21.7 第1课时 正方形的性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

又OE=OF,∴.四边形AECF是平行四边形. ∴∠AHG=60..∠ABH=30°.∴∠ABC=60° :CF平分∠DCA,CE平分∠BCA, AF⊥AB,∠BAP=90°.∠BPA=30° ∴∠BCF=∠EC0+∠0CF=号（∠BC0+∠OCD)= .PC=2FC.∴.PF=√PC2-FC=√3CF 如图，连接AC,:∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 号×180=902.四边形ABCF是矩形。 ∴.△ADC是等边三角形. 拓展在线 AF⊥CD,.CF=DF.∴.PF=√3DF 12.(1)选择条件①：∠ABC=∠CDA=90°； 第2课时菱形的判定 证明：，∠ABC=∠CDA=90°，AD∥BC, 基础在线 ∴.∠BAD=180°-∠ABC=90°. 1.,CE∥DB,CE=DB,.四边形BECD是平行四边形 ∴∠BAD=∠ABC=∠CDA=90. ,在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点， 四边形ABCD为矩形 BD=CD=AD=号AC 选择条件②证明略。 (2),四边形ABCD为矩形， .四边形BECD是菱形 ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC,OC=OD=OB. 2.B DE平分∠ADC, 3.,四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AB∥CD ∠ADE=∠CDE=号∠ADC=45 AB⊥AC,.∠BAC=∠ACD=90° :E,F分别是边BC,AD的中点， ∴.∠ADE=∠CED=45°. ∴.∠CDE=∠CED=45°.∴.CE=CD. AE-7BC-EC.CF-7AD-AF. .∠BDE=15°，∴.∠CDO=∠CDE+∠BDE=60° .'AD=BC,..AE=EC=CF=AF. ∴△COD是等边三角形. .四边形AECF是菱形.，ACLEF .OD=OC=CD=CE,∠COD=∠OCD=60° 4.B ∴.∠OCE=∠BCD-∠OCD=30°. 5.DO=AO,EO=CO,.四边形AEDC是平行四边形 ∴∠C0E=∠CE0=2180°-∠0cE)=75 四边形ABCO是矩形，.∠AOC=90°，即AD⊥EC .平行四边形AEDC是菱形. ∴.∠DOE=∠COE+∠COD=135° 6.D 21.6菱形 能力在线 第1课时菱形的性质 7.B8.D9.B10.B11.A 基础在线 12.连接BF,:△EFD和△ABC关于点O 成中心对称， 1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.48.1 9.,四边形ABCD是菱形，.AB=BC. ∴.B,O,F三点共线，OB=OF,OC= OD,OA=OE. .AE=CF,.'.AB-AE=BC-CF, 即BE=BF. ∴四边形BCFD是平行四边形，四边形 BF=BE. ABEF是平行四边形. 在△ABF和△CBE中，，'〈∠B=∠B, :∠BAC=∠DBC, BA=BC, ∴∠BAC+∠ABD=∠DBC+∠ABD, 即∠BDC=∠ABC. ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 能力在线 10.C11.A12.A13.336cm2 ∴∠BDC=∠ACB..BD=BC 14.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 四边形BCFD是菱形.BF⊥CD. 又四边形ABEF是平行四边形， ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE 又.'CE=CE,∴.△CBE≌△CDE(SAS) .平行四边形ABEF是菱形 .∠CBE=∠CDE. 拓展在线 (2)·四边形ABCD是菱形， 13.(1)证明：，AF⊥AB,CE⊥CD, ∴.∠BAF=∠DCE=90° ·AB=AD,AC⊥BD,OA=OC,OB=2BD, AB∥CD,.∠ABF=∠CDE. :∠BAD=60°，∴.△BAD是等边三角形. .BE=EF=FD,.'.BF=DE, ∴.BD=AB=2..OB=1. ∴.△ABF≌△CDE(AAS). ∴OA=√AB2-OB=√3.∴.OC=√3， (2)四边形AECF是菱形.理由如下： .△ABF≌△CDE, BE⊥DE,且O为BD中点，OE=2BD=1. ∴.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE ∴CE=OC-OE-√3-1. ∴.四边形AECF是平行四边形， 拓展在线 在R△ABF中，：∠ABD=30,AF=合BR 15.(1)65 (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， 在RADCE中，：EF=DF,CF=号DE, .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC. BF=DE,.AF=CF..四边形AECF是菱形 .∠ABD=∠ADB, AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD 21.7正方形 AF⊥AB. 第1课时正方形的性质 ∴.