4.3 第2课时 运用完全平方公式因式分解&微专题8 因式分解及其应用-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

14.(1)△A1B1C1如图所示 3.D (2)△A2B2C2如图所示，C2(-3,5)」 能力在线 (3)△A3B3C3如图所示 4.如图，作法如下： ①过点A作AF⊥CM,使AF等于河宽；过点B作BG⊥ CN,使BG等于河宽； ②连接GF,分别与CQ,CP相交于点E',D'; ③过点D作D'D⊥CM于点D,过点E作EE⊥CN于点 E,则DD,EE即为两座桥的位置. 拓展在线 5.(1)如图①，作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称 点D,连接CD,分别交OA,OB于点E,F,则E,F就是所 15.将三条道路都平移到边上去，则空白部分的面积（即蔬菜 要求作的点.100 的总种植面积)不变，所以蔬菜的总种植面积为 (2)存在点E,F.如图②，作点M关于OA的对称点C,作 (20-1X2)(32-1)=558(m). 点N关于OB的对称点D,连接CD,分别交OA,OB于点 答：蔬菜的总种植面积是558m E,F,则E,F就是所要求作的点 16.(1)由旋转得△ABC≌△ADE,且∠a=∠BAD=60°， .AD=AB,∠ABC=∠ADE △ABD是等边三角形.∠ADB=60° ∴.∠ABC=∠ADE=180°-∠ADB=120° (2)证明：，AC=AE,∠EAC=a,.∠E=∠ACE. △ABC≌△ADE,∴.∠ACB=∠E. .∠ACB=∠ACE..CA平分∠BCE 图① 图② (3)证明：如图③，延长AD交CE于点F, 单元综合复习（三） 图形的平移与旋转 .'AE=AC,AD=AD,DE=CD 热门考点突破 '.△ADE≌△ADC...∠DAE=∠CAD 1.B2.C3.C4.(-1,4)5.C6.D7.B8.D9.A △ADE≌△ADC≌△ABC. 10.D11.B12.P ·AFLCE,且CF= 2CE. 图③ 13.(1)如图，△A1BC1即为所求， (2)如图，△A2B2C2即为所求 Sam=2AD·CF=AD·CE= AD·CE. 由图可知，B2(0,一2)，C2(一2，一1). 即SAC=子AD:CE 3简单的图案设计 基础在线 1.A2.C3.C4.图略. 能力在线 5.D6.60°（答案不唯一） 拓展在线 (3)△A1B1C(1,-1) 7.(1)(答案不唯一)我喜欢图案④.图案④的形成过程：以同 14.如图所示.（答案不唯一） 行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕 大正方形的中心旋转180°得到. (2)(答案不唯一)如答图所示. 微专题7旋转在几何中的应用 核心素养提升 答图 15.A 1.B2.A3.C4.55.A6.C 7.(1)由旋转可得AE=AC,∠C=∠AED, 第四章 因式分解 ∴.∠C=∠AEC.∴.∠AED=∠AEC.即EA平分∠CED 1因式分解 (2)如图，连接BD,由旋转可得AE=AC, 基础在线 AB=AD,∠CAE=∠BAD, 1.D2.C3.m2+2mn=m(m+2n) ∴.∠AEC=∠ADB. 4.(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解 :∠AEC+∠AEB=180, 能力在线 ∴.∠ADB+∠AEB=180°. 5.因为255+511=(52)5+511=510+5×510=5×5°+25×5° :∠DAE=∠BAC=90°，.∠DBC=360°-（∠ADB+ =5°×(5+25)=30×5°，所以255十511能被30整除， ∠AEB+∠DAE)=360°-(180°+90)=90 拓展在线 问题解决活动：最短距离 6.设另一个因式为x十a,则2x2十3x一k=(2x一5)(x十a), 基础在线 即2x2十3x-k=2x2十(2a-5)x-5a, 1.C2.如图，最短路径AQ-QP-PB即为所求 .2a一5=3；解得6=20 1-5a=-k, DF M 东 .另一个因式为x十4，k的值为20， D' 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 NO 基础在线 第2题答图 第4题答图 1.2x2.C3.C4.A 一探究在线·八年 5.(1)m(x-2y)(2)a(a+13)6.D 能力在线 7.C8.A 9.(1)-5a(4+3x)(2)-5bc(2a2-3c+4ab) 10.(1)12.5(2)80 11.(1)证明：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 9(111a十11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被g .9(111a十11b+c)+(a十b+c十d)能被9整除. .这个数abcd能被9整除. (2),2十0十2十5=9能被9整除，.2025能被9 拓展在线 12.2032 第2课时提多项式因式分解 基础在线 1.D2.B 3.(1)(a+b)(m+n)(2)2(x-y)(a-2b) 4.(1)原式=(m-2)(a-b). (2)原式=(x-y)(3a-1). 5.原式=(a-b)(a+b-a+b)=2b(a-b). 当a=1,6=-分时， 原式=2×(-)×(1+)=-是 能力在线 6.C7.原式=x(x-4)(x一y). 8..'d-ab-ac+bc=0,∴.a(a-c)-b(a-c)=0. .(a-b)(a-c)=0..a-b=0或a-c=0. a=b或a=c.∴△ABC是等腰三角形. 拓展在线 9.8 10.(1)提公因式法2(2)2026(1+x)202 (3)原式=(1十x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 基础在线 1.A2.C3.D4.(m+4)(m-4) 5.4a2-1(答案不唯一) 6.(1)原式=(ab+4)(ab-4). (2)原式=(3a+b)(b-a). (3)原式=(8m+9n2)(8m-9n2). 7.(1)2025(x+1)(x-1) (2)3(m+3)(m-3) 8.(1)原式=x(y2-4)=x(y十2)(y-2) (2)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)= (x-y)(a+2)(a-2). 9.(1)原式=(201+199)×(201一199)=400×2=800 (2)原式=(30号+29号)×(30号-29号)=60 80. 10.(1)2a·a-2b=2a2-2b, .图中阴影部分的面积为2a2-2b. (2)当a=15.7,b=4.3时，2a2-26=2(a2-b) b)(a-b)=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. .阴影部分的面积为456. 能力在线 11.D12.D13.a+b14.4 15.(1)原式=2[4x2-(x-y)2] =2[2x+(x-y)][2x-(x-y)] =2(2x十x-y)(2x-x十y) =2(3x-y)(x+y). 级数学（下）·BS一 (2)原式=(x2-y2)+(2x-2y) =(x十y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2). (3)原式=(x2)2-(4y)2 =(x2+4y2)(x2-4y2) =(x2+4y2)(x+2y)(x-2y) 16.(1)122-102=44=4×11 (2)设两个连续偶数为2n和2n十2， 整除， .'(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=2(4n+ 2)=4(2n+1), '.任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍 整除。 拓展在线 17.(1)64x (2)64π 发现：M-N=S,一S2.证明过程如下： 依题意，M=S,一K,N=S-K, M-N=S-K-(S-K)=S-K-S+K=S-S. 运用：由M-N=20π，得xR2-π2=20x, 故R2-Y2=20, .(R+r)(R-r)=20. 又R+r=10,R-r=2 则尽0解得（因 ∴.这两个圆的面积之和为π×62十πX4=52元. 第2课时运用完全平方公式因式分解 基础在线 1.D2.±123.D4.D5.A6.A7.(x-3) &.1原式=(m+名)广， (2)原式=(4x+3)2. (3)原式=-(x十y)2. 9.(1)2(x+1)2(2)2m(m-3)2 10.(1)原式=3(x2-6xy+9y2)=3(x-3y)2. (2)原式=-a(a2-4ab+4b)=-a(a-2b)2. 11.4x(答案不唯一) 能力在线 12.A13.A14.D15.(x+3)2 16.6417.13 18.(1)原式=(5.5-0.5)2=25. (2)原式=(x-y)2+2X2y(x-y)+(2y) =(x-y+2y)2 =(x十y)2. 19.△ABC是等边三角形 证明：a2十c2=2b(a-b+c), .a2+c2-2ab+2b-2bc=0. a2+c2-2ab+2b-2bc=(a-b)2+(c-b)2, (a-b)2+(c-b)2=0. .a-b=0,c-b=0..a=b,c=b. .a=b=c..△ABC是等边三角形 拓展在线 20.(1)(a+b-2) (2)原式=[1+2(x-y)]2=(2x-2y+1) (3)证明：原式=(n2+3n+2)(n+3m)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(m2+3n+1)2 2(a十 :n为正整数，m十3n十1为正整数. ∴.式子(n十1)(n十2)(n2+3n)十1的值一定是某个整数 的平方. 微专题8因式分解及其应用 1.(1)原式=m(a2-4b)=m(a十2b)(a-2b) (2)原式=a(x-y)十b(x-y)-c(x-y)=(x-y)(a+b一c). (3)原式=-(4a36-12a2b+4ab)=-4ab(a2b-3a+1) (0原式=+3z+是-(+号)月 23 (5)原式=3a(a-2b)-6b(a-2b)=3(a-2b)(a-2b)= 第五章分式与分式方程 3(a-2b)2. 1分式及其基本性质 (6)原式=5m(x-y)2-10(x-y)3=5(x-y)[m-2(x y)]=5(x-y)2(m-2x+2y). 第1课时认识分式 2.(1)原式=(100-1)×(100+1)=1002-12=10000-1= 基础在线 1.B2.2(答案不唯一)3.B4.A5.-2 9999. (2)原式=3.14×(5.52一4.52) 6.0)只 (2)a67.-2 =3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5) 能力在线 =3.14×10×1=31.4. (3)原式=202+2×202×98+982=(202+98)2=90000. 8.x>3且x≠20259.1)> (2)为任意实数 (w)原式=(1-)×(1+2）)×(1-号)×(1+号)× 10.-111-88 (1-4)×(1+4)×…×(1-9)×(1+9)×(1 拓展在线 12.将x=3a十2，y=1代入函数，整理，得 )×(1+ -3(a+2)(a2-4a+1)=0, =×号×号×号×××…×××盟×0删 0当a+2=0时，即a=-2时，T-号<3， ②当a-4a十1=0时，a≠0， =×18-280 则有a2=4a-1,a2+1=4a,a+1=4. 3.由题意可知， V=xxh()'-xxh(号)‘=[()-（号）门] =+a-+-4子>8 4 综上可知，当a=-2时，T<3;当a2-4a十1=0时，T>3. =(号+号)（号-号）=xx1×(2+)】 第2课时分式的基本性质及约分 基础在线 (2-88-0,6）=0.078m(m). 1.D2.D3.(1)6a2(2)3b(3)a-2(4)x2-y 答：浇制一节这样的排水管道需要0.078πm3的混凝土. 4)-2 (2)4x 5y 3)-0④2 n 单元综合复习（四）因式分解 5.C6.C7.B8. 热门考点突破 9.(1)x2 2 (2)4+m (3)m+2 m 1.D2.C3.D4.B 5.(1)m(m+2)(2)7(m+2)(m-2)(3)2m(x-y) 10.(1)原式=一3m6 2a (2)原式=a a+6 6.(1)原式=(x-y)(3m+n). (2)原式=4xy2(xy+2xx-3x). (3)原式=x+3 x-3 (4)原式=一26+1 (3)原式=5.x(x-2y)3+20y(x-2y) 11.D =5(x-2y)3(x十4y). 能力在线 (4)原式=(x2-6x+9)2=(x-3) 12.B13.D14.C15.×(答案不唯一)16.0，-2，-3 1原式-(4）（告学）=0 17.选择x2一1作为分子，x2+2x+1作为分母，组成分式 x2-1 当a=-日6=2时，原式=ab=一日×2=-子 x2+2x+1 x2-1 (x十1)(x-1)=x-1 8.A9.B10.D11.B12.102515(答案不唯-) x2+2x+1 (x+1)2x+1' 13.(1)根据题意，草坪的面积为(a2-46)平方米. (2)当a=13.6,b=1.8时， 当一2时，原式-宗宁 草坪的面积为a2一4b=(a+2b)(a-2b)=(13.6+2× (答案不唯一) 1.8)×(13.6-2×1.8)=172(平方米). 拓展在线 核心素养提升 18.(1)①③ 14.(1)(m+2n)(2m+n) (2:分式一2x+2匹的“巧整式”为1-x (2)由题意，得mn=10,2m2+2n=58, A .m2+n2=29. .A=-22+2x 1-x ∴.(m十n)2=m2+n2+2mn=29+2X10=49. 15.(1)是不是 A=20)=2x（1十x)=2x2+2z 1-x (2)是.理由如下：(2n十1)2一(2n-1)2 :2x+4r+22-2z(2+2x+1)=（x+1) =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=8n, 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, .由两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数. 又x十1是整式， (3)Sm影=1992-197+1952-1932+…+7-52+32-1 :2证+4+2匹是“巧分式” =(199+197)×(199-197)+(195+193)×(195-193) A +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1) 2分式的运算 =(199+197+195+193+…+3+1)×2 2.1分式的乘除法 =1+199)×100×2 基础在线 2 =20000. ab 2.C 1.a·c2bc·a2 24 一探究在线·八 3.(1)原式=a6 26 (2)原式=m-3m m-11 14.0 15.原式=十y 4.品 2a 2a 362 5.C 16.(1)A+B= A-B-x 1 6.(1)原式=9 (2)x=- 1 3 (2)原式=a2-2a. 2 1 2x-2 7.2+2x+1x- 拓展在线 x十1 当8时原式22-41 17.(1)0x千1 ②a x十c 3+1 (2)2x8-2x+4212=2-12 8.D x+2 x+2 x+2 9. (2)16y 27c 9x2 (3)一28 要求分式-的最小位，则平2的位最大。 10.C11.A ≥0，当x-0时，是有最大值，为6， 12.原式=-a+1 a-1 13.该同学的求解不正确.分式乘除混合运算的顺序为从左 小分式的最小值为2-6=一4 到右，正确的解答过程如下： 3)-2x-+x-3z3x3x十3=3 x+1 x+1 x+1 x÷(x-1)· 3+ 能力在线 14.B15.B16.m-m 为整数要俊分式号十子票的值为壁效， n 1以源支总等·号等 则为整数，x的值为-4或-2或0或2。 ∴.其和为-4-2+0+2=-4. 2)原武=x0)·…字=- xy 第2课时 分式的通分与异分母分式的加减法 181(）》 基础在线 x2-1 1.A -2D出.r= (x-1)2 2.(a+3)(a-3)3(a-3)3(a+3)(a-3) x-1 3.1a而-1807e9ac18a7c 3acx 2bv .当x=2或-2时，原式都等于16. 拓展在线 19.(1)由题意知，A玉米试验田的面积为a2一4，B玉米试验 田的面积为(a-2)2, 4.A a2-4-(a-2)2=4a-8=4(a-2), 5.(1)3 2 一x+y 3x (2)xy-xxy-y(x-1)(y-1) 又a>2,.4(a-2)>0. ,A玉米试验田的面积大. 6.1)原式-a.(2)原式=-z ac ,两块试验田的玉米都收获了600千克， 7.根据题意，得 s s(u+a) sa B玉米试验田的单位面积产量高. vv十av(v十a)v(v+a)v(v十a) (2)由题意可得 600 =a二4=a+2)(a-22=a+2 中. (a-2)2 a-2 答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的牛号倍。 答：同学们可提前中h到达， 8.(1)②分式的基本性质 2.2分式的加减法 (2)第③步错误.正确的解答过程如下： 第1课时同分母分式的加减法 16-2m-8 8-2m 2 基础在线 原式=(m°4)m十④F(m-4(m+=一 m十4 1.A2.B3.B4.a-1 能力在线 5.(1)原式=2.(2)原式=a十2b.(3)原式=-4. 6.①原式=t+2-3=丈-1=(x+1)1D 9D10.号 11.4-212.a+4a x+1x十1 x+1 =x-1, 13.(1)a+b 2ab 2 当x=1时，原式=1-1=0. a+b 7.A (2)Q-Q.=atb-2a6=a-6 2a+b2(a+b)1 &z⑧5 a≠b,∴.(a-b)>0. a>0,b>0, 9.(1)原式=x-y.(2)原式=4 xyx'y ÷%>0,即Q>a 10.xy+y广xy =x十y 答：乙的平均单价更便宜 拓展在线 当x=2十√5，y=2-√3时， 14.(1)< 原式=2十√3+2-3=4. (2)增大了 能力在线 11.B12.113.0或-2（答出其中一个即可） 理由治-<0货<号 mm+1' 年级数学（下）·BS一@第2课时 运用完 ① 基础在线 知识要点分类练 > 知识点1完全平方式 1.下列式子中，是完全平方式的是 A.a2+ab+b2 B.a2+2a+2 C.a2-2b+b2 D.a2+2a+1 2.(中考·淄博)若多项式4x2-mxy十9y能用完 全平方公式因式分解，则m的值是 知识点2直接运用完全平方公式因式分解 3.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是 () A.x2+2x-1 B.x2+1 C.x2+2x+4 D.x2-12x+36 4.多项式x2一4x十4因式分解的结果是（) A.x(x-4)+4 B.(x+2)(x-2) C.(x+2)2 D.(x-2)2 5.多项式x2-9与多项式x2十6x+9的公因式 是 () A.x+3 B.(x+3)2 C.x-3 D.(x-3)(x+3)2 6.已知实数a比b大1，则a2-2ab十b的值为() A.1 B.0 C.-1 D.a 7.(中考·甘肃)因式分解：x2一6x十9= 8.因式分解： ()m2+m+子 (2)16x2+24x+9; 全平方公式因式分解 (3)-2xy-x2-y2. 知识点3先提公因式后运用完全平方公式 因式分解 9.因式分解： (1)(中考·兰州)2x2十4x十2= (2)(中考·东营)2m3-12m2+18m= 10.把下列各式因式分解： (1)3x2-18xy+27y2; (2)-a3+4a2b-4ab2. 易错点对完全平方式理解不透 11.(中考·成都)多项式4x2十1加上一个单项 式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的 单项式可以是 (填一个 即可). 2能力在线 》方法规律综合练 12.对于下列整式：①a2-2a+1,②m2十m+1, ③166-26+6，④4x2-xy+4,⑤a+ 46-4ab,回mn-mm+子，其中能表示成完 全平方式的个数为 () A.4 B.3 C.2 D.1 第四章78 13.已知a,b满足a2+2b+b2+4a=-5,则 b一a的值为 () A.1 B.-5C.-3D.-7 14.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏 规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行 加减运算，运算的结果能因式分解的同学进 入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三张卡 片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是 () x2+5.x+12 5x+13 x2-13 M 正 A.甲：M+N B.乙：M-N C.丙：N+P D.丁：N-P 15.（中考·威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1= 16.已知 工一2)=5+a'则4r2-4xy十y的值 x+y=3-a, 为 17.(教材P124复习题T8变式)（浙江阶段练 习)代数式4x2+y2-2y一4x+15的最小值 是 18.(1)利用因式分解计算：5.52一5.5十0.52； (2)因式分解：(x-y)2+4y(x-y)+4y2. 79探究在线八年级数学（下）·BS 19.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足 a2+c2=2b(a-b+c),试判断△ABC的形 状，并证明你的结论 3 拓展在线》培优拔尖提升练 20.【阅读材料】 因式分解：(x+y)2+2(x十y)+1. 解：将“x十y”看成整体，令x十y=A,则原式 =A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”还原，原式=(x十y十1)2 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是 数学解题中常用的一种思想方法。 【问题解决】 (1)因式分解：(a+b)(a十b-4)+4= (2)因式分解：1+4(x-y)十4(x-y)2; (3)求证：若n为正整数，则式子(n十1)(n+ 2)(n2+3n)+1的值一定是某个整数的平方. 微专题8因丘 1.把下列各式因式分解： (1)ma2-4mb2; (2)a(x-y)-b(y-x)-c(x-y); (3)-4a3b2+12a2b-4ab; (④(x+1Dz+2)+: (5)3a(a-2b)+6b(2b-a); (6)5m(y-x)2-10(x-y)3. 2.运用简便方法计算： (1)99×101; 分解及其应用 (2)3.14×5.52-3.14×4.52; (3)2022+202×196+982: (1-2)×(1-3)×(1-)×…×(1- 9g)×(1-100). 3.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体， 它的内径d=0.68m,外径D=0.88m,长h= 1m.浇制一节这样的排水管需要多少立方米 的混凝土？（用简便方法计算，结果保留π) 第四章 80