考点02 向量运算9大题型（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点02 向量运算 考点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 5、向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 考点二：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 考点三：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 考点四：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： （1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． ②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． ③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． （2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． （3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 题型一：向量加法法则 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 向量加法易混三角形与平行四边形法则，忽略向量起点衔接，误将模长直接相加，忘记共线向量加法的特殊情况。 1．（2025·高一·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 3．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 4．（2025·高一·贵州贵阳·月考）设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 题型二：向量减法法则的应用 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 向量减法易混淆减向量与被减向量，忽略起点共点要求，误将差向量方向搞反，未掌握 “终减起” 的核心法则。 1．（2025·高一·广东中山·月考）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·陕西·期中）在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三：向量的线性运算 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 向量线性运算易漏数乘向量方向，混淆加减运算法则，忽视共线条件，错把向量模长与实数运算等同，忽略运算律适用前提。 1．（2025·高一·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 2．（2025·高一·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 3．如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 4．设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 5．化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 题型四：用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 用已知向量表其他向量，易找错向量关系，漏用平面向量基本定理，忽视系数对应，错拆向量、方向标反，未利用共线简化表达。 1．（2025·高二·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·高三·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·贵州遵义·期末）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：向量共线的判定及应用 （1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 向量共线判定易忽略零向量特殊性，误用模长共线代替向量共线，应用时漏验证系数存在性，混淆向量共线与三点共线条件。 1．（2025·高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2025·高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（2025·高三·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 4．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 5．（2025·高一·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 题型六：三点共线的常用结论（鸡爪定理） 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 鸡爪定理证三点共线易漏系数和为 1，混淆向量起点，错定基底向量，忽略零向量情况，误将共线向量直接等价于三点共线。 1．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 2．（2025·高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 3．已知，，，过的中点任作一条直线，与射线和分别交于点和，则的最小值为 ． 4．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 5．（2025·高一·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 题型七：求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 求向量数量积易误取两向量补角算夹角，忽略向量模长非负，混淆数量积与向量模长运算，漏看向量共线垂直特殊情况。 1．（2025·高一·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 2．（2025·高一·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 3．（2025·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 4．（2025·高三·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 5．在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 题型八：向量的模和夹角的计算问题 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 求模夹角易忘模长平方转数量积，误算夹角范围，忽略向量方向，错用模长和积代数量积，漏验垂直共线特殊情况。 1．（2025·高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 2．（2025·高二·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 3．（2025·高二·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 4．（2025·高一·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 5．（2025·高一·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 题型九：与垂直有关的问题 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 向量垂直问题易漏数量积为 0 的核心条件，忽略零向量特殊性，混淆垂直与共线，未结合模长条件联立求解。 1．（2025·高三·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 2．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 3．（2025·高一·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 4．（2025·高一·河北唐山·期末）已知平面向量与的夹角为45°，且，． (1)求 (2)求； (3)若与垂直，求的值． 5．（2025·高一·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·期末）已知平面向量，则“”是“共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 7．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 8．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 14．（多选题）（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 16．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 17．（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 向量运算 考点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 5、向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 考点二：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 考点三：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 考点四：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： （1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． ②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． ③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． （2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． （3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 题型一：向量加法法则 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 向量加法易混三角形与平行四边形法则，忽略向量起点衔接，误将模长直接相加，忘记共线向量加法的特殊情况。 1．（2025·高一·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 2．（2025·高二·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 3．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【解析】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 4．（2025·高一·贵州贵阳·月考）设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，易知点为，，的中点， 所以，，， 所以， 故选：D. 5．（2025·高一·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【解析】因为， 所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等， 所以四边形是平行四边形， 故选：B． 题型二：向量减法法则的应用 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 向量减法易混淆减向量与被减向量，忽略起点共点要求，误将差向量方向搞反，未掌握 “终减起” 的核心法则。 1．（2025·高一·广东中山·月考）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 2．（2025·高二·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 3．（2025·高三·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 4．（2025·高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 5．（2025·高一·陕西·期中）在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 题型三：向量的线性运算 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 向量线性运算易漏数乘向量方向，混淆加减运算法则，忽视共线条件，错把向量模长与实数运算等同，忽略运算律适用前提。 1．（2025·高一·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【解析】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 2．（2025·高一·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【解析】（1）由向量的线性运算法则， 可得. （2）由向量的运算法则，可得. 3．如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【解析】（1）证明：由向量加法的三角形法则， 因为，所以. （2）证明：由向量加法的平行四边形法则， 因为， 所以 . 4．设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）根据向量的运算法则，可得. （2）根据向量的运算法则， 可得. （3）根据向量的运算法则， 可得. 5．化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）. （2） . （3） . 题型四：用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 用已知向量表其他向量，易找错向量关系，漏用平面向量基本定理，忽视系数对应，错拆向量、方向标反，未利用共线简化表达。 1．（2025·高二·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 2．（2025·高三·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 3．（2025·高一·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 4．（2025·高三·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 5．（2025·高二·贵州遵义·期末）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 故选：D 题型五：向量共线的判定及应用 （1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 向量共线判定易忽略零向量特殊性，误用模长共线代替向量共线，应用时漏验证系数存在性，混淆向量共线与三点共线条件。 1．（2025·高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 2．（2025·高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 3．（2025·高三·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 4．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 5．（2025·高一·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 题型六：三点共线的常用结论（鸡爪定理） 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 鸡爪定理证三点共线易漏系数和为 1，混淆向量起点，错定基底向量，忽略零向量情况，误将共线向量直接等价于三点共线。 1．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 2．（2025·高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【解析】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 3．已知，，，过的中点任作一条直线，与射线和分别交于点和，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】因为， 又因为三点共线，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 4．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（2025·高一·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型七：求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 求向量数量积易误取两向量补角算夹角，忽略向量模长非负，混淆数量积与向量模长运算，漏看向量共线垂直特殊情况。 1．（2025·高一·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 【答案】 【解析】在上的投影为，则，所以， 故答案为：． 2．（2025·高一·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【答案】/0.5 【解析】由题可知：向量在向量上的数量投影. 故答案为： 3．（2025·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【解析】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 4．（2025·高三·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 【答案】14 【解析】在等边中，， 则. 故答案为：. 5．在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 题型八：向量的模和夹角的计算问题 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 求模夹角易忘模长平方转数量积，误算夹角范围，忽略向量方向，错用模长和积代数量积，漏验垂直共线特殊情况。 1．（2025·高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 2．（2025·高二·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【解析】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 3．（2025·高二·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）因， 则， 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 4．（2025·高一·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【解析】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 5．（2025·高一·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【解析】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 题型九：与垂直有关的问题 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 向量垂直问题易漏数量积为 0 的核心条件，忽略零向量特殊性，混淆垂直与共线，未结合模长条件联立求解。 1．（2025·高三·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 【解析】（1）由； （2）由题设， 所以，可得. 2．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 【解析】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 3．（2025·高一·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【解析】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 4．（2025·高一·河北唐山·期末）已知平面向量与的夹角为45°，且，． (1)求 (2)求； (3)若与垂直，求的值． 【解析】（1）； （2）； （3）由题意可知， 即，解得： 5．（2025·高一·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）. . （2）因为， 所以，解得. 1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京·期末）已知平面向量，则“”是“共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】两边平方得： 即， 若平面向量都是零向量或其中有一个是零向量，显然共线， 若平面向量都不是零向量， 由，所以显然共线， 因此由能推出共线. 当共线时，若两个非零向量满足，显然共线， ， 因此由共线不一定能推出， 所以“”是“共线”的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【解析】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 7．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为. 故选：B. 8．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 9．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 10．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 故选：D 11．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 12．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 14．（多选题）（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】如图，设，.因为， 所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，， 则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°， 向量，的夹角为60°，向量，的夹角为. 故选：BD. 15．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 16．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 17．（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【解析】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $