第15章 分式 学情评估-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

第15章学情评估 评估内容：分式 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项， 其中只有一个是正确的) 1分式，名7和号云的最简公分母是 A.x-1 B.(x-1)(2-2x) C.2(x-1) D.2(x-1)2 2.(平顶山期中)石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材 料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每 两个相邻碳原子间的键长d=0.0000000142cm,将 超 密 0.0000000142用科学记数法表示为 () A.1.42×10-7 B.1.42×10-8 C.1.42×10-9 D.1.42×10-10 ① ② 议 -1012 封 第2题图 第5题图 3.(南阳阶段练习)下列运算中，错误的是 善 A号-(c≠0) -=y x-y C.-a-6 =-1 0.5a+b_5a+10b a+b D.2a-0.3620a-36 线 4.(洛阳期中)下列各数最小的是 A.--2 B.2-1 洲 C.(-2)0 5.若m是非负整数，则表示21 3m (2m十1)(m-1)的值的 (2m+1)2 对应点落在如图数轴上的范围是 用 A.① B.② C.③ D.②或③ 6.打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2h, 打字速度为w字/min,第二天打字速度比第一天快了 10字/min,两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时 间是 A.12000-20min B.12000-120min 10+w 10+w C.120o0-120"min 10-w D.12000-20min 10-w 7.某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分 别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参 加活动.甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学 提前7min到达活动地点.若设乙同学的速度是xm/min, 则下列方程正确的是 () A29-929-7 B.900-1400=7 1.1x 900_1400=7 C.1.1x D.1400 900=7 1.1x 8代数式(1加)·(1-动)的值-定不为 A.3 B.2 C.1 D.0 9.若关于x的分式方程 3=1的解是非正数，则m x-11- 的取值范围是 ( A.m≤-4 B.m≤-4且m≠-3 C.m≤2且m≠-3 D.m≤2 10.当x分别取-2026，-2025，-2024，-2023，…，-3， -2,-1,1日写…202320242025202s时.计算 1 111 分式号的值，再将所得结果相加，其和等于 () A.-1 B.0 C.1 D.2026 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.要使分式2x6在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.用小数表示下列数：9.2×10-5= 13.(新乡期未)若关于x的分式方程2，=”-1无解， 2x-2-1-x 则m的值是 14给定一列分式号一芬后（其中x≠0，y≠ x 0),那么第n个分式是 ,这列分式中，第n 个分式除以第(n一1)个分式的商是 一探究在线·八年级数学（下）·HD一 15.在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书 情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人， 甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每 人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的子，则乙班有 学生 名 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)计算： (1)(-1)2025+√/16+(3-x)°×2-2； (2)(x3y2)-3·(x2y1)-4. 17.(9分)计算： ÷[1-+0·a-苏+D x (2)x-2y-x一+-x-4y x+y x+y x+4y 18.(9分)解方程： 2号： 01 (2)2x+2-x+2x2-2 xx-2x2-2x1 19.（9分（南胆期中）先化简，再求值：（兰z千十是）宁 二，请在-1,12,3中选择一个适当的数作为x的值 代入求值. 20.(9分)（中考·自贡）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘 大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相 同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小 时掰玉米多少筐？ 02 21.(9分)观察下列等式： 3 第1个等式：1×2X2=1X22×21 4 1 1 第2个等式：2×3X2=2X2一3×21 5 1 1 第3个等式：3X4X2=3X24X2 6 1 1 第4个等式：4×5X2=4X2一5×2 、> 1 1 第5个等式：5×6X2=5X2一6X251 ……… 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 22.(10分)（漯河期未）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工 具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.合 肥某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团， 为学生购买A、B两种型号“文房四宝”共50套.已知某文化 用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房 四宝”的标价高40%，若按标价购买需花费5400元，其中 购买B型号“文房四宝”花费4000元. (1)求每套B型号的“文房四宝”的标价； (2)若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学 按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠 价购入，则购买A、B型号“文房四宝”共需花费多少元？ 一探究在线·八年级数学（下）·HD一 23.(10分)问题探索： (1)已知一个正分数”(m>n>0),如果分子、分母同时增 加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论： (2)若正分数”(m>n>0)中分子和分母同时增加2,3， m …,k(整数>0)，情况如何？ (3)请你用上面的结论解释下面的问题： 建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按 采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且 这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的 窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？ 请说明理由，又.∠C=90°，.∠ADE=∠C=90°. ∴.四边形ADEG是矩形 6.C7.C8.B9.B10.C 11.(1)如图所示，直线EF即为所求. (2)证明：如图所示， :EF垂直平分BD, .BE=DE,∠BOE= ∠BOF=90°，OB=OD. ∴.∠EBD=∠EDB. :AD∥BC,∠EDB=∠CBD. .∴.∠EBO=∠FBO. 又.OB=OB,∴.△EBO≌△FBO(ASA). ,OE=OF..四边形BEDF是平行四边形 又BE=DE, .四边形BEDF是菱形 12.C13.1 14.(1)四边形AEGF是正方形.理由如下： :AD⊥BC于点D, .∠ADB=∠ADC=90°. :AE与AD关于直线AB对称， .AE=AD,∠EAB=∠BAD, ∠E=∠ADB=90. :AF与AD关于直线AC对称， .AF=AD,∠FAC=∠DAC,∠F=∠ADC=90° .'.AE=AF :∠BAC=45°，即∠BAD+∠CAD=45. ∴.∠EAB+∠FAC=45°. .∠EAF=∠EAB+∠FAC+∠BAC=9O°， .∠E=∠EAF=∠F=90° .四边形AEGF是矩形. 又AE=AF,.矩形AEGF是正方形. (2):四边形AEGF是正方形，AE=6, .EG=FG=AE=6,∠G=90 设BE=x,则BD=x.∴.BG=EG-BE=6-x CD=3,..CF=CD=3,BC=BD+CD=3+x. ∴.CG=FG-CF=3. 在Rt△BCG中，BC2=BG+CG,即 (x十3)2=(6一x)2十32.解得x=2. .BC=3+x=5.AD=AE=6, ∴SAe=2AD:BC=号×6X5=l5. 期末重难点提升5数据的分析 1.C2.C3.A 4.(1)848630 (2)该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为 该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数相同，都 是82，但七年级学生竞赛成绩的中位数(84)大于八年级学 生竞赛成绩的中位数(83)，所以该校七年级学生航天知识 竞赛的成绩较好.[或该校八年级学生航天知识竞赛的成 绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩 的平均数都是82，但八年级学生竞赛成绩的众数(86)大 于七年级学生竞赛成绩的众数(84)，所以该校八年级学生 航天知识竞赛的成绩较好.] 5.B ,(1)2=8.2,即a=8.2. 因为x甲=85，xz=85,=58.4, 所以xm=x2,系>2. 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定。 (2)获奖分数线的平均数x=89.6, 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获 奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获 奖的可能性更大，故选甲参加更合适· (3)选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲 呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能 的角度考虑，选甲更合适， (1)3.6354.125 (2)补全B团队的箱线图，如图所示. 收益率/% 6 5 14.89 444 4.440 3.915 3.195 3.18 -2.02 21 团队A 团队B 通过箱线图可知，A团队产品收益率的中位数与B团队的 几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但A团 队的产品收益率比B团队的收益率的波动性大，即B团 队的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择B团 队的理财产品更合适. 新课标·新情境 2(答案不唯一) (任选其中两个即可)命题1是真命题.证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示。 .'CD是Rt△ABC斜边AB上 的中线，CD=DA=DB=号AB. .AE∥DC,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形. DA=DC,.四边形ADCE是菱形 ∴.AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD. 点D为AB的中点，∴DO是△ABC的中位线. .OD-BC. -CF BC.560-CF OE, SACFB=2SACEF 命题2是真命题.证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示 ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=DA=DB=2AB, ,AE∥DC,CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形， DA=DC,.四边形ADCE是菱形..AC⊥DE; 命题3是真命题，证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示 ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， :.CD-DA-DB-7AB. .AE∥DC,CE∥AB, 一探究在线·八年 .四边形ADCE是平行四边形. ..CE=DA...CE=DB. -(x+1(x-D=x- :CE∥BA,∴四边形BCED是平行四边形. 2)原式=，士y-=-1 ∴.ED=BC. x+y 3.A4.D y-x-y=-+2 x十y x十y 5.设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 18.(1)方程两边都乘以(x一1)，约去分母，得 根据题意，得9一少-2解得一2 2-x=x.解得x=1. 经检验，x=2是原方程的根，且符合题意， 检验：当x=1时，x一1=0，因此x=1不是原分式方程的解. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里。 所以，原分式方程无解. 6.C7.C (2)方程两边都乘以x(x一2)，约去分母，得 8.(1)7.5822% (2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2, (2)八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为 解得x=一分 八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级.（答案 不唯一，合理即可) 检验：当x=一时xx-2)≠0， 9.(1)点A(2,6)的“2级关联点”是(2×2+6,2+2×6)，即点 B的坐标为(10,14). “原方程的解为=一 (2)点P(2,-1)的“a级关联点”为(2a-1,2-a), 则2a-1=9,2-a=b,解得a=5,b=-3. 1原式[》+]号 ∴.a+b=5-3=2. x(x-1)+2x-D×-=x+2)xD× (x-1) x2-4 (x-1)2 (3)点N的坐标为(90)或0，-16). (x+1)(x-1)_x+1 (x+2)(x-2)x-2 10.12001020兔子在距离起点400m的地方开始睡 :x2-1≠0，x-2≠0，x十2≠0， 觉，睡了40min200 11.(1)设这种草莓的单价为x元/kg.根据题意，得 x≠士1，±2. 120+3=10解得x=20, 放把=3代人号得号4 20.