2025-2026学年人教版数学八年级上册寒假巩固作业 06等腰三角形

寒假巩固作业06等腰三角形 目录 题型一、找出图中的等腰三角形 1 题型二、三线合一 2 题型三、等边对等角 3 题型四、含的直角三角形 4 题型五、格点图中画等腰三角形 4 题型六、等腰三角形性质和判定 6 题型七、创新题型练 7 题型一、找出图中的等腰三角形 1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 3．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 4．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型二、三线合一 5．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型三、等边对等角 9．等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 10．如图，，点E在线段上，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．若射线恰好经过点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 12．已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 题型四、含的直角三角形 13．如图，将沿向右平移得到，与交于点，若，，，则的长度为 ． 14．如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为 米． 15．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 16．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 题型五、格点图中画等腰三角形 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． (1)点关于轴的对称点的坐标是_______； (2)若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； (3)若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 19．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1） （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明 ． 20．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)是点关于轴的对称点，是轴上的动点，在图中找出使最小的点，直接写出点坐标； (3)在坐标轴上找出点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数为_______个． 21．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个等腰三角形且顶角为锐角； (2)在图②中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 题型六、等腰三角形性质和判定 22．如图，在平面直角坐标系中，，轴，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 题型七、创新题型练 24．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 25．如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的值． 26．如图，是的高，平分交于点E，过点作，垂足为点F，并交于点G，且． (1)求证：； (2)试探究线段，和三者间的数量关系，并证明你的结论． 27．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 28．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 29．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业06等腰三角形 1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 2．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 3．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 4．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 5．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 6．如图，在中，，点是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识；连接，由线段垂直平分线的性质得，则，当点M在线段上时，取得最小值，利用面积即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵腰的垂直平分线是， ∴， ∴， 当点M在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， ∵等腰三角形的底边长为4，面积是16， ∴， 即， ∴， 即取得最小值为8， 故选：B． 9．等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形有两个相等的底角，给定角不能是底角（否则内角和超过），因此是顶角，由此确定底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，设底角为， ∵三角形内角和为， ∴若为顶角， 则， ； 若为底角，则另一底角也为， 则顶角为，不成立； ∴必为顶角，底角为 故选：A． 10．如图，，点E在线段上，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角， 先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 11．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．若射线恰好经过点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．由作图可得垂直平分，平分，推出，，进而可得，最后利用三角形内角和定理列式求解． 【详解】解：由作图得垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 12．已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形有两个角相等，需考虑是顶角或底角的情况，分别计算的可能值． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： 情况1：当是顶角时， 则底角相等，即， ∴； 情况2：当是底角时， 此时分两种情形：若也是底角，则； 若是顶角，则另一底角，故． 综上，可能为或或． 13．如图，将沿向右平移得到，与交于点，若，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键． 根据平移的性质可得，，，求出，根据平行线的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵由沿向右平移得到， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 故答案为：． 14．如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为 米． 【答案】4 【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，米， ∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角， ∴（米）， 故答案为：4． 15．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质得出，求得，进而根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：D． 16．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查坐标与轴对称，网格中画等腰三角形，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的定义是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的定义和网格特点确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵点H的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：如（1）图，点． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． (1)点关于轴的对称点的坐标是_______； (2)若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； (3)若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)图见解析； 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换、等腰三角形的性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （2）根据题意当为直角边，为直角顶点时，将绕点逆时针旋转，可找到一个点；当为直角边，为直角顶点时，将绕点顺时针旋转，可找到一个点；再以为对角线时，利用网格，画出正方形，可得到两个点，共4个点； （3）根据题意确定出三点的对应点，再连接可得，进而可得点的坐标． 【详解】（1）解：关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵为等腰直角三角形，格点在第四象限， ∴如图，当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为斜边时，点坐标为，， ∴满足题意的格点一共有4个， 故答案为：4； （3）解：如图即为所求作，． 19．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1） （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明 ． 【答案】 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 20．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)是点关于轴的对称点，是轴上的动点，在图中找出使最小的点，直接写出点坐标； (3)在坐标轴上找出点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数为_______个． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据，两点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求； （3）分三种情形寻找点即可． 【详解】（1）解：直角坐标系如图所示： （2）如图，点即为所求，; （3）当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有两个，图中； 当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有个，图中； 当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有个，图中； 故答案为：． 21．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个等腰三角形且顶角为锐角； (2)在图②中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图，根据几何性质和网格，确定点的位置的解题关键． （1）根据等腰三角形的性质，找到与的相等边，通过网格作相等边的画法确定点的位置即可； （2）在点E，F所在的同一横行的格点上，取两点，使这两点的连线能与关于某条直线对称，依次连接这四个点即可． 【详解】（1）如答图，即为所求．（作法不唯一，合理即可） （2）如答图，四边形即为所求．（作法不唯一，合理即可） 22．如图，在平面直角坐标系中，，轴，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点B的坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴， 过点作，则轴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选D． 23．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 24．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 25．如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据垂直平分线的性质，推出，则，即可求出的度数； （2）根据垂直平分线的性质，得出，，由（1）可知：，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵垂直平分，， ∴，． 由（1）可知：， ∴． ∴． 26．如图，是的高，平分交于点E，过点作，垂足为点F，并交于点G，且． (1)求证：； (2)试探究线段，和三者间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，根据同角的余角相等得到，即可根据“”证明． （2）由全等三角形的性质得到，，进而得到，又由得到，因此，从而，根据线段的和差与等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 27．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）50 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出． ②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过A作交延长线于G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 28．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；；（3）证明见解析；（4）①，理由见解析；② 【分析】（1）由作图过程及已知得，，，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形三边关系即可得出答案； （3）如图，延长至，使，证明得，，再根据等边对等角得，进一步推出，即可得证； （4）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，继而得到，即可得证； ②如图，过点作交的延长线于点，得，，由①知：，，可推出，证明得，，继而得到，即可得解． 【详解】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故答案为：；；； （3）证明：如图，延长至，使，    ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）解：①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点，    ∴，， 由①知：，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $