《坐标系、一次函数》期末复习---2025--2026学年苏科版数学八年级上册

2025—2026学年苏科版八年级数学上册《坐标系、一次函数》期末复习 一．选择题（共16小题） 1．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 2．将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列结论一定正确的是（　　）A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数与的图象的交点坐标为（　　）A． B． C． D． 5．如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为，则与之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（　　） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能 7．骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量档部离地面的距离（单位：，得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（　　） A．若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B．当时， C．与的关系式为 D．若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 8．电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，如图所示．下列说法不正确的是（　　） A． B．可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C．当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D．当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 9．如图1，交管部门在公路上设置超声波测速仪，测速仪向匀速直线行驶的汽车发出超声波信号，后接收到被汽车反射回来的信号，间隔后再次向该汽车发出超声波信号，后接收到被汽车反射回来的信号，该过程中超声波与测速仪之间的距离随时间的变化如图2所示．超声波在空气中的传播速度是．下列说法正确的是（　　） A． B．汽车车尾第二次碰到信号的位置与测速仪的距离为 C．所在直线的函数表达式为 D．该汽车的行驶速度为 10．已知一次函数，当时，，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D．2或 11．已知点，则点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和△的边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，△的一条直角边在轴上，点的坐标为；△中，，，，连接，点是中点，连接．将△以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（　　） A．3 B． C． D．2 15．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点．已知，．点到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D．或 二．填空题（共10小题） 17．已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 　　 ． 18．一次函数中两个变量，的部分对应值如表所示： 0 9 7 5 3 1 那么关于的方程的解是 　　． 19．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为　　 ． 20．如图，函数为常数，与，均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为　　 ． 21．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为　　． 0 1 2 2.5 8 13.5 22．一次函数为常数，且，当时，的最大值是，则的值是　　 ． 23．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于　　 ． 24．虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高，设甲容器中的液面高为（单位：，乙容器中的液面高为（单位：，小明绘制了，关于时间（单位：的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，的值为 　　 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点、则线段的长　　 ． 26．平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为 　　 ． 三．解答题（共24小题） 27．在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当直线平行于轴，且，求出点的坐标； （3）若点到轴和轴距离相等，求的值． 28．已知一次函数，为常数，且． （1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值． （2）若，点，在该一次函数图象上，求证：． 29．河南旅游资源丰富，其中龙门石窟是中国三大石窟之一，拥有97000余尊佛像；清明上河园是以《清明上河图》为蓝本而建造的大型宋代文化实景主题公园．某文旅店拟推出龙门石窟（用表示）和清明上河园（用表示）明信片组合套装．已知买2张明信片和1张明信片共需花费14元，3张明信片的价格比2张明信片的价格多2元． （1）分别求、两种明信片的单价； （2）现有40人的旅行团需要定制40套相同套装，要求每套明信片包含、两种共15张，且明信片的数量不少于6张．设购买所有的明信片所需费用为元，每套明信片中有张明信片，求与之间的函数关系式，并求出最少购买费用． 30．如图，直线分别与轴、轴交于点，，直线经过点，与交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的射线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①若，求点的坐标． ②若，且点位于轴右侧，求线段的长． 31．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，使△与△关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．此时点坐标为　　 ；点坐标为　　 ． （2）若作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点、，使，且△与△的面积相等．此时直线的函数表达式为　　 ． 32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，，，为一次函数的图象上一点． （1）直接写出、两点的坐标：　　，　　，　　，　　 （2）若，求的取值范围； （3）若点为一次函数图象上第一象限内一点．