设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合实际 米(x十2)筐.根据题意，得 答：这种草莓的单价为20元/kg. (2)第二次购买该草莓时的单价为20一5=15（元/kg), 票-2解得=10 甲第二次购买该草莓的数量为120÷15=8(kg). 经检验，x=10是原方程的根且符合题意. 乙第二次购买该草莓的总价为(180÷20)×15=135（元）. 所以小李平均每小时掰玉米10筐. 甲两次购买这种草莓的平均单价为120×2÷（绍+ 1 1 21.(106×7X2=6×27×2 8）=19(元/kg, n+2 1 (2)nX(m十iX2=nX2-(m+1)×2币 乙两次购买这种草莓的平均单价为(180+135)÷ /180 1 2(n+1) 20 证明：右边=nX2一(m+1)×2-n×(+1)×2 ×2）-(元/ke). n+2 n×(n+1)×2币-n×(m十1)X2+=左边， 答：甲两次购买这种草莓的平均单价是元/kg,乙两次 等式成立 22.(1)设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A 购买这种草莓的平均单价是元kg 型号的“文房四宝”的标价为(1十40%)x=1.4x(元).根 (3)金额 据题意，得 第15章学情评估 5400-4000+4000=50,解得x=100. 1.4x 1.C2.B3.B4.A5.B6.B7.A8.C 经检验，x=100是分式方程的解，且符合题意. 9.A10.B 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元 1.x≠312.00009213.-2 (2)由题意，得 14.2y一 x2n-1 x (5400-4000)×0.9+4000×0.8=4460(元). 15.30 答：购买A、B型号“文房四宝”共需花费4460元. 16,(①)原式=-1+4+1×号=-1+4+子=号 23.(1)增大.理由如下： n+1-n=m(n+1)-m(m+1)=m-n (2)原式=x9y5·x-8y4=xy0. m+1 m m(m+1) m(m+1) 1a原式=二影×名二2+易·红-成+D “m>m>0,心原式的值为正数.2+>” m+1>m 级数学（下）·HD一 29 2)格-品-a7+包= mk-nk (2)480÷150=3.2(min) m(m十k) m(m+k) k(m-n) 设降温阶段y与x的函数关系式为y=名（质≠0）， m(m十k) ,k>0,m-n>0,m>0,m+k>0, 把(4,60)代入y=兰（≠0），得60=冬k=240, 原式值为正数小中冬只 一降温阶段y与z的函数关系式为y=2400, (3)设窗户面积为a,地板面积为b,同时增加x(x>0). .降温阶段y随x的增大而减小. 由题意，得号≥品， 。1 当y=2400=480时，x=5. 经号8轻号≥>0牛轻品 1 能够对玻璃进行加工的时长为5-3.2=1.8(min). 22.(1)依题意，点A表示这条线路的运营成本为1万元；点 ∴同时增加相等窗户和地板的面积，有利于采光. B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡. 第16章学情评估 (2)设直线AB的表达式为y=kx十b, 1.B2.B3.D4.C5.A6.C7.B8.C 把(0，-1)和(1.5,0)代入y=kx十b,得 9.C10.C11.x≠-312.四13.0.4 b=-1, b=-1, 14.-6<y≤615.6 。解得 1.5k+b= 16.(1),点P(m-2,2m十1)在y轴上， ∴.m-2=0.解得m=2. 直线AB的表达式为y=号2一1 .2m+1=2×2+1=5..点P的坐标为(0,5). (2):点P(m-2,2m+1),Q(2,3),直线PQ∥x轴， ,射线CD可以看作是由射线AB平移得到，点C(O, .2m十1=3.解得m=1. -0.5), .m一2=-1..点P的坐标为(-1,3). 设射线CD的表达式为y=号十7。 17.(1)距离地面的高度 (2)t=20-6h 把c0,-05代入y=号+得=-0.5 (3)当t=一19时，一19=20一6h,解得h=6.5. .温度为一19℃时，距离地面的高度是6.5km. 射线CD的表达式为y=号x-0.5(x>≥0. 18.(1)图象如图所示. (3)图③图② 23.(1)设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元 (2)方程组 /x-y=2, 的解为 x+y=4 和b元，由题意，得 |x=3, a+2b=750, 12a+3b=1300 解得a=350, y=1. 1b=200 (3)不等式x一2≤-x十4的解 答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和 集为x≤3. 200元. 19.y1与x2成正比例，y2与x成反比例， (2)设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片(8000一m) 六设n=kr2(≠0)，n=2（a≠0. 颗，所需资金为心元，由题意，得 w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000, “y=n十0y=x+是 ,k=-150<0,∴.w随m的增大而减小. 由题意知，8000-m≥3m,解得m≤2000. ~当x=2时，y=5,当x=1时y=-1, :m取正整数， 5=+2a解得{ .当m=2000时，w取最小值，w最少=-150×2000十 (k=一4， 2800000=2500000(元)，此时8000一m=6000. (-1=k+a, a=3. 答：当该公司购买A型芯片6000颗时，所需资金最少， “y与x之间的函数关系式为y=一4x2+3 最少资金是2500000元. (3)①80②1.5或4.5或6.5 /6a+4- 6 期中学情评估 20.(1)由题意，得 1.A2.A3.A4.D5.A6.B7.C8.D 2a+4=， 9.B10.D 解得a=一 1 ,k=6. 1.x≠-合 12.(1,2)或(3,2) (2)由(1)知，直线AB对应的函数表达式为y一一2x十4. 13.414.号 15.2 易得C(8,0)、D(0,4).∴.OC=8,OD=4. 16.(1)原式=3-1+4=6. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一4)，约去分母，得 “△C0D的面积为20C·0D=号×8×4=16. 2(x+2)=3(x-4), 21.(1)150 解这个整式方程，得x=16. 30 一探究在线·八年 检验：把x=16代入(x+2)(x-4),得(16+2)×(16-4) ≠0. (2②)设8-36的关联分式是N, 所以，x=16是原方程的解， 则8-6一-N=6·N, a-b 原式（号名）·动·产动 (+名6+N-8+0+2N- x-3 N=品-6 由题意可知，x-1≠0，x-3≠0， x≠1，x≠3.当x=2时，原式=2-3-1 (3) 23.(1)填表如表所示. 18.(1)由题意，得3m=6m一6，解得m=2..k=3X2=6. (2)由(1，得反比例函数的表达式为y=, 骑行时间/min 10 20 25 A品牌收费/元 10 6 当x=-2时，y=2=-3;当x=-2时，y= 6 1 B品牌收费/元 6 2 -12. (2)①0.2②B (3)y1关于x的函数表达式为y1=0.4x. :当-2≤x≤-时，y随着x的增大而诚小， y关于x的函数表达式为 y的取值范围为-12≤y≤-3. 6(0x≤10)， y2= 19.(1)x>-2 0.2x十4(x>10) (2)①A(0,4)、B(-2,0)在一次函数y1=kx十b的图 ①当0≤x≤10时，若两种品牌共享电动车收费相差3元， 象上， 则6-0.4x=3,解得x=7.5; /6=4, k=2, ②当10<x≤20时，两种品牌共享电动车收费不能相差 -2k+6=0.六{6=4 .y=2x+4. 3元； :不等式kx十b>-x十a的解集是x>-l, ③当x>20时，若两种品牌共享电动车收费相差3元， 点C的横坐标为一1. 则0.4x-(0.2x+4)=3,解得x=35. 当x=-1时，M=2×(-1)+4=2, 综上所述，两种品牌共享电动车收费相差3元时，x的值 .点C的坐标为（一1,2）. 是7.5或35 ②：点C在y2=-x十a的图象上，∴.2=-(-1)十a. 第17章学情评估 .a=1. 1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.C8.C 20.(1)由题意，得点B(一1，a)在一次函数y=x十4的图象 9.A10.D 上， 11.BE=DF(答案不唯一) ∴.a=-1+4=3..B(-1,3). 12.40°13.2<x<1014.415.12 ∴.k=-1×3=-3. 16.在□ABCD中，AB∥CD,AD=BC,AB=CD=16, 一反比例函数的表达式为y=一3 ∠DEA=∠BAE. x :∠BAD的平分线交CD于点E, (2)对于一次函数y=x十4，令y=0,则x=一4. ∠DAE=∠BAE. .A(-4,0). ∠DEA=∠DAE..AD=DE=BC 一次函数y=x十4的图象向下平移m(m>0)个单位长 .DE:EC=3:1,CD=DE+EC=16, 度后的表达式为y=x十4一m. .DE=12..BC=12. 对于一次函数y=x十4-m,令y=0,则x=m-4. 17.连结AF,如图所示. ∴.C(m-4,0)..AC=m-4-（-4)=m. :点E是线段BD的中点， S=AC=号×mX3=m=3 ∴BE=DE .EF=CE, 解得m=2. .四边形BCDF为平行四边形 21.1)由题意，得800_600=25，解得a=8. a ∴.BF∥CD,BF=CD. 经检验，a=8是原方程的解，且符合题意。 BD是△ABC的中线，∴.AD=CD. .a的值为8. ∴.BF=AD. (2)1h=3600s .四边形ADBF为平行四边形. 设需要x个这样的机器人，由题意，得 .AB与FD互相平分. 360×4≥1000，解得≥型 18.FG=GH且FG⊥GH.理由如下： 8 ,点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， x为正整数，x的最小值为6. .FG∥DB,GH∥EC, 答：至少需要6个这样的机器人 22.(1)是 FG=号BD,GH=EC 级数学（下）·HD一