∠DAG=∠BAH=90° 基础在线 ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD 1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.458.5 ..AG=AH. 9.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90. ②，BG=GH,.G是Rt△ABH斜边BH的中点. ∴·∠BAF+∠DAE=90°. ,.AG=BG=GH.由①知AH=AG. .DE⊥AG,BF⊥AG,'.∠DEA=∠AFB=90 .AG=AH=GH.∴△AGH是等边三角形. ∴∠DAE+∠ADE=90°.∠BAF=∠ADE 22 一探究在线·八 I∠AFB=∠DEA, :∠KPH=90°，.∠KPE+∠EPH=90. 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, .PE⊥CP,∴.∠HPC+∠EPH=90° AB-=DA, ∴∠KPE=∠HPC ∴.△ABF≌△DAE..BF=AE.即AE=BF ∠PKE=∠PHC=90°， 能力在线 在△KPE和△HPC中，，PK=PH, 10.8W211.A12.A ∠KPE=∠HPC 13.·四边形ABCD是正方形，O为AC的中点， ∴△KPE≌△HPC(ASA).∴.PC=PE. ∴AB=BC=60em,∠ABC=90,0A=0C=号AC ,四边形PEFC是平行四边形，且PE⊥CP, ∴四边形PEFC是正方形 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC= 拓展在线 √602+602=60√2(cm). 11.(1)= (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ,△ACE为等边三角形，∴.AC=AE=CE=60√2cm ∴.AD∥BC,∠A=∠B=90°. ∴.OA=OC=OD=30√2cm,OE⊥AC.∴.∠AOE=90. :AE=BF,四边形ABFE是平行四边形 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√CE-OC= AE=AB,∴.四边形ABFE是菱形. √/(60√2)2-(30√2)2=30√6(cm). :∠A=90°，∴四边形ABFE为正方形 (3)如图③，连接NP并延长，交BF于点 答：点O到点E的距离是30√6cm. G,在PG上截取PO=NP, 拓展在线 ∴.四边形ANGB是矩形..NG=AB=4 14.(1)证明：四边形ABCD为正方形， ,四边形AEFB是正方形，AE=4, ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°. ..EF=AE=4. 图③ 在△ADE和△CBF中， ,M,N分别为EF,AE的中点，P,Q分别为AM,BN的中 (AD=CB, :∠ADE=∠CBF, 点，∴PN=2EM=EF=1,AN=2AE=2,0N=2. DE-BF, ..BG=AN=2,0G=NG-NO=2. ∴.△ADE≌△CBF(SAS)」 在Rt△OGB中，BO=√BG+OG=2√2. (2)连接AC交BD于点O,如图 .四边形ABCD为正方形，BD=10 :P,Q分别为ON,BN的中点，PQ=B0=VE. .BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 2BD 21.8梯形 基础在线 =5. ∴.AF=CF,AE=CE 1.B2.C3.C4.C5.C6.D 由(1)知△ADE≌△CBF,.AE=CF. 7.如图，过点D作DE∥AB,交CB于点E, .AD∥CB, AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF为菱形. .四边形ABED是平行四边形 ,四边形AECF的周长为4√34， ∴.EB=AD=3,DE=AB=4. ..AF=1 ×434=√34. CB=6,.EC=BC-BE=6-3=3. CD=5,∴.CD2=DE+CE 在Rt△AOF中，OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6. .△DEC是直角三角形.∴∠DEC=∠ABC=90°. 第2课时正方形的判定 基础在线 四边形ABCD的面积是？(AD+CB)·AB=合×(3 1.D2.A3.B +6)×4=18. 4.:四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO. 8.4或14 .∠ABD=∠CDB. 能力在线 .AC=2BO,∴.AC=BD 9.C10.C11.B12.B13.1.5 .平行四边形ABCD为矩形 14.(1).CE是∠ACB的平分线， :BD为∠ABC的平分线， .∠ACE=∠BCE. ∴∠ABD=∠DBC.∠CDB=∠DBC .AD∥BC,.∠AEC=∠BCE, .BC=CD.∴平行四边形ABCD为正方形 .∠ACE=∠AEC.∴AE=AC. 5.四边形DBEC是正方形.理由如下： .AC=BC,..AE=BC. .四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD. :AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. .'BE=AB,.'BE=CD. ,AC=BC,∴.平行四边形AEBC是菱形， .BE∥CD,.四边形DBEC是平行四边形 (2)如图，连接BD .CE=CD,.四边形DBEC是菱形 ,在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, DA=DE,BE=AB,∴.DB⊥AE .∠ABC=∠DCB..△ABC≌△DCB..AC=DB .菱形DBEC是正方形. 由(1)可知，四边形AEBC是菱形， 6.C ∴.AC=BE=EA.∴.BE=BD,∠EAB=∠EBA. 能力在线 NBD⊥BE,∴∠BED=∠BDE=45°. 7.A8.D9.√/74 10.(1)正方形 ∠EAB=∠EBA=号×(180°-45)=67.5 (2)证明：过点P作PK⊥AB于点 ∠ABD=90°-67.5°=22.5. K,PH⊥BC于点H,如图所示， .∠ADB=2∠ABD. ∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=9O 拓展在线 ,四边形ABCD是正方形， 15.(1)26 .∠ABC=90°，BD平分∠ABC. ∴.∠KPH=90° 20号 PK⊥AB,PH⊥BC,PK=PH ②有两种情况： 年级数学（下）·J小一21.7 ©第1课时 ①基础在线 :知识要点分类练 知识点正方形的性质 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（) A.对角互补 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,则 ∠OAB的度数是 ( ) A.30° B.45 C.60° D.90 第2题图 第3题图 3.(衡水期中)如图，在正方形ABCD中，E,F分 别是AC,AB的中点，若EF=3,则正方形 ABCD的周长为 () A.12 B.16 C.20 D.24 4.(唐山二模)如图，直线1与正方形ABCD的边 AB,AD分别相交于点M,N,则a+B的度数 为 () A.270° B.260° C.245° D.240° N 第4题图 第6题图 5.图①的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院 之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图②），正方 形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则 下列说法不正确的是 图① 图② 正方形 正方形的性质 A.AC⊥BD B.AD-AO C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC 6.如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺 次截取AE=BF=CG=DH=4,则四边形 EFGH的面积为 () A.20 B.25 C.30 D.35 7.(邢台期末)如图，E是正方形ABCD内任一 点，把△BEC绕点C旋转至△DFC的位置， 则∠CFE= 第7题图 第8题图 8.如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一 点，点P到AB的距离PE=5cm,则点P到 直线AD的距离为cm 9.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任 意一点，DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. 求证：AE=BF. 第二十-章74 21 能力在线》 方法规律综合练 10.(保定开学考试)小明用四根长度相同的木条 制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具 成为图①所示的菱形，并测得∠B=60°，对角 线AC=8cm,接着活动学具成为图②所示的 正方形，则图②中正方形对角线AC的长为 cm. 图① 图② 11.(中考·自贡)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴 上，B(0,一2)，若将正方形ABCD绕点O逆 时针旋转90°，得到正方形A'B'CD',则点 D'的坐标为 () A.(-3,5) B.(5,-3) C.（-2,5) D.(5,-2) 44 D C A iB' 0 B 第11题图 第12题图 12.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC 交BC于点E,过点D作DF⊥AE交AE于 点H,交AB于点F,连接DE.下列结论： ①AF=BE;②∠CDF=67.5°；③△DHE≌ △DCE.其中正确的是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 13.（唐山期中)某商场在装修地面时，采用了正 方形地砖铺设，其中一块正方形地砖ABCD 的对角线AC的中点为O.为了增加设计感， 工人以AC为边向外延伸制作了装饰等边三 角形ACE.正方形地砖ABCD的边长AB= 75探究在线八年级数学（下）·JJ 60cm,请你帮工人计算点O到点E的距离 是多少？ 3 拓展在线》培优拔尖提升练… 14.(中考·广安)如图，E,F是正方形ABCD的 对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连 接AE,AF,CE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF; (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF 的长