阶段测评2(1.3-1.4)-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

12.如图，△ABC即为所求作的三角形， 6.A7.B 8.DE⊥AB,DF⊥AC,,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， “8e-c 第12题答图 第13题答图 ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF.∴.DE=DF. 13.(1)证明：如图，连接OA,OB,OC, AD是∠BAC的平分线. ,·DM垂直平分线段AB,EN垂直平分线段AC, 能力在线 ..OB=OA,OA=OC...OB=OC. 9.C .点O在边BC的垂直平分线上 10.如图，①连接CD,作CD的垂直平分线；②作∠AOB的平 (2)20 分线，交CD的垂直平分线于点P,即货站P的位置. 拓展在线 A 14.B 阶段测评2(1.3~1.4) 1.D2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C E 9.合格10.2711.45°12.5013.√5-114.5或10 第10题答图 第11题答图 15.如图，作AC的垂直平分线交AB 11.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 于点D,则D点即为所求作. ,AD∥BC,∠D=90°，∴.∠C=180°-∠D=90°， 16.(1)由题意知，∠BDC=∠ACB= 即PC⊥BC. 90°，.∠A=90°-∠ABC= :BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥BC,PC=PE. ∠BCD. P是CD的中点，∴PD=PC.PE=PD. (2)易知∠ABC=90°-∠A=60° 又PE⊥AB,PD⊥AD,.AP平分∠DAB, :BE平分∠ABC,∴∠ABE- 12.(1)证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC ∠ABC=30° 交AC的延长线于点F, .∠CEF=∠A+∠ABE=60°. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (3)= :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 17.如图，过点A作AH⊥DE于点H, .∠B=∠FCD. .CD=2,BD=3, :∠F=∠DEB=90°， ∴.BC=5. .△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. :DA平分∠CDE,∠ACD=90° AH⊥ED, .∠ADC=∠ADH,∠C=∠AHD=∠AHE=90 .'AD=AD,∴.△ADC≌△ADH(AAS). ..AC=AH,CD=DH=2. 图② 图③ ,'AB=AE,∴.Rt△ABC≌Rt△AEH(HL) (2)2a提示：如图③，作DF⊥AC交AC的延长线于点F .BC=EH=5...DE=DH+HE=7. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 18.(1)DE⊥DP. :∠B=45°，∠ACD=135°，.∠B+∠ACD=180° 理由如下：，PD=PA,∠A=∠PDA, :∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD. EF是BD的垂直分线，∴BE=DE..∠B=∠EDB. 同理可证△DFC≌△DEB(AAS). ∠C=90°，∠A+∠B=90° .DC=DB,CF=BE. .∠PDA十∠EDB=90°. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴.∠PDE=180°-90°=90°.∴.DE⊥DP (AD=AD, (2)连接PE,设DE=x,则BE=x, DF-DE, CE=8-x. .Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)..∴.AF=AE. .AC=6,PA=2, ..AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC++2BE. .PD=PA=2,PC=AC-PA=4. ∴.AB-AC=2BE=2a. ∠C=∠PDE=90°， 拓展在线 ∴.PC十CE2=PE=PD十DE, 13.3或5 即42+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 第2课时三角形三个内角的平分线 .DE=4.75. 基础在线 5角平分线 1.C2.B3.A4.55 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 5.过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足 基础在线 分别为E,F, 1.C2.D3.C4.4 .OA平分∠BAC,OE⊥AB,OF⊥AC 5..'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OF. .DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 同理，OD=OE,OD=OF D是BC的中点，BD=CD. ..OD=OE=OF=3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， SAANC-SANOB+SABC+SAAOC (BD=CD, S=AB X OE+号BCX OD+-号ACXOF= DE=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∠B=∠C. 合(AB+BC+ACX0D-合×20X3=30. 一探究在线·八年 6.C ,∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).'.AF=BE. 7.如图所示，点P为小亭中心的位置 (2)2cm 微专题4构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明：如图，过点P作PF∥AC交 BC于点F 点P,Q同时出发，且速度相同， 能力在线 .BP=CQ. 8.D9.110.10 PF∥AQ, 11.,中转站要到三条公路的距离都相等， ∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∴·货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 又AB=AC,∠B=∠ACB. 角或外角平分线的交点. ∴.∠B=∠PFB.∴.BP=FP..FP=CQ .满足条件的点P有四个，图略 在△PFD和△QCD中， 12.·PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF, ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ, ∴.P是△ABC三个内角平分线的交点. ∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD=QD. ∴.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. (2)线段ED的长度保持不变.理由如下： ∴∠PCB=∠ACB,∠PBC=号∠ABC 由(1)知，PB=PF :PE⊥BF,∴.BE=EF.由(I)知，△PFD≌△QCD ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- ∠ACB ∴FD=CD.∴ED-EF+FD=BE+CD=2BC, 合∠ABC=180-合（∠ACB+∠ABC)=180:- .线段ED的长度保持不变 2.如图，延长BA,CD相交于点Q. 合(180°-∠BAC=90+号∠BAC '∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， .∠ACQ十∠Q=90°， 拓展在线 13.(1)EF⊥AB,.∠AFE=90° ∠ABE+∠Q=90. ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠ACQ=∠ABE. :∠BAD=100°，∠DAE=180°-100°-40°=40. I∠ABE=∠ACQ, (2)证明：如图，过点E作 在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ: EM⊥AD于点M,ENI ∴.△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ. BC于点N, :BE平分∠ABC,EF⊥ BD平分∠ABC,∠CBD=∠QBD. .'∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90° BA,.'.EF=EN. ∠EAF=∠DAE=40°，.AE平分∠DAF. BD=BD,△BCD≌△BQD(ASA), ∴.CD=QD.∴.BE=CQ=2CD .EF=EM..EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD,∴.DE平分∠ADC. 3.方法1：（截长法）如图，在BC上取点E, (3)SAACD=SAADE+SAODE 使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴2AD,EM+2CD·EN=18, .'.∠ABD=∠EBD 由(2)知，EM=EN=EF, (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD 7(AD+CD),EM=18.分×(4+8)XEM=18. BD-BD, ∴.EM=3.∴.EF=3. ∴△ABD≌△EBD(SAS).∴.∠BAC=∠BED=108. ∴SAE=7ABEF=合X6X3=9, .∠DEC=72° AB=AC,.∠C=∠ABC=36°.∴.∠CDE=72° 微专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. 1.D2.43./134.D 则BC=EB+CE=AB十CD. 5.(1)垂直平分线平分线 方法2：（补短法）如图，延长BA至点E,使 (2)过点E作EM⊥AD于点M,如图②. BE=BC,连接DE 因为射线AE是∠DAC的平分线，EG 根据SAS证明△EBD≌△CBD,可得DE ⊥AC,EG=1, =DC,再由三角形内角和求证∠EAD= 所以EM=EG=1, ∠EDA=72°，∴.EA=ED=CD. D ×4×1 所以Sam=号AD·EBM=号 图② 即可证明BC=AB+CD. 4.如图，延长FD至点H,使FD=HD,连 =2. 接BH. 6.(1)证明：如图，连接AD,BD, AD为中线，∴.BD=CD. PD垂直平分AB,∴.AD=BD. 在△BDH和△CDF中， ,CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥ BD=CD, AC, ∠BDH=∠CDF, .DE=DF,∠AFD=∠BED=90° HD=FD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， .△BDH≌△CDF(SAS).∴∠H=∠CFD,CF=BH. (AD=BD, .'AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. DF-DE, '∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H. ∴.AB=BH.∴.AB=CF. 级数学（下）·BS一 19阶段测评2 (时间：40分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.下列说法不正确的是 A.任何命题都有逆命题 B.“三角形的内角和等于180°”是真命题 C.命题的逆命题不一定是正确的 D.每个定理都有逆定理 2.(榆林期中)如图，在△ABC和△DEF中，∠A =∠D=90°，EF=BC,DF=AC,则能直接判 断△ABC≌△DEF的依据是 () A.HL B.ASA C.SAS D.SSS M D N 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A,B 为圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧相交 于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接 AD.若∠B=17°，则∠DAC的度数为() A.77° B.73 C.56 D.34° 4.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的 点A,B,C,D中任取三点，所构成的三角形是 直角三角形的是 A.△ABD B.△ADC C.△BCD D.△ABC A C 第4题图 第5题图 5.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点 D在BC边上，且∠A=45°，∠F=30°.若BC ∥EF,则∠CED的度数是 () A.5 B.10° C.15° D.20° 25探究在线八年级数学（下）·BS 1.31.4) 满分：100分) 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，且AE=AC, DE⊥AB于点E.若BC=7,则DE十BD的值 为 ( ) A.14 B.12 C.9 D.7 B A D D 777777777777777777 第6题图 第7题图 7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上. 已知AC=DF,AB=DE,则这两个滑梯与地 面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是() A.60° B.90° C.120°D.150° 8.四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的 长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC 是直角三角形时，对角线AC的长为() A.5 B.23 C.√3 D.4 /14 第8题图 第10题图 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.(桂林阶段练习)木工师傅要做一个长方形桌 面，做好后测得桌面的长为3m,宽为1.6m, 对角线为3.4m,则这个桌面 ·（填 “合格”或“不合格”) 10.(长沙期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD ⊥BC于点D,P是AD上一点，连接PB,PC, 若PB=27cm,则线段PC的长度为cm. 11.如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一 点，BE交AD于点F,且BF=AC,FD= CD,则∠BAD的度数是 第11题图 第12题图 12.(石家庄期中)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,∠BAC的平分线与AB的中垂线 交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，若 ∠CEF=50°，则∠BAC的度数是 13.(中考·广西)如图，点A,D在BC同侧，AB=BC =CA=2,BD=CD=√2，则AD= 第13题图 第14题图 14.如图，∠C=90°，AC=10,BC=5,AX⊥AC, 点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和 射线AX上运动，且AB=PQ,当点P运动到 AP= 时，△ABC与△APQ全等. 三、解答题（共44分） 15.(10分)如图，在△ABC中，∠C>90°，CA< AB.请用尺规作图法，在AB上确定一点D,使 得∠CDB=2∠A.(保留作图痕迹，不写作法) 16.(10分)如图，已知在△ABC中，∠ACB= 90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC, 分别交CD,AC于点F,E, (1)试说明∠A=∠BCD; (2)若∠A=30°，试求出∠CEF的度数； (3)猜想∠CEF与∠CFE的数量关系： ∠CEF ∠CFE(填“>”“<”或“=”). E 17.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D 为BC边上一点，DA平分∠CDE,且AB= AE,若CD=2,BD=3,求DE的长. B 18.(12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点P 在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持 与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点 E,交BD于点F,连接DE. (1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由； (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长 第-章26