3.3 简单的图案设计&微专题7 旋转在几何中的应用&问题解决活动：最短距离-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

@3 简单 ①基础在线 >> “知识要点分类练 知识点1分析图案的形成过程 1.下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图 案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案 的形成过程的有 A.4个B.3个 C.2个 D.1个 2.如图，这个图形可以看作是以“基 本图形”即原图形的四分之一经 过变换形成的，其中不含有的变 换是 ) A.中心对称 B.轴对称 C.平移 D.旋转 知识点2用平移、旋转与轴对称的组合进行 图案设计 3.在综合实践活动课上，小红准备 用两种不同颜色的布料缝制一 个正方形坐垫，坐垫的图案如右 图所示，应该选下图中的哪一块 布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模 式 4.现有如图①所示的两种瓷砖.请从这两种瓷砖 中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案， 使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形 (如示例图②).（要求：分别在图③、图④中各 设计一种与示例图不同的拼法，这两种拼法各 不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形， 又是中心对称图形) 图① 图② 图③ 图④ 的图案设计 “方法规律综合练 ②能力在线》方法规律 ● 5.不能由基本图形①得到图形②的方法是( 图① 图② A.旋转和平移 B.中心对称和轴对称 C.平移和轴对称 D.中心对称和平移 6.第二十四届北京冬奥会人场式 换强 a 引导牌上的图案融入了中国结 和雪花两种元素.如图，这个图 案绕着它的中心旋转a(0°<α<360°)后能够与 它本身重合，则a= .(写 出一个即可) ③拓展在线》培倪拔尖提升练… ●. 7.(新考向·结论开放)某公司为了节约开支，购 买了质量相同的两种颜色的残缺地砖，准备用 来装修地面，现已加工成如图1所示的等腰直 角三角形，王聪同学设计了如图2所示的四种 图案 困 ① ② ③ ④ 图1 图2 (1)你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程； (2)请你利用平移、旋转、轴对称等知识再设计 一幅与上述不同的图案. 第三章68 微专题7旋转 类型①利用旋转求角度或线段长 1.如图所示，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一 平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到 △AB'C'的位置，使CC∥AB,则∠BAB的度 数为 () A.70° B.40° C.50° D.80° 第1题图 第2题图 2.(晋中期末)如图，在△ABC中，AB=√6，AC =√5，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针 旋转60°得到△AB1C,连接BC1,则BC1的长 为 () A.3 B.4 C.2√3 D.3√2 3.(梅州期中)如图，把△ABC以点A为旋转中 心，逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点 分别为点D,E,且点E在BC的延长线上，连 接BD,若∠ACE=62°，AD与BE交于点O, 则∠BED的度数为 () A.52° B.54°C.56° D.58° 第3题图 第4题图 类型②利用旋转添加辅助线 4.(宜春三模)如图，将△ABC绕点A顺时针旋 转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为 点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上， 若CD=3,BC=1,则AD的长为 69探究在线八年级数学（下）·BS 在几何中的应用 5.如图，在△ABC中，AB=BC=3,∠ABC= 30°，P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC,则 PA+PB+PC的最小值为 () A.3√2 B.3+√2 C.33 D.3+√3 B 第5题图 第6题图 类型③利用旋转求面积 6.如图，在等边三角形ABC内有一点D,AD= 4,BD=3,CD=5,将△ABD绕点A逆时针旋 转，使AB与AC重合，点D旋转至点E处，则 四边形ADCE的面积为 () A.12 B.12+43 C.6+43 D.6+8√3 堡型④利用旋转进行证明 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC 绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE,且 点E恰好落在边BC上· (1)求证：EA平分∠CED; (2)连接BD,求证：∠DBC=90°. ©问题解决活 1 基础在线 >> 知识要点分类练 知识点1牧民饮马问题 1.如图，直线1是一条输水主管道，现有A,B两 户新住户要接水人户，图中实线表示铺设的管 道，则铺设的管道最短的是 知识点2牧民饮马问题的拓展 2.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处 牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最 短路径. 草地 马A B 知识点3造桥选址问题 3.有一以互相平行的直线a,b为岸的河流，其两 侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建一座桥 梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离 最短，从作图痕迹上来看，正确的是 ( A、M B N 动：最短距离 ② 能力在线沙方法规律综合练 ● 4.如图，某条护城河在CC处直角转弯，河宽均 为5m,从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽 不计，桥与河岸垂直)，设护城河以及两座桥都 是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A到 B的路程最短，请确定两座桥的位置. ③拓展在线沙培化拔尖提升练… 5.(1)如图①，在∠AOB内部有一点P,若在 OA,OB上分别存在点E,F,使得以E,F,P 为顶点的三角形的周长最小，找出E,F两点； 若∠AOB=40°，则∠EPF= (2)如图②，在∠AOB内部有两点M,N,是否 在OA,OB上分别存在点E,F,使得以E,F, M,N为顶点的四边形的周长最小？找出E,F 两点 M P B 图① 图② 第三章7014.(1)△A1B1C1如图所示 3.D (2)△A2B2C2如图所示，C2(-3,5)」 能力在线 (3)△A3B3C3如图所示 4.如图，作法如下： ①过点A作AF⊥CM,使AF等于河宽；过点B作BG⊥ CN,使BG等于河宽； ②连接GF,分别与CQ,CP相交于点E',D'; ③过点D作D'D⊥CM于点D,过点E作EE⊥CN于点 E,则DD,EE即为两座桥的位置. 拓展在线 5.(1)如图①，作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称 点D,连接CD,分别交OA,OB于点E,F,则E,F就是所 15.将三条道路都平移到边上去，则空白部分的面积（即蔬菜 要求作的点.100 的总种植面积)不变，所以蔬菜的总种植面积为 (2)存在点E,F.如图②，作点M关于OA的对称点C,作 (20-1X2)(32-1)=558(m). 点N关于OB的对称点D,连接CD,分别交OA,OB于点 答：蔬菜的总种植面积是558m E,F,则E,F就是所要求作的点 16.(1)由旋转得△ABC≌△ADE,且∠a=∠BAD=60°， .AD=AB,∠ABC=∠ADE △ABD是等边三角形.∠ADB=60° ∴.∠ABC=∠ADE=180°-∠ADB=120° (2)证明：，AC=AE,∠EAC=a,.∠E=∠ACE. △ABC≌△ADE,∴.∠ACB=∠E. .∠ACB=∠ACE..CA平分∠BCE 图① 图② (3)证明：如图③，延长AD交CE于点F, 单元综合复习（三） 图形的平移与旋转 .'AE=AC,AD=AD,DE=CD 热门考点突破 '.△ADE≌△ADC...∠DAE=∠CAD 1.B2.C3.C4.(-1,4)5.C6.D7.B8.D9.A △ADE≌△ADC≌△ABC. 10.D11.B12.P ·AFLCE,且CF= 2CE. 图③ 13.(1)如图，△A1BC1即为所求， (2)如图，△A2B2C2即为所求 Sam=2AD·CF=AD·CE= AD·CE. 由图可知，B2(0,一2)，C2(一2，一1). 即SAC=子AD:CE 3简单的图案设计 基础在线 1.A2.C3.C4.图略. 能力在线 5.D6.60°（答案不唯一） 拓展在线 (3)△A1B1C(1,-1) 7.(1)(答案不唯一)我喜欢图案④.图案④的形成过程：以同 14.如图所示.（答案不唯一） 行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕 大正方形的中心旋转180°得到. (2)(答案不唯一)如答图所示. 微专题7旋转在几何中的应用 核心素养提升 答图 15.A 1.B2.A3.C4.55.A6.C 7.(1)由旋转可得AE=AC,∠C=∠AED, 第四章 因式分解 ∴.∠C=∠AEC.∴.∠AED=∠AEC.即EA平分∠CED 1因式分解 (2)如图，连接BD,由旋转可得AE=AC, 基础在线 AB=AD,∠CAE=∠BAD, 1.D2.C3.m2+2mn=m(m+2n) ∴.∠AEC=∠ADB. 4.(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解 :∠AEC+∠AEB=180, 能力在线 ∴.∠ADB+∠AEB=180°. 5.因为255+511=(52)5+511=510+5×510=5×5°+25×5° :∠DAE=∠BAC=90°，.∠DBC=360°-（∠ADB+ =5°×(5+25)=30×5°，所以255十511能被30整除， ∠AEB+∠DAE)=360°-(180°+90)=90 拓展在线 问题解决活动：最短距离 6.设另一个因式为x十a,则2x2十3x一k=(2x一5)(x十a), 基础在线 即2x2十3x-k=2x2十(2a-5)x-5a, 1.C2.如图，最短路径AQ-QP-PB即为所求 .2a一5=3；解得6=20 1-5a=-k, DF M 东 .另一个因式为x十4，k的值为20， D' 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 NO 基础在线 第2题答图 第4题答图 1.2x2.C3.C4.A 一探究在线·八年 5.(1)m(x-2y)(2)a(a+13)6.D 能力在线 7.C8.A 9.(1)-5a(4+3x)(2)-5bc(2a2-3c+4ab) 10.(1)12.5(2)80 11.(1)证明：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 9(111a十11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被g .9(111a十11b+c)+(a十b+c十d)能被9整除. .这个数abcd能被9整除. (2),2十0十2十5=9能被9整除，.2025能被9 拓展在线 12.2032 第2课时提多项式因式分解 基础在线 1.D2.B 3.(1)(a+b)(m+n)(2)2(x-y)(a-2b) 4.(1)原式=(m-2)(a-b). (2)原式=(x-y)(3a-1). 5.原式=(a-b)(a+b-a+b)=2b(a-b). 当a=1,6=-分时， 原式=2×(-)×(1+)=-是 能力在线 6.C7.原式=x(x-4)(x一y). 8..'d-ab-ac+bc=0,∴.a(a-c)-b(a-c)=0. .(a-b)(a-c)=0..a-b=0或a-c=0. a=b或a=c.∴△ABC是等腰三角形. 拓展在线 9.8 10.(1)提公因式法2(2)2026(1+x)202 (3)原式=(1十x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 基础在线 1.A2.C3.D4.(m+4)(m-4) 5.4a2-1(答案不唯一) 6.(1)原式=(ab+4)(ab-4). (2)原式=(3a+b)(b-a). (3)原式=(8m+9n2)(8m-9n2). 7.(1)2025(x+1)(x-1) (2)3(m+3)(m-3) 8.(1)原式=x(y2-4)=x(y十2)(y-2) (2)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)= (x-y)(a+2)(a-2). 9.(1)原式=(201+199)×(201一199)=400×2=800 (2)原式=(30号+29号)×(30号-29号)=60 80. 10.(1)2a·a-2b=2a2-2b, .图中阴影部分的面积为2a2-2b. (2)当a=15.7,b=4.3时，2a2-26=2(a2-b) b)(a-b)=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. .阴影部分的面积为456. 能力在线 11.D12.D13.a+b14.4 15.(1)原式=2[4x2-(x-y)2] =2[2x+(x-y)][2x-(x-y)] =2(2x十x-y)(2x-x十y) =2(3x-y)(x+y). 级数学（下）·BS一 (2)原式=(x2-y2)+(2x-2y) =(x十y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2). (3)原式=(x2)2-(4y)2 =(x2+4y2)(x2-4y2) =(x2+4y2)(x+2y)(x-2y) 16.(1)122-102=44=4×11 (2)设两个连续偶数为2n和2n十2， 整除， .'(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=2(4n+ 2)=4(2n+1), '.任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍 整除。 拓展在线 17.(1)64x (2)64π 发现：M-N=S,一S2.证明过程如下： 依题意，M=S,一K,N=S-K, M-N=S-K-(S-K)=S-K-S+K=S-S. 运用：由M-N=20π，得xR2-π2=20x, 故R2-Y2=20, .(R+r)(R-r)=20. 又R+r=10,R-r=2 则尽0解得（因 ∴.这两个圆的面积之和为π×62十πX4=52元. 第2课时运用完全平方公式因式分解 基础在线 1.D2.±123.D4.D5.A6.A7.(x-3) &.1原式=(m+名)广， (2)原式=(4x+3)2. (3)原式=-(x十y)2. 9.(1)2(x+1)2(2)2m(m-3)2 10.(1)原式=3(x2-6xy+9y2)=3(x-3y)2. (2)原式=-a(a2-4ab+4b)=-a(a-2b)2. 11.4x(答案不唯一) 能力在线 12.A13.A14.D15.(x+3)2 16.6417.13 18.(1)原式=(5.5-0.5)2=25. (2)原式=(x-y)2+2X2y(x-y)+(2y) =(x-y+2y)2 =(x十y)2. 19.△ABC是等边三角形 证明：a2十c2=2b(a-b+c), .a2+c2-2ab+2b-2bc=0. a2+c2-2ab+2b-2bc=(a-b)2+(c-b)2, (a-b)2+(c-b)2=0. .a-b=0,c-b=0..a=b,c=b. .a=b=c..△ABC是等边三角形 拓展在线 20.(1)(a+b-2) (2)原式=[1+2(x-y)]2=(2x-2y+1) (3)证明：原式=(n2+3n+2)(n+3m)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(m2+3n+1)2 2(a十 :n为正整数，m十3n十1为正整数. ∴.式子(n十1)(n十2)(n2+3n)十1的值一定是某个整数 的平方. 微专题8因式分解及其应用 1.(1)原式=m(a2-4b)=m(a十2b)(a-2b) (2)原式=a(x-y)十b(x-y)-c(x-y)=(x-y)(a+b一c). (3)原式=-(4a36-12a2b+4ab)=-4ab(a2b-3a+1) (0原式=+3z+是-(+号)月 23