1.2《等腰三角形》第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定定理及含30°角的直角三角形性质定理，通过情境观察图片、问题构建回顾等腰三角形性质与判定，以等腰三角形为基础自然过渡到等边三角形，搭建从特殊到更特殊的学习支架。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，如用含30°角的三角尺拼等边三角形、折纸验证，培养几何直观与空间观念。通过构造全等三角形证明性质，发展推理能力，逆命题探究提升逻辑思维。学生能深化知识理解与迁移，教师可依托完整教学环节提升教学效率。

三角形的证明及其应用 第2节 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定定理 及30°直角三角形的性质定理 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过回顾等腰三角形的性质与判定，结合三角形内角和定理，探究并证明等边三角形的两个判定定理. 2.通过动手拼接等操作活动,猜想并证明含30°角的直角三角形的性质定理,能应用该定理解决相关几何问题. 3.通过例题解析与变式拓展,深化对判定定理和性质定理的理解，提升逻辑推理和知识迁移能力,体会几何定理的双向性与实用性. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:从上面两幅图中你发现了什么？它们有怎样的关联？ 4 问题构建 问题1:前几节课我们学习了等腰三角形的性质与判定,谁能说说:等腰三角形有哪些性质？如何判定一个三角形是等腰三角形？ 问题2:等腰三角形是“两边相等”的特殊三角形,那有没有“三边都相等”的更特殊三角形？你认为等边三角形与等腰三角形是什么关系？ 等边三角形是特殊的等腰三角形. 5 性质 两腰相等 两底角相等 三线合一 判定 两角相等 两边相等 双线合一 问题构建 探究新知1・等边三角形的判定 问题3:我们知道“等边三角形三边相等、三角都为60°”,你还记得这个结论是怎么得出的吗？ 三边相等是等边三角形的定义.借助定义及等边对等角的结论可以得出三个角相等且都等于60°. 追问:如果一个三角形的三个角都相等,它是等边三角形吗？ 三个角相等→每个角为 60°→任意两角相等→两边相等→三边相等→等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 问题构建 探究新知1・等边三角形的判定 问题4:如果从等腰三角形的条件出发,可以增加怎样的条件得到等边三角形？ 增加一个内角等于60°. 追问1:这个增加的内角,从位置上来看,有几种情况？ 可以是顶角,也可以是底角. 追问2:能否得到等边三角形?和同学分享你的做法. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 顶角60° 两底角都等于60° 三个角相等 底角60° 另一个底角和顶角都等于60° 三个角相等 问题构建 探究新知2・含30°角的直角三角形性质 问题5:请大家拿出准备的正方形色卡纸,你能快速制作出一个等边三角形吗？ 追问:如何验证折叠出来的三角形是否是等边三角形？动手试一试. 度量角度或边长，也可以通过折叠验证. 问题构建 问题6:请拿出两个完全相同的含 30°角的三角尺（角度为 30°、60°、90°）,动手拼一拼:能拼成哪些三角形？其中能拼成等边三角形吗？ 顶角为120°的钝角等腰三角形 等边三角形 课下请同学们动手操作，可以拼出哪些图形，下面我们聚焦拼出的等边三角形开始研究. 协作破冰 问题7：观察拼成的等边三角形,结合三角尺的边,尝试找一找题目中线段的数量关系？ 观察等边三角形可得： 相等关系：AB=AD=BD 倍数关系：BD=2BC=2CD 对照两幅图观察30°直角三角形可得： AB=2BC 追问:对于含30°的直角三角形，短直角边和斜边存在怎样的数量关系，你有怎样的猜想？ 含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 请你尝试验证这个结论，写出验证的过程. 协作破冰 已知:如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30° 求证:BC=​AB 证明：如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90° ∴∠ACD=90° ∵AC=AC ∴△ABC≅△ADC（SAS） ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）。 在△ABC中 ∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠BAC=30°，∠ACB=90° ∴∠B=180°−30°−90°=60°。 ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）。 ∴BC= ​BD= ​AB 协作破冰 回顾刚才的证明过程,回答下面的问题串： 1.作辅助线的作用是什么？ 构造出两个三角形 2.证明全等的作用是什么？证明的方法是什么？ 证明两边相等,方法是SSS 3.全等之后题目中出现了哪种图形？ 等腰三角形 4.为什么要计算得出60°？ 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 5.本例的证明体现了哪种数学思想？ 构造法和转化思想 协作破冰 例3 求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高. 求证:CD=AB 证明：在△ABC中， ∵ AB=AC,∠B=15° ∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角)。 ∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∵ CD是腰AB上的高， ∴ ∠ADC=90° ∴ CD=AC (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴ CD=AB 教师示范 问题8:变式思考:如果等腰三角形的顶角为120°,腰上的高与腰长有什么关系？请尝试推导. 如图，等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,CD为腰AB上的高，判断线段CD与AC的数量关系,并说明理由. 解：CD=在Rt△ACD中 ∵∠BAC=120° ∴∠CAD=60° ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC 设AB=AC=2,则AD=,由勾股定理得： CD=因此,CD=𝐴𝐶 结论:腰上的高等于腰长的​​倍. 教师示范 ※14.证明：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.（课本P23 第14题） 探究新知3・探究逆命题，培养逆向思维 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB.求证:∠A=30°. 1.明确已知条件:在Rt△ABC中,∠C=90°，一条直角边BC=AB,需要证明的是______ ∠A=30° 2.为了利用“等边三角形”的性质,我们可以构造辅助线:延长BC到点D,使CD=BC,然后连接AD.这样做的目的是______ 构造与△ABC全等的三角形,从而得到AB=AD 请你完成后续的证明. 巩固拓展 证明:延长BC到点D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=180° −∠ACB=90° 在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≅△ADC（SAS） ∴AB=AD（全等三角形对应边相等） ∴ ∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等） ∵BC=AB,且BD=BC+CD=2BC ∴BD=AB ∴AB=AD=BD ∴△ABD是等边三角形 ∴∠BAD=60 ∘ （等边三角形的内角为60 ∘ ） ∴∠BAC= ∠BAD=30°，即∠A=30 ° 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB.求证:∠A=30°. 巩固拓展 问题10:根据本节课所学知识,尝试解释折纸成功的依据是什么？ 图1 图2 图3 图1→图2：构造一条直角边等于斜边的一半，从而构造30°（借助逆定理） 图2→图3：构造含60°的等腰三角形 当堂检测 1.下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三条边都相等的三角形. 其中是等边三角形的有( ) D A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 当堂检测 2.如图，在中，点为上一点，过点 作， ，且，， .求证： 是等边三角形. 当堂检测 证明：， ， . 在和 中， . . 又 ， 是等边三角形. 当堂检测 3. 如图，已知在 中， ， 于点， .求证： . 证明： 在中， ， , ， . ， , . ,即 . 反思总结 1.本节课我们探究的等边三角形判定定理与等腰三角形的判定有什么联系？你能梳理出从等腰到等边的逻辑脉络吗？ 2.含30°角的直角三角形的性质定理是通过构造等边三角形证明的,这种“构造全等三角形/特殊图形”的方法对你解决其他几何问题有什么启发？ 3.结合本节课的学习,你认为“判定定理”与“性质定理”之间有什么共性和差异？请结合等边三角形或含30°角的直角三角形的相关定理举例说明. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第20页 第1,2题 二、素养类作业 课本第21页 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $