∴∠C′FE＝2α﹣180°． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. （在实数范围内分解因式）___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． ，利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 13. 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于秒，那么这个工具1秒可以擦除___________次（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“科学记数法的运算”，理解题意，先统一单位再根据定义计算是解题关键． 计算1秒内擦除次数，需将总时间1秒除以每次擦除时间（400皮秒），统一时间单位计算即可． 【详解】每次擦除时间为400皮秒，已知1皮秒 等于 秒， 因此每次擦除时间 秒， 所以擦除次数等于 ， 故答案为： ． 14. 如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____． 【答案】125° 【解析】 【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解. 【详解】解：∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， 由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°， 故答案为125°． 【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识. 15. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1， 解得 ， ，且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键． 16. 若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得： ，即； ，即； ，即（恒成立）， 所以的取值范围为， 由于是整数，因此可取 2，3，4，5，6，共5个值， 即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 17. 在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定(定理)，关键是分两种情况讨论直角边的对应关系，结合斜边相等的条件确定的长度． 【详解】解：∵，， ∴，即与均为直角三角形，且斜边． 若，则与为对应边， ∵， ∴； 若，则与为对应边， ∵， ∴． 故答案为：或． 18. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 三、解答题（本大题有8个小题，共66分，其中第19-25题每题8分，第26题10分，解答时应写出文字说明及演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】（1）120千克，100千克 （2）480千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得， 经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． 【小问2详解】 解：设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 21. 如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连结，，延长交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，求证：. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1) 可得两组角想等, 由点为的中点得出ED=EC,从而可证全等. (2)利用三线合一的性质可以得出AB=BF,将BF分成BC和CF, 再根据(1)中全等所得条件CD=CF即可转换成所证. 【详解】(1)解：∵ ∴， ∵点为中点 ∴ ∴ （2）由（1）可得， ∵ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定,关键在于掌握基础知识. 23. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）8. 【解析】 【分析】（2）由线段垂直平分线的性质得到，再结合证明是直角三角形，据此解题； （2）根据题意解出的长，再根据勾股定理解题即可 【详解】（1）证明：连接， 垂直平分 是直角三角形， ； （2）解： 中， 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 24. 已知：如图，中的平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质和角平分线的性质可得，，利用可证，从而证出结论； （2）利用可证，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵点在的平分线上，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．证明是解题的关键． 25. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 26. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点D作，交的延长线于G，连接．点F是的中点，点H是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明. 【答案】（1） （2）， 理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的外角的应用和全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）由、，得是等边三角形，则；旋转得，结合，算得；利用外角定理，． （2）连接，，由、，旋转得，证，得、；由得，证，得；利用直角三角形斜边中线，得，且，则为等腰直角三角形，进而可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持宇体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内） 1. 下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，在中，，平分，交于点D，E在上且．若，，求（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 8. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 至少有两个内角是直角 C. 至多有一个内角是直角 D. 至多有两个内角是直角 9. 下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A. B. 90°﹣ C. α﹣90° D. 2α﹣180° 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. （在实数范围内分解因式）___________． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 13. 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于秒，那么这个工具1秒可以擦除___________次（用科学记数法表示）． 14. 如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____． 15. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 16. 若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 17. 在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 18. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 三、解答题（本大题有8个小题，共66分，其中第19-25题每题8分，第26题10分，解答时应写出文字说明及演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 21. 如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连结，，延长交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，求证：. 23. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长． 24. 已知：如图，中的平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 26. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点D作，交的延长线于G，连接．点F是的中点，点H是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $