7.2.2 平行线的判定知识归纳与题型突破 学案 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.2.2平行线的判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册 知识归纳： 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 3.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． 4.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直. 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. 题型突破： 题型一：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 5.如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是 　 　． 题型二：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 2.下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 题型三：利用两直线平行的条件解决实际问题 1.木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2.学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 3.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 题型四：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 2.下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 4.已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 5.请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 题型五：灵活运用判定方法说明两直线平行 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 3.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 4.如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 【答案】 7.2.2平行线的判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册 知识归纳： 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 3.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． 4.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直. 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. 题型突破： 题型一：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 【答案】C． 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 4.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 5.如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是 　 　． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型二：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 【答案】A． 2.下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 3.如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 4.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A． 5．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 6．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 题型三：利用两直线平行的条件解决实际问题 1.木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A． 2.学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D． 3.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【答案】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°， ∴∠5=180°-45°×2=90°， ∠6=180°-45°×2=90°， ∴∠5=∠6， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 题型四：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【答案】邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 4.已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 【答案】；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 5.请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 题型五：灵活运用判定方法说明两直线平行 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠E， ∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠3， ∴∠3＝∠BAE， ∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠BAE， ∴AB∥CD． 3.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 【答案】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（ 角平分线的性质）， 因为FG平分∠AGC，所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）． 4.如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）． 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）． 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝（90）°． 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 学科网（北京）股份有限公司 $