且满足，，求的值； （4）一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，直线与直线、直线不能围成三角形，直接写出符合条件的点的坐标． 33．定义：平面直角坐标系中，对于，、，两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为，已知，，． （1）如图1，轴，轴，　　 ． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）求满足的所有点围成的图形面积． 34．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点． 例如：，，则点是点和的衍生点． 已知点是点，的衍生点． （1）请直接写出点的坐标（用含的式子表示）． （2）若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 35．如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 36．某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇从海岸出发追赶（如图．图2中、分别表示快艇、可疑船只相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分之间的关系． 根据图象回答问题： （1）求的函数表达式； （2）当逃离海岸12海里时进入公海，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？请说明理由． 37．随着技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活，某公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了9个小时．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人每小时分拣快递　　 件； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当天乙机器人分拣快递的数量比甲机器人分拣快递的数量多　　 件． 38．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数（人与时间（分钟）满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数（人与时间（分钟）满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数（人和时间（分钟）之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 39．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 40．探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 41．浮箭漏（如图①由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为，得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读书 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的函数，请结合表格数据，求出该函数表达式； （3）应用上述得到规律计算：如果本次实验供水时间是，那么箭尺读数为多少厘米？ 42．某服装店经销，两种恤衫，，两种恤衫进价分别为45元件和60元件，售价分别为66元件和90元件． （1）第一次进货，服装店用6000元购进，两种恤衫共120件，服装店购进种恤衫 　　 件，购进种恤衫 　　 件； （2）第一次购进的恤衫全部售完，共获利多少元？ （3）第二次进货时，购入，两种恤衫共120件，种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的2倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 43．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 44．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：与时间（单位：的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决：（1）①点的坐标为　　 ． ②求线段对应的函数关系式． （2）乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． （3）从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 45．问题情境区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表． 建立模型（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数表达式． 问题解决（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度． （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 46．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． （1）由题意可知，　　 ，　　 ； （2）请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 47．如图①，一辆货车从南京出发匀速驶往上海，途经苏州，同时，一辆轿车从苏州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的地．设货车行驶时，货车与苏州的距离为，轿车与苏州的距离为，、与的函数图象如图②所示． （1）货车的速度是　　，轿车的速度是　　； （2）计算点，的坐标，并解释点的实际意义； （3）设轿车、货车的距离为，在图③中画出与的函数图象（标明必要的数据）． 48．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为1米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：　　 ； ②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：　　 ； （2）由（1）可得：　　 ，　　 ； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加5千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 49．【项目提出】“秤砣虽小压千斤”，某兴趣小组尝试制作一把简易杆秤． 【项目分析】杆秤由带有秤星（即刻度线）的秤杆、秤砣、秤盘和秤纽等组成，如图，称量时将重物放在秤盘中，移动系秤砣的挂绳使秤杆平衡，根据挂绳所处的位置就可以读出重物的质量．要制作杆秤，需要选择合适的秤杆，在上面确定秤盘槽，秤纽槽的位置以及其他各刻度线的位置． 【项目实施】 1．准备材料．（略 2．制作杆秤： 第一步：确定秤盘和秤纽位置，在秤杆的靠左端刻槽挂一个秤盘，在槽的右端稍近处再刻槽系上秤纽，假设槽与槽的距离为． 第二步：确定零刻度线，用细线系一个克的钩码，作为秤砣套在槽右端，调节秤砣的位置使秤杆平衡，这时细线在秤杆上的位置为秤的定盘星（即零刻度线），标记此位置，假设零刻度线与槽的距离为． 第三步：画刻度线，在秤盘中放100克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置，并记为100克，在定盘星到位置之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线右侧第1条刻度线表示2克，第2条刻度线表示4克，以此类推．（杆秤的刻度是均匀的，即秤砣与零刻度线的距离是重物质量的一次函数） 3．展示交流． 根据以上信息完成下列问题： （1）若秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，请写出与的数量关系； （2）兴趣小组通过实验得到一下数据如表： 如表 重物质量克 2 4 6 8 10 秤砣与零刻度线的距离厘米 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 根据表格数据，求与的函数关系式． （3）由（2）当所挂物重是58.5克时，求秤砣与零刻度线的距离及挂秤砣的细线更靠近第几条刻度线？ 50．【问题情境】在平面直角坐标系中有不重合的两点，和点，，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为，例：点，，则轴，的长度．点，，，的长度． 【应用】 （1）若点，，则轴，的长度为　　 ； （2）若点，轴，且，则点的坐标为　　 ． 【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，，，之间的折线距离为，例：图1中，点与点之间的折线距离为，． （3）如图2，已知，若，则　　 ； （4）如图2，已知，，若，求的值． 第14页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年苏科版八年级数学上册《坐标系、一次函数》期末复习 参考答案 一．选择题（共16小题） 1．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【解答】解：当时，的函数值为． 故选：． 2．将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是． 故选：． 3．已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：点，，且， 随的增大而减小， ， ， 时，， ，， 故选项符合题意． 故选：． 4．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数与的图象的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：二元一次方程组的解为， 在同一平面直角坐标系中，两函数与的图象的交点坐标为， 故选：． 5．如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为，则与之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（　　） A．B． C． D． 【解答】解：每增加一个盘子，厚度增加， ， 即图象是经过一二三象限，与轴交于正半轴的一次函数， 故选：． 6．如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（　　） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能 【解答】解：已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为，为常数），且在的标准量程内， 对于函数， 水银柱长度随温度的增加而均匀增加， ， 故选：． 7．骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量档部离地面的距离（单位：，得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（　　） A．若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B．当时， C．与的关系式为 D．若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 【解答】解：若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的， 正确，不符合题意； ， ，， ， ， 正确，不符合题意； 当时，， 正确，不符合题意； 当时，， ， 他不适合骑该山地车， 不正确，符合题意． 故选：． 8．电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，如图所示．下列说法不正确的是（　　） A． B．可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C．当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D．当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 【解答】解：当，， 正确，不符合题意； 由图象可知，可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小， 正确，不符合题意； （欧， 当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧， 正确，不符合题意； 将坐标和分别代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得， 当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为75千克， 不正确，符合题意． 故选：． 9．如图1，交管部门在公路上设置超声波测速仪，测速仪向匀速直线行驶的汽车发出超声波信号，后接收到被汽车反射回来的信号，间隔后再次向该汽车发出超声波信号，后接收到被汽车反射回来的信号，该过程中超声波与测速仪之间的距离随时间的变化如图2所示．超声波在空气中的传播速度是．下列说法正确的是（　　） A． B．汽车车尾第二次碰到信号的位置与测速仪的距离为 C．所在直线的函数表达式为 D．该汽车的行驶速度为 【解答】解：由题意，段是第一次超声波发射的速度，段是第二次超声波发射的速度也为，两者速度相同，故平行．正确； 由题意，汽车第二次碰到信号的位置与测速仪的距离第二次超声波传播时间为，距离为，而非，故错误； 线段过点和 线段的函数表达式为，故错误； 第一次碰到信号时，距离测速仪：，时间；第二次碰到信号时，距离测速仪：，时间， 又汽车行驶距离：，时间差：， 汽车的速度为，故错误． 故选：． 10．已知一次函数，当时，，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D．2或 【解答】解：当时，一次函数随增大而增大， 当时，且当时，， 令，，解得，不符题意， 令，，解得，不符题意， 当时，一次函数随增大而减小， 当时，且当时，， 令，，解得， 令，，解得，符合题意， 故选：． 11．已知点，则点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：点不可能在第一象限，理由如下： 点的坐标是，若点在第一象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组无解，符合题意； 点不可能在第一象限； 点的坐标是，若点在第二象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 点的坐标是，若点在第三象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 点的坐标是，若点在第四象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 故选：． 12．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和△的边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：当时，令，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与△边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和△的边有公共点时的取值范围为：或． 故选：． 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 因为正方形的边长为3，点的坐标为， 所以，，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为． 当直线经过点时，有， 解得； 当直线经过点时，有， 解得； 所以直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：． 14．如图，在平面直角坐标系中，△的一条直角边在轴上，点的坐标为；△中，，，，连接，点是中点，连接．将△以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（　　） A．3 B． C． D．2 【解答】解：取中点，连接，． 在△中，，， ， 、分别是、的中点， ， 在△中，，， ， 在△中，；当运动到上时，， ， 线段的最小值是3， 故选：． 15．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点．已知，．点到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 【解答】解：取的中点，连接，，，如图， 为的中点，， ． ， ． 当，，三点不在一条直线上时，， 当，，三点在一条直线上时，， 当，，三点在一条直线上时，点到原点的最大距离为18． 故选：． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：分两种情况： （1）如图，过作于， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， ，重合时，有， 点的坐标为； （2）2如图，过作于， ，， ， 又， △△， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， 又， △△， ， ， ， 设，则， ， ， 在△中，由勾股定理可得： ，即：， 解得：， ， ， 此时， 综上所述：或， 故答案选：． 二．填空题（共10小题） 17．已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 【解答】解：由条件可知， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案为：． 18．一次函数中两个变量，的部分对应值如表所示： 0 9 7 5 3 1 那么关于的方程的解是 　　． 【解答】解：根据上表中的数据值，当时，， 即一元一次方程的解是． 故答案为：． 19．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【解答】解：把代入经过得， ， 关于、的方程组的解为． 故答案为：． 20．如图，函数为常数，与，均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【解答】解：正比例函数为常数，且和一次函数的图象交于点， 当时，， 关于的一元一次不等式的解集为． 故答案为：． 21．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为　7　 ． 0 1 2 2.5 8 13.5 【解答】解：秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 故答案为：7． 22．一次函数为常数，且，当时，的最大值是，则的值是或 ． 【解答】解：一次函数为常数，且，当时，的最大值是， 当时，时，即，得； 当时，时，即，得； 故答案为：或． 23．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于 ． 【解答】解：由题知， 将代入得， ， 所以一次函数与轴的交点坐标为． 由得， ， 所以一次函数与轴的交点坐标为． 因为一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4， 所以， 解得， 经检验，符合题意． 故答案为：． 24．虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高，设甲容器中的液面高为（单位：，乙容器中的液面高为（单位：，小明绘制了，关于时间（单位：的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，的值为 　　 ． 【解答】解：当时，， 初始甲容器液面高， ， 又时，， 设， ， 解得， 甲容器向乙容器倒液体时，始终为16， ， 甲比乙低时，即， ， 解得：， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点、则线段的长 ． 【解答】解：作，如图所示： 由条件可知，； 平分，且， ； ， △△， ， ， ， ， 设，则，由勾股定理可得：， 解得：； ， ， 故答案为：． 26．平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为 　　 ． 【解答】解：如图，作轴于． ，， ，， ，， ，， ， △△， ，， ， 令，， ， 点在直线上运动，设直线交轴于，交轴于， 作于，则直线的解析式为， 由，解得， ， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时， 故答案为： 三．解答题（共24小题） 27．在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当直线平行于轴，且，求出点的坐标； （3）若点到轴和轴距离相等，求的值． 【解答】解：（1）点， 点在轴上， ， ， 此时， 点的坐标为； （2）点， 直线平行于轴，且， ， 解得， 此时， 点的坐标为； （3）点， 点到轴，轴距离相等， ， 或， 解得：或． 28．已知一次函数，为常数，且． （1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值． （2）若，点，在该一次函数图象上，求证：． 【解答】（1）解：此一次函数的图象经过，两点， ， 解得； （2）证明：一次函数，为常数，且的图象经过点，， ， ， ， ， ， ． 29．河南旅游资源丰富，其中龙门石窟是中国三大石窟之一，拥有97000余尊佛像；清明上河园是以《清明上河图》为蓝本而建造的大型宋代文化实景主题公园．某文旅店拟推出龙门石窟（用表示）和清明上河园（用表示）明信片组合套装．已知买2张明信片和1张明信片共需花费14元，3张明信片的价格比2张明信片的价格多2元． （1）分别求、两种明信片的单价； （2）现有40人的旅行团需要定制40套相同套装，要求每套明信片包含、两种共15张，且明信片的数量不少于6张．设购买所有的明信片所需费用为元，每套明信片中有张明信片，求与之间的函数关系式，并求出最少购买费用． 【解答】解：（1）设明信片的单价为元，明信片的单价为元， ， 解得：， 答：明信片的单价为5元，明信片的单价为4元； （2）每套明信片包含种张， 则，即， ，且为正整数； ， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为， 答：，最少购买费用为2640元． 30．如图，直线分别与轴、轴交于点，，直线经过点，与交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的射线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①若，求点的坐标． ②若，且点位于轴右侧，求线段的长． 【解答】解：（1）直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标为1，将代入得： ， ． 设直线的函数表达式为．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）①由题意知点的横坐标为， 则． 垂直于轴， 轴， 点，的纵坐标相同． 点在直线上， ， 解得：， ． ， ， 解得：或． 当时，得：； 当时，得：， 点的坐标为或； ②由可知． 点位于轴右侧，， ， 解得：， 点的坐标为． 由题意知轴， 点，的纵坐标相同． 点在直线上， ， 解得：， ， ． 31．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，使△与△关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．此时点坐标为　　 ；点坐标为　　 ． （2）若作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点、，使，且△与△的面积相等．此时直线的函数表达式为　　 ． 【解答】解：（1）如图1，直线即为所求； 作轴于，轴于， 则， 四边形为矩形， 垂直平分， ，， 设，， 点的坐标为， ，， 由勾股定理得：，， 解得：，， ，； 故答案为：，； （2）如图2，作线段的线段垂直平分线交轴于点，交轴于点，则直线即为所求， ， 由线段垂直平分线的性质可得，， 在△和△中， ， △△， ，△与△的面积相等， 由（1）可得，， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 如图3，作轴于，轴于，则四边形为矩形， ， ，△与△的面积相等， 此时，， 同理可得直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； 故答案为：或． 32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，，，为一次函数的图象上一点． （1）直接写出、两点的坐标：　2　，　　，　　，　　 （2）若，求的取值范围； （3）若点为一次函数图象上第一象限内一点．且满足，，求的值； （4）一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，直线与直线、直线不能围成三角形，直接写出符合条件的点的坐标． 【解答】解：（1）中，当时，则， 当时，，解得，则， 故答案为：2，0，0，； （2）由题意知，则， ，且， ； （3）由题意知，且， ，， 如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ，， 点， 点在直线上， ， 解得， ， 则； （4）设直线的解析式为， 如图2， 直线与直线、直线不能围成三角形， 直线直线或直线直线， ①若直线直线，则， 直线解析式为， 由得，即，； ②若直线过点时， 由得， 即点， 此时点， 综上，符合条件的点的坐标为，或． 33．定义：平面直角坐标系中，对于，、，两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为，已知，，． （1）如图1，轴，轴，　3　 ． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）求满足的所有点围成的图形面积． 【解答】解：（1）平面直角坐标系中，对于，、，两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为， 轴，，， 点纵坐标与相同为1，横坐标与相同为3，即． 轴，轴， ． 故答案为：3； （2）对于一次函数，令，解得，故；令，解得，故． 设在线段上， 在上，且线段中的范围是， ． ，． 将代入，得；． ，，为定值． （3）设，，，即． 表示的图形是由四条直线、、、围成的菱形． 其顶点分别为：当且时，；当且时，；当且时，；当且时，． 该菱形的两条对角线长度分别为水平方向从到的距离6， 垂直方向从到的距离6． 菱形面积公式为对角线乘积的一半，即． 34．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点． 例如：，，则点是点和的衍生点． 已知点是点，的衍生点． （1）请直接写出点的坐标（用含的式子表示）． （2）若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【解答】解：（1）由题知， 因为点是点，的衍生点， 所以，， 所以点的坐标为； （2）因为点坐标为， 所以点在轴上． 又因为直线交轴于点，且， 则轴， 所以点与点的横坐标相等， 则， 解得， 则， 所以点的坐标为． 35．如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【解答】（1）解：由题可知，， 则． ，则，， ， ． 在△和△中， ， △△； ， 的坐标为， ， ， 的坐标为； （2）证明：过分别作于点，作于点． ， △△， ，， 在△和△中， ， △△， ． ，， 平分， ； （3）解：的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ，，为的中点， ，，， ，， ． 即， ． 在△和△中， ， △△， ， ， ． 36．某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇从海岸出发追赶（如图．图2中、分别表示快艇、可疑船只相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分之间的关系． 根据图象回答问题： （1）求的函数表达式； （2）当逃离海岸12海里时进入公海，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？请说明理由． 【解答】解：（1）设的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即的函数表达式为； （2）能在逃入公海前将其拦截， 理由：由图可得， 快艇的速度为（海里分）， （分钟）， 将代入得：， 解得， ， 能在逃入公海前将其拦截． 37．随着技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活，某公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了9个小时．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人每小时分拣快递　600　 件； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当天乙机器人分拣快递的数量比甲机器人分拣快递的数量多　　 件． 【解答】解：（1）由图象可知，小时，只有乙机器人工作，进而求出乙机器人的工作效率为： （件小时）， 故甲的工作效率为（件小时）， 故答案为：600； （2）两个机器人的工作效率之和为（件小时）， 设直线的解析式为，由条件可得， 解得， ； （3）（件， 故答案为：3000． 38．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数（人与时间（分钟）满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数（人与时间（分钟）满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数（人和时间（分钟）之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【解答】解：（1）当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ； 综上，； （2）设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 39．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【解答】解：（1）设关于的函数表达式为为常数，且， 将，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为、为常数，且， 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25， 充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 40．探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【解答】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为：， 把，代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是； 任务二：当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭， 把代入中得：， 解得：， 当蜡烛燃烧340分钟时，会因为氧气不足而熄灭． 41．浮箭漏（如图①由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为，得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读书 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的函数，请结合表格数据，求出该函数表达式； （3）应用上述得到规律计算：如果本次实验供水时间是，那么箭尺读数为多少厘米？ 【解答】解：（1）描点，并连线，如图： （2）由（1）中图象知，该函数是一次函数， 设解析式为， 当，，，， 则有， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 函数解析式为． （3）当时，即， 答：供水时间是，那么箭尺读数为78厘米． 42．某服装店经销，两种恤衫，，两种恤衫进价分别为45元件和60元件，售价分别为66元件和90元件． （1）第一次进货，服装店用6000元购进，两种恤衫共120件，服装店购进种恤衫 　80　 件，购进种恤衫 　　 件； （2）第一次购进的恤衫全部售完，共获利多少元？ （3）第二次进货时，购入，两种恤衫共120件，种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的2倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【解答】解：（1）设购进种恤衫件，购进种恤衫件， 根据题意列出方程组为：， 解得， 购进种恤衫80件，购进种恤衫40件， 故答案为：80，40； （2）全部售完获利（元， 答：全部售完获利2880元； （3）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件， 根据题意， 解得， ； ②服装店第二次获利能超过第一次获利，理由： 由①可知，， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（元， ， 服装店第二次获利能超过第一次获利． 43．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【解答】解：（1）设所在直线的函数表达式为， ， 小球滚动过程中的速度与时间之间的关系为， 点坐标为． 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得 ； （2）当时， ， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 44．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：与时间（单位：的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决：（1）①点的坐标为 ． ②求线段对应的函数关系式． （2）乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． （3）从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 【解答】解：（1）①对应的函数关系式为，观察图象知点的纵坐标为120， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； ②观察图象知，设线段对应的函数关系式为， 把点代入，得， 解得， 线段对应的函数关系式为； （2）根据题意画出图象如图所示： 乙款机器人到达终点后，因故障耽误了， 点的横坐标为， ， 因为是以相同的速度返回起点，所以返回所用的时间与来时用的时间相同，为， 点的横坐标为， ， ，； （3）设线段对应的函数关系式，由题意可得： ， 解得， 线段对应的函数关系式， 设线段对应的函数关系式， ， 解得， 线段对应的函数关系式， 当时， 当乙款机器人还未动，但与甲款机器人相距时，则有， 解得， 则有， 解得或（舍去）， 故答案为：的值为或50． 45．问题情境区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表． 建立模型（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数表达式． 问题解决（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度． （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 【解答】解：（1）根据表格中变量的变化规律可知： ， 与之间的函数表达式为． （2）50分钟小时，当时，． 故小汽车的平均速度是． （3）根据题意得， 解得， 小时分钟．故行驶时间应不少于22.5分钟． 46．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． （1）由题意可知，　2　 ，　　 ； （2）请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点， 把点代入，得，解得， 把点代入，得，解得， 故答案为：2，2； （2）函数解析为， 列表如下： 0 1 2 3 0 3 6 9 12 描点、连线如下： 由图象可知：随的增大而增大（不唯一）； （3）解：当直线经过点时， 得，解得， 即此时该函数与轴的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点． 47．如图①，一辆货车从南京出发匀速驶往上海，途经苏州，同时，一辆轿车从苏州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的地．设货车行驶时，货车与苏州的距离为，轿车与苏州的距离为，、与的函数图象如图②所示． ． （1）货车的速度是　70　 ，轿车的速度是　　； （2）计算点，的坐标，并解释点的实际意义； （3）设轿车、货车的距离为，在图③中画出与的函数图象（标明必要的数据）． 【解答】解：（1）根据图象②可知， 货车的速度为，轿车的速度为， 故答案为：70，105； （2）设所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 所在直线的函数解析式为； 货车的速度为， 所在直线的解析式为； 轿车的速度为， ， ，， 所在直线的解析式为， 设所在直线解析式为， 则， 解得， 所在直线解析式为， 由，得， ； 由，得， ， 点的实际意义为：轿车与货车出发时，在距离苏州的地方第一次相遇； （3）由题意可知，南京到苏州，苏州到上海， 如图所示： ． 48．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为1米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为： ； ②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：　　 ； （2）由（1）可得：　　 ，　　 ； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加5千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 【解答】解：（1）①由题意，，，，， ， ， 故答案为：； ②由题意，，，， ， ， 故答案为：； （2）由题意，结合（1），联立方程组，， 故答案为：，； （3）①由题意得，，； ②，当时，；当时，； 相邻刻度线之间的距离为0.25米． 49．【项目提出】“秤砣虽小压千斤”，某兴趣小组尝试制作一把简易杆秤． 【项目分析】杆秤由带有秤星（即刻度线）的秤杆、秤砣、秤盘和秤纽等组成，如图，称量时将重物放在秤盘中，移动系秤砣的挂绳使秤杆平衡，根据挂绳所处的位置就可以读出重物的质量．要制作杆秤，需要选择合适的秤杆，在上面确定秤盘槽，秤纽槽的位置以及其他各刻度线的位置． 【项目实施】 1．准备材料．（略 2．制作杆秤： 第一步：确定秤盘和秤纽位置，在秤杆的靠左端刻槽挂一个秤盘，在槽的右端稍近处再刻槽系上秤纽，假设槽与槽的距离为． 第二步：确定零刻度线，用细线系一个克的钩码，作为秤砣套在槽右端，调节秤砣的位置使秤杆平衡，这时细线在秤杆上的位置为秤的定盘星（即零刻度线），标记此位置，假设零刻度线与槽的距离为． 第三步：画刻度线，在秤盘中放100克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置，并记为100克，在定盘星到位置之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线右侧第1条刻度线表示2克，第2条刻度线表示4克，以此类推．（杆秤的刻度是均匀的，即秤砣与零刻度线的距离是重物质量的一次函数） 3．展示交流． 根据以上信息完成下列问题： （1）若秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，请写出与的数量关系； （2）兴趣小组通过实验得到一下数据如表： 如表 重物质量克 2 4 6 8 10 秤砣与零刻度线的距离厘米 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 根据表格数据，求与的函数关系式． （3）由（2）当所挂物重是58.5克时，求秤砣与零刻度线的距离及挂秤砣的细线更靠近第几条刻度线？ 【解答】解：（1）秤盘质量为10克，秤砣质量为20克， ， ； （2）观察表格可得，重物质量增加2克，秤砣与零刻度线的距离就增加0.4厘米， 是的一次函数， 设， 把，代入得：， 解得， ； （3）在中，令得， 秤砣与零刻度线的距离为11.8厘米； 根据题意，零刻度线右侧第1条刻度线表示2克，第2条刻度线表示4克， 零刻度线右侧第29条刻度线表示58克，第30条刻度线表示60克， ， 挂秤砣的细线更靠近第29条刻度线． 50．【问题情境】在平面直角坐标系中有不重合的两点，和点，，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为，例：点，，则轴，的长度．点，，，的长度． 【应用】 （1）若点，，则轴，的长度为　4　 ； （2）若点，轴，且，则点的坐标为　　 ． 【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，，，之间的折线距离为，例：图1中，点与点之间的折线距离为，． （3）如图2，已知，若，则　　 ； （4）如图2，已知，，若，求的值． 【解答】解：（1）的长度为． 故答案为：4． （2）由轴，可设点的坐标为， ， ，解得：， 点的坐标为或． 故答案为：或． （3），． 故答案为：5． （4），，， ，解得：． 故答案为：2或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 19:05:32；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第1页（共36页） 学科网（北京）股份有限公司 $