第4章 3 公式法-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3 公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 要点提示 平方差公式的逆用：把乘法公式(a十b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a十b)(a一b). 语言叙述：两个数（式）的平方差等于这两个数（式）的和乘这两个数（式）的差， O1固基础 6.（2025深圳期中)因式分解：4m一m3= 知识点1直接用平方差公式因式分解 7.把下列各式因式分解： 1.(2025吉安青原区期中)下列多项式中，能运 (1)2x3y-2xy3. 用平方差公式分解因式的是 A.a2+62 B.a2-4b2 C.a2-2ab+b2 D.-a2-b2 2.若x2一16=(x-a)(x十a),则a等于( A.16 B.±4C.4 D.±2 (2)x2(a-b)+4(b-a). 3.小明在抄因式分解的题日时，不小心漏抄了 二项式☐x2一y2(“☐”表示漏抄的部分)中 x2前的式子.若该二项式能因式分解，则 “口”不可能是 A.y B.4 C.-4 D.16 4.把下列各式因式分解： 知识点3用平方差公式因式分解的应用 (1)49a2-36b2. 8.图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物） 和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套 器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从 (2)-16+25m2. 上面看到的图形如图②所示.若大正方形的 边长为2a+b,小正方形的边长为2a一b,则 (3)(x-3)2-9. 放置冰块部分的面积为 2a+b 2- 知识点2先提取公因式再利用平方差公式 图① 图② 因式分解 第8题图 5.把多项式a3一4a因式分解，结果正确的是 ◆易错点分解不彻底导致出错 9.因式分解：(2x-y)2-(4x十3y)2= A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4 数学八年级BS版 02提能力 15.正整数m是一个两位数，若m的个位上的 数字为8，则称m为“好数” 10.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手 (1)若正整数m十位上的数字为a,且m为 册中有一条信息，信息中a一b,x一y,x十 “好数”，则m可以表示为 y,a十b,x2-y2,a2一b2分别对应下列六个 (2)在(1)的条件下，有“好数”m,m2一64. 字：春、爱、我、宜、游、美.现将(x2一y2)a2一 其中m2一64的结果一定为20的倍数吗？ (x2一y2)b2因式分解，结果呈现的密码信 请说明理由. 息可能是 A.我爱美 B.宜春游 C.我爱宜春 D.美我宜春 11.已知a,b,c是一个三角形三边的长，则代 数式(a一b)2-c2的值 ……◆O3拓思维心… A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定是零 D.可能是零 16.运算能力从边长为a的正方形中剪掉一 12.已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的 个边长为b的正方形（如图①），然后将剩 值为 余部分拼成一个长方形（如图②）. 13.把下列各式因式分解： (1)9(a+b)2-25(a-b)2. 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是 (2)(x+1)(x-9)+8x. (填选项)， A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.a2-2ab+b2=(a-b)2 14.下面是嘉淇同学把多项式一16my2+4m.x C.a2+ab=a(a+b) 因式分解的具体步骤： (2)若x2一y2=16,x十y=8,求x-y的值. 利用加法交换律变形，得4m.x2一16my2, (8)计算：(1-2)×(1-3)×(1-)×… 提取公因式m,得m(4x2-16y2), 逆用积的乘方公式，得m[(2x)2-(4y)2], ×1-200)×1-2. 运用平方差公式因式分解，得m(2x+ 4y)(2x-4y). (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原 因是 (2)请给出这个问题的正确解法 下册第四章 65 第2课时 运用完全平方公式因式分解 要点提示 完全平方公式的逆用：把乘法公式(a十b)2=a2十2ab十b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到a2+2ab十b2 =(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 因式分解的一般思路：“一提”“二套”“三检查” (1)“一提”：先看是否有公因式，若有，先提取公因式.(2)“二套”：看能否运用公式法因式分解.(3)“三检查”：检查 因式分解是不是彻底，要分解到每一个因式都不能再分解为止 O1固基础之 知识点(3先提公因式再利用完全平方公式 因式分解 知识点1完全平方式 5.多项式2m2+12m+18因式分解，正确的结 1.(教材变式)下列各式中，是完全平方式的是 果是 ( A.2m2(m+3) B.2(m+3)2 A.16.x2+1 B.x2+2.x+1 C.2m(m+3) D.2(m2+6m+9) C.x2-x+1 D.a2+2ab-462 6.分解因式：3x2-18x+27= 知识点2直接运用完全平方公式因式分解 7.把下列各式因式分解： 2.多项式9x2-6x十1因式分解的结果是 (1)x3-2x2y+xy2. A.(3x+1) B.(3x-1)2 (2)-3ma2+12ma-12m. C.(9x+1)2 D.(9x-1)2 3.（2025武威)因式分解：x2-6x+9= 8.已知a十b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2 4.因式分解： +ab3的值. a1+2m+6m. 1 知识点(4用完全平方公式分解因式的应用 9.若正方形的面积是25x2+10xy+y2(x>0, (2)(m+n)2-4(m+n)+4. y>0)，则该正方形的边长为 易错点对完全平方式的特征理解不 透彻导致出错 (3)(m+n)2-4mn. 10.在多项式x2十1中添加一个单项式， 使其成为一个完全平方式，则添加的 单项式是 数学八年级BS版 02提能力 18.已知a2+6a+b2-10b+34=0,求代数式 (2a+b)(3a-2b)+4ab的值. 11.(教材变式)多项式a2+4与下列单项式的 和不能因式分解的是 ( A.-4aB.-5C.4a D.5 12.已知代数式-a2+2a一1，无论a取何值， 它的值一定是 A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 13.利用因式分解计算：3032一606×297+ ……念O3拓思维心…… 2972= 19.我们已经学过利用提公因式法和公式法对 14.若|p十2|与q2一8q+16互为相反数，则多 多项式进行因式分解.其实，因式分解的方 项式x2+y2一(xy十q)因式分解的结果 法还有分组分解法、拆项法等， 是 ①分组分解法，如x2一2xy十y2一4= 15.如图，长、宽分别为a,b (x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-4=(x- 的长方形的周长为14，面 y+2)(x-y-2); 积为10，则a3b+ab3+ 第15题图 ②拆项法，如x2+2x一3=x2十2x+1一4 2a2b2的值为 =(x+1)2-4=(x+3)(x-1). 16.把下列各式因式分解： 【问题解决】 (1)a4-18a2b2+81b4. (1)选用上述方式对下面的多项式进行因 式分解： ①4x2+4x-y2+1: ②x2-6.x+8. (2)若a,b,c是△ABC的三条边，且a2+ (2)x2(y2-1)+2x(y2-1)+y2-1. b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求△ABC 的周长 17.(教材变式)已知x十y=3,x一y=一2，求 (x2+y2)2-4x2y2的值 下册第四章当x-1=0,即x=1时，2x3+ax2+7x十b=0,.2+ a+7+b=0.② 联立①②，得厂16+4知-14+6=0 2+a+7+b=0, 解得13， 1b=-22. 2提公因式法 第1课时公因式是单项式的提公因式法 1.B2.(1)2(2)3x(3)4xy23.A 4.ab(b+a)5.24 6.证明：原式=3223×(32-3-1) =32023X5=15×322, ∴.32025一32024一32023能被15整除. 7.-b(ab2-3a+3)8.C 9.B【解析】由题意，得ab=10,a一b=5, ,∴.原式=ab(a-b)=10×5=50. 10.一8【解析】.6一√2的整数部分为4，∴.a=4, .ab2-3ab-4b=4b2-12b-4b=4b(b-4)=4× (2-√2)×(2-√2-4)=-4×(2-√2)×(2+√J2) =-4×「22-（√2）2]=-4×2=-8. 11.证明：：3"+3+3”=3"×33+3”=3"×(33+1)=28× 3"=4X7X3", ∴.3+3与3”的和一定能被4和7整除. 12.解：U=IR1+IR2+IR=I·(R1+R2+R).当R1 =34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时，原式=2.5 ×(34.9+20.8十32.3)=220，∴.线路AB两端的电 压为220V. 第2课时公因式是多项式的提公因式法 1.B2.m2+mn+n23.B4.A 5.解：(1)原式=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2). (2)原式=2x(x-y)2-4y(x-y)2=2(x-y)2(x 2y). 6.A7.4 8.-8或g【解析】将(2x-10)(x-2)-（x-2)(x- 13)因式分解，得(x-2)(x十3)，.a=-2,b=3或a =3,b=-2.当a=-2,b=3时，a0=(-2)3=-8; 当a=3,b=-2时，a=32=1 Γ9 综上所述，。的值是-8或行 9.解：原式=a(a十b)(a-b-a-b)=-2ab(a+b). 1 。1 1 “a+6=1,ab=4原式=-2×4×1=-2 10.解：杨力说的对.理由如下： 原式=(a3-2a2)-(a2b-2ab) =a2(a-2)-ab(a-2) =(a-2)(a2-ab) =a(a-2)(a-b) a=2,∴.a-2=0, ∴原式=0，杨力说的对. 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 1.B2.B3.C 4.解：(1)原式=(7a十6b)(7a-6b). (2)原式=25m2-16=(5m+4)(5m-4). (3)原式=(x-3+3)(x-3-3)=x(x-6). 5.C6.m(2+m)(2-m) 7.解：(1)原式=2xy(x2-y2)=2xy(x十y)(x-y). (2)原式=(a-b)(x2-4)=(a-b)(x+2)(x-2) 8.8ab9.-4(3x+y)(x+2y)10.C11.A 12.10【解析】，a+b=1,a2-b2+2b+9=(a+b)(a -b)+2b+9,∴.原式=a-b+2b+9=a+b+9 =10. 13.解：(1)原式=[3(a+b)+5(a-b)][3(a+b)-5(a- b)] =(8a-2b)(8b-2a) =4(4a-b)(4b-a). (2)原式=x2-8x-9十8x =x2-9 =(x+3)(x-3). 14.解：(1)公因式没有提取完 (2)原式=4m(x2-4y2)=4m(x+2y)(x-2y). 15.解：(1)10a+8 (2)m2-64的结果一定为20的倍数.理由如下：m -64=(10a+8)2-64=(10a+8+8)(10a+8-8) =20a(5a十8).结果中含有因数20，.m2-64的 结果一定为20的倍数. 16.解：(1)A (2)x2-y2=(x十y)(x-y)=16,x+y=8, ∴.8(x-y)=16,x-y=2. 3)原式=(1-2）)×(1+2)×(1-3)×(1+ 号)×(1-)×(1+)×…x(1-202)×(1 2021 ×2022-1×2022_101 20212×20212021 第2课时运用完全平方公式因式分解 1.B2.B3.(x-3)2 4.解：11+2m+6m2=(1+子m）) (2)(m+n)2-4(m+n)+4=(m+n-2)2. (3)(m+n)2-4mn=(m-n)2. 5.B6.3(x-3)2 7.解：(1)原式=x(x2-2xy十y2)=x(x-y)2. (2)原式=-3m(a2-4a+4)=-3m(a-2)2. 8.解：原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2. 下册参考答案 a+b=3,ab=2,∴.原式=2×32=18. 9.5x+y10.士2x或4x 11.D12.B13.36 14.(x+y+2)(x十y-2)【解析】|p+21与q2-8g 十16互为相反数， .1p+2|+g2-8g+16=0, 即|p+21+(g-4)2=0, .p=-2,g=4, .原式=x2+y2-(-2xy+4)=x2+y2+2xy-4 =(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2). 15.490【解析】.2(a十b)=14,∴.a十b=7.又，ab= 10,:.ab+ab:+2a2b2=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+ b)2=10×72=490. 16.解：(1)原式=(a2-9b2)2 =(a+3b)2(a-3b)2. (2)原式=(y2-1)(.x2+2x+1)》 =(y+1)(y-1)(x+1)2. 17.解：原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x十y)2(x-y)2. 当x十y=3,x-y=-2时， 原式=32×(-2)2 =9×4 =36. 18.解：：a2+6a+b2-10b+34=0, .(a十3)2+(b-5)2=0,.a=-3,b=5, .∴.(2a+b)(3a-2b)+4ab=[2×(-3)+5]×[3X (-3)-2×5]+4×(-3)×5=(-1)×(-19)-60 =-41. 19.解：(1)①原式=(4x2+4x+1)-y2=(2x+1)2-y =(2x+1+y)(2x+1-y). ②原式=x2-6x+9一1=(x一3)2一1=(x-2)(x -4). (2),a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,.(a2-4a +4)+(b2-4b+4)+(c2-6c+9)=(a-2)2+(b- 2)2+(c-3)2=0,∴.易得a=2,b=2,c=3,.a+b +c=2+2+3=7,∴.△ABC的周长为7. 本章小结 1.D2.B3.A4.-2 5.1【解析】设另一个因式是x十a, 则x2十m.x十n=(x+1)(x十a)=x2十a.x+x+a= x2+(a+1)x+a. 由此可得m=a十1，n=a, ∴.m-n=a+1-a=1. 6.A7.B8.A 9.A【解析】A.原式=(a一b)(2a一b),故A选项正确 B.原式=2(a-1)2+7,故B选项错误.C.原式=(a- 数学八年级BS版 2)(a-3),故C选项错误.D.原式=3(a十2)(a一2)， 故D选项错误. 10.(x-3)(x+3)11.(x+3) 12.一8【解析】由题意，得m=一2，n=3,∴.m2十2m十 1-n2=(m+1)2-n2=(m+n+1)(m-n+1)=2 ×(-4)=-8. 13.解：(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c). (2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3 =5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x). (3)原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x一 4). (4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2. 14.B 15.A【解析】由题意，得M-N=(a2-a)-(a-2)=a2 -a-a+2=a2-2a+2=a2-2a+1+1=(a-1)2+1. (a-1)2≥0，.(a-1)2+1≥1， ∴.M-N≥1，.M>N. 16.2023 17.3080π【解析】S围影=πR2-4πr2=π(R2-4r2) =π(R+2r)(R-2r) =π×(65.4+2×17.3)×(65.4-2×17.3) =π×100×30.8 =3080π(mm2). 18.解：(1)原式=(a+b)2-2ab =(-3)2-2X2 =9-4 =5. (2)原式=ab(a2+b2) =2×5 =10. (3)原式=a2b2(a2+b2+2ab) =[ab(a+b)] =[2×(-3)] =36. 19.解：(1)原式=(x+y)(x2+3xy+y2-5xy) =(x+y)(x-y)2. 当x=6.6,y=一3.4时，原式=(6.6-3.4)×(6.6 +3.4)2=3.2×100=320. (2):x-y=3,∴.(x-y)2=x2-2xy+y2=9. 又：x2+y2=13,∴.13-2xy=9,解得xy=2. 当xy=2,x2+y2=13时，x3y-8x2y2+xy3 xy(x2-8xy+y2)=2×(13-8×2)=2×(-3)= -6. 20.解：(1)a2-b2 (2)a2-b2=(a+b)(a-b). 当a=6.75cm,b=3.25cm时， 阴影部分的面积=6.752-3.252=(6.75+3.25)× (6.75-3.25)=10×3.5=35(cm2). 21.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a2)+(x+a)=(x+