精品解析：安徽合肥市第十中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学模拟试卷

2025—2026学年高一上期期末考试数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知函数图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（ ） A. B. π C. D. 2π 8. 已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 11. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数恒过点，则__________. 13. 已知，，则______． 14. 小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：的值； （2）计算的值； （3）若，求值. 16. 洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ （2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值． 17. 已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； （3）若函数，若对任意的，都存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，，，求； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一上期期末考试数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的性质及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】∵，∴，∴或， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般幂函数的性质判断各项是否符合题设. 【详解】对于幂函数，在时函数在上是严格增函数，D不符； 又的定义域不关于原点对称，是奇函数，A、B不符； 由的定义域为R，且为偶函数，C符合. 故选：C 4. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间，即可得解. 【详解】令，则在上单调递增， 又，，所以， 所以在上存在唯一零点，即程的解所在的区间为. 故选：B 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及指数函数的性质得出，代入计算即可. 【详解】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 7. 已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，分别得出最小正周期即可求解. 【详解】根据已知条件函数的一条对称轴为，又由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 当分别取最小正数和最大负数时，， 所以两个函数最小正周期的差为. 故选：D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据题意可推导，进而得到，再根据周期性、奇偶性及对称性求值即可． 【详解】由题可知，，且为上的奇函数， ，，即， ，即函数的周期为4， ． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正切型函数性质判断各项正误. 【详解】A：由正切型函数性质知的最小正周期为，对； B：由正切函数知，可得，错； C：，则，可得，对； D：由正切函数单调性知：在上递增，但在定义域上不单调，错. 故选：AC 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D. 【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误； 由，得函数为偶函数，B正确； 由，得，解得，C正确； 若函数在上单调递增，必有解得，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数一个对称中心为 D. 函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即， 当时，，又， 因为在上有且仅有个零点，所以， 所以，即，得， 所以， 因为，所以， 所以； 对于A：函数的最小正周期，故A错误； 对于B：当时，，又在上单调递减， 所以函数区间上单调递减，故B正确； 对于C：因为， 所以函数的一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为，为奇函数，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数恒过点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得，再进行指数幂的运算即可. 【详解】因为函数恒过点，即， 所以， 故答案为：2. 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 由可得，即， 联立解得； 所以. 故答案为： 14. 小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详解】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：的值； （2）计算的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与两角的正弦公式可求值. （2）利用两角和的正切公式进行化简求值. （3）利用二倍角的正余弦公式化为齐次式，然后弦化切可求值. 【详解】（1） （2）由于， 所以， 所以. （3）因为，所以的终边不在坐标轴上，所以， 所以. 16. 洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ （2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值． 【答案】（1）8天 （2）1 【解析】 【分析】（1）直接解不等式（用分类讨论法）可得； （2）当时，，化简后，利用基本不等式求得最小值，由这个最小值不小于4可得． 【小问1详解】 ∵ ∴. 当时，由，解得，此时； 当时，由，解得，此时． 综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天． 【小问2详解】 当时， ， 又，，则． 当且仅当，即时取等号. 令，解得，故所求m的最小值为1． 17. 已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； （3）若函数，若对任意的，都存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）解不等式即可得出函数定义域； （2）分析可知，对任意的，，利用参变量分离法求得，利用复合函数法可知内层函数在上为增函数，求出的取值范围，综合可得出结果； （3）求出函数的值域，由题意可知，函数的值域为函数的值域为子集， 可知函数的值域包含，对实数的符号进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解不等式，即，解得， 故当时，函数的定义域为； （2）由题意可知，对任意的，， 等价于对任意的，，可得， ，则，故，故， 因为函数在区间上为增函数， 设，由于外层函数为增函数， 故内层函数在上为增函数，所以，， 解得或，因为，故， 因此，实数的取值范围是； （3），则，即函数的值域为， 对任意的，都存在实数，使得成立， 则函数的值域为函数的值域的子集， 故函数的值域包含. ①当时，函数的值域为，合乎题意； ②当时，函数的值域为， 因为，可得，解得； ③当时，函数的值域为， 因为，可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，，，求； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像确定周期，从而求出再代入图像中的一个点即可求出； （2）根据同角三角函数的关系即可得到，再利用与两角差的正弦公式即可求得结果； （3）将恒成立问题，转化为最值问题，再利用二次函数的动轴定区间即可求得结果. 【小问1详解】 依题意知，，， 所以，又，可得，故函数（）， 由图象经过点，所以， 可得，所以，， 所以，，又因为，所以， 所以， 令解得， 故对称中心为. 小问2详解】 因为，所以， 所以， 由， 可得，即，可得， 所以； 【小问3详解】 因为对任意的，，都有， 所以， 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，， 对称轴为，所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）函数不是“函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； 【小问2详解】 因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $