1.3 第2课时 直角三角形全等的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

13.(1)30°30 .BC=5 cm,..AB=BC+3=8 cm; (2)证明：由(1)得∠B=∠C (2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3cm时， :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90 则BC-AB=3cm. D是BC边的中点，BD=CD '.'BC=5 cm,.'AB=BC-3=2 cm. ∴，△BDE≌△CDF(AAS). 但是当AB=2cm时，三边长分别为2cm,2cm,5cm,而 (3)△DEF是等边三角形.证明如下： 2十2<5，不合题意，舍去 由(2)得△BDE≌△CDF,∠BED=∠CFD=90°， 故腰长为8cm. .DE=DF 7.8 由(1)得∠B=∠C=30°， 阶段测评1(1.1~1.2) ∴∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°. 1.C2.B3.D4.C5.D6.C ∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-60°-60°=60° 7.在△ABC中，AC=BC .△DEF是等边三角形. 8.59.5.510.511.6 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形， 12.:∠EFA十∠EAF+∠E=180°，∠EAF=100°，∠EFA ∴.AC=BC,∠A=∠BCF=60° =20°， ,AE=CF,.△ACE≌△CBF(SAS). ∴∠E=180°-∠EFA-∠EAF=60°， ∴∠ACE=∠CBF. :EF∥DC,∴.∠ECD=∠E=60°. (2)由(1)知，∠ACE=∠CBF, :∠BCD=130°，.∠ACB=∠BCD-∠ECD=70°. ∴·∠BPE=∠CBF+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB ,∠EAF=∠B+∠ACB, =60°. .∠B=∠EAF-∠ACB=30° EG⊥BF,即∠PGE=90°，.∠GEP=30°. 13.(1)设此多边形的边数为n,则 ∴.在Rt△PGE中，PE=2PG. (n一2)·180°=2340°，解得n=15, .PG=1,∴.PE=2. 故此多边形的边数为15. 拓展在线 (2)设多边形的一个内角为3x°，则一个外角为2x, 15.C .3x十2x=180,解得x=36. 微专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 2x=2×36=72,360°÷72°=5 1.C2.D3.6 故这个多边形的边数为5. 4.设△ABC为等腰三角形，AB=AC,分两种情况讨论： 14.(1).AB∥CD,.∠BAC=∠ACD ①若∠A<90°，如答图①所示. .CA平分∠BCD,.∠BCA=∠ACD. .BD⊥AC,.∠A+∠ABD=90° .∠BAC=∠BCA..AB=BC. ∠ABD=36°，∠A=90°-36°=54°. (2):∠CAB=30°，∠BAC=∠ACD=∠ACB=30° :AB=AC,∠ABC=∠C=2×(180-54)=63, AM⊥CD于点M, ②若∠A>90°，如答图②所示. ∴∠MAC+∠MCA=90,AM=2AC 同①可得∠DAB=90°-36°=54°， ∴∠MAC=60°. :AB=AC,∠ABC=∠C=号X54°=27 :AB=BC,BNLAC,.∴AN=号AC.AN=AM 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为63°或27°. ∴.△AMN是等边三角形. D 15.(1)∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠EAC=∠DAB, 3答图① 答图② :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 5.当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB,交BC于点D,如 ..AB=AC,AD=AE. 答图①所示， 在△ACE和△ABD中， .AB=AD,AH⊥BC,∠ABH=70°， (AC=AB, ∴.∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH ∠EAC=∠DAB, .AB+BH=CH,CD+DH=CH, LAE-AD, ∴AB=CD=AD.∴∠C=∠CAD=号∠ADB=35, ∴.△ACE≌△ABD(SAS). (2)过点D作DF⊥AB,垂足为F,如图 .∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75° 所示. 当∠ABC为钝角时，如答图②所示. ∠CAE=∠BAD=30°，DF⊥AB, .'AB+BH=CH,BC+BH-CH,..AB-BC. ∴.AD=2DF. 又：∠ABH=70,∠BAC=∠ACB=合∠ABH=35 ,△ABC是等腰直角三角形， .∠C=∠ABC=45°. 综上所述，∠BAC的度数为75°或35° 由(1)知，△ACE≌△ABD, .∠DBA=∠C=45° ∴△BFD为等腰直角三角形，BF=FD. .由勾股定理可得BD=BF2十DF=2DF2 H D AD-2DF,..AD=4DF-2BD 答图① 答图② 3直角三角形 6.,BD为AC边上的中线，AD=CD. (1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3cm时， 第1课时直角三角形的性质与判定 则AB-BC=3cm. 基础在线 1.A2.D3.(4,3) 18 一探究在线·八 4.BE平分∠ABC交AC边于点E, ..AE-AC. ∴∠ABE=2 ∠ABC=25.∴∠ABC=50°. AB=AE+EB,∴.AB=AC+EB .AC=AF+CF,..AB=AF+CF+EB=AF+2BE. ∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-60°=70°， 拓展在线 AD⊥BC,∠ADC=90° 16.B ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°. 4 线段的垂直平分线 ∠DAC的度数为20° 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 5.B6.√67.128.C 基础在线 9.三个角都相等的三角形是等边三角形真 1.B2.C3.C4.D 能力在线 5.DE是AB的垂直平分线，.DA=DB=10. 10.A11.D12.B13.①14.135° .∠DAB=∠B=15°..∠ADC=∠DAB+∠B=30. 15.(1),∠C=90°，∠A=60°， ∠B=90°-∠A=30°..AB=2AC. 又：∠C=90,AC=AD=号×10=5. .DE⊥AB,∴.BD=2DE=2×4=8 6.A7.C .BC=CD+BD=10+8=18. 8..'AB=AD, .AC+BC=AB2,..AC+182=(2AC)2. ∴.∠ABD=∠ADB,且点A在线段BD的垂直平分线上. 解得AC=6√3（负值舍去）： .'∠ABC=∠ADC, (2)BD=8,DE=4,DE⊥AB .∴·∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB. ∴.BE=√BD-DE=4√5. 即∠CBD=∠CDB, .四边形ACDE的面积=SAABC一SADE= 1×63×18 ∴.CB=CD ∴点C在线段BD的垂直平分线上 -×4×45-465. ∴.直线AC是对角线BD的垂直平分线 能力在线 16.(1)证明：.AB:BC:CA=3:4:5, 9.C10.A11.4 ,'.设AB=3x,则BC=4x,CA=5x. 12.(1)证明：如图，连接AE, AB+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5x)2=25x2 AD⊥BC,D为BE的中点， ∴.AB2十BC=CA2,.△ABC是直角三角形. .AD垂直平分BE (2)由(1)可知∠B=90°.根据题意，得 ..AB-AE. 3x十4x+5x=36,解得x=3. :EF垂直平分AC ..AB=9 cm,BC=12 cm. ∴.AE=CE..AB=CE 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm). (2)AE=CE,.∠CAE=∠C=32°.∠AEB=64° △BPQ的面积为2×6X6=18(cm). ,AB=AE,∴.∠B=∠AEB=64° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=84 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC 17.√13 点A在线段BC的垂直平分线上 第2课时直角三角形全等的判定 OB=OC,.点O在线段BC的垂直平分线上 基础在线 AE垂直平分BC. 1.C2.C3.B (2)由(1)知，AB=AC,∠BAC=60, 4.AC=BD(或BC=AD) .△ABC是等边三角形. 5.:AB=AC,AD平分∠BAC, .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°. ·ADLBC,BD=CD=号BC.∴∠ADB=90 由(1)知，AE垂直平分BC, CD=CE.BD=CE.EC⊥BC,∠BCE=90°. E为BC的中点.EC-2BC 又.'AB=BE,.Rt△ABD≌Rt△BEC(HL). 6.D 7.AAS :BDLAC,CD=号AC.EC=CD 8.DM⊥AB,.∠EDM=90°. ∴△CDE是等边三角形 ∠C=90°，∴.∠EDM=∠C=90°. 拓展在线 .ME∥BC,∴.∠DEM=∠B. 14.n-m 在△MED和△ABC中， 第2课时 三角形三边的垂直平分线 ∠EDM=∠C=90°， 基础在线 ∠DEM=∠B, 1.B2.C3.A MD-AC, 4.如图，直线AD即为所求作. ∴.△MED≌△ABC(AAS)..ME=AB 5.B6.C 能力在线 7.:P为△ABC三边垂直平分线的交点， 9.A10.B11.A12.A13.3cm14.3 ..PA=PC=PB. 15.(1),AD是∠BAC的平分线，∠DAC=∠DAE. .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB= .DE⊥AB,∴.∠C=∠AED=90° ∠PBA. 又，'AD=AD,.△ADC≌△ADE(AAS) ..CD=ED. ∴∠PAB=号×(180°-2X20°-2X30)=40 又.DF=BD,∠C=∠DEB=90°， 8.D Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴.CF=EB. 能力在线 (2)由(1)知，△ADC≌△ADE,CF=EB, 9.B10.B11.8° F级数学（下）·BS©第2课时 直角 ①基础在线沙知识要点分类练 知识点1用HL判定两个直角三角形全等 1.(榆林期中)如图，在△ABE与△CBD中，AE ⊥BD于点E,CD⊥BD于点D,AB=BC,BE =CD,则可判定Rt△ABE≌Rt△BCD的理 由是 () A.AAS B.SAS C.HL D.ASA 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，AD=AB,∠B= ∠D=90°，∠ACB=35°，则∠DAB=() A.70°B.90° C.110° D.130° 3.如图，∠C=90°，M是BC上一点，过点M作 MD⊥AB于点D,且MC=MD.如果AC=8, AB=10,那么BD的长度为 () A.8 B.2 C.10 D.6 D 第3题图 第4题图 4.(新考向·条件开放)如图，∠C=∠D=90°， 若利用HL证明△ABC≌△BAD,需添加的 条件是 .(写出一种 即可) 5.(青岛期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AD 平分∠BAC,EC⊥BC于点C,且AB=BE, CD=CE.求证：Rt△ABD≌Rt△BEC 19探究在线八年级数学（下）·BS 三角形全等的判定 知识点2用其他方法证明两个直角三角形 全等 6.(驻马店阶段练习)在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C=90°，下列条件中能判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的个数为 () ①AC=A'C',∠A=∠A'; ②AC=A'C',AB=A'B'; ③AC=A'C',BC=B'C'; ④AB=A'B',∠A=∠A'. A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，AM是一段斜坡，AB是水 D 平线.欢欢为了测量斜坡上一点 C的竖直高度CN,他在点C处 N B 立上一根竹竿CF,竹竿CF与斜 坡AM垂直，在D处垂下一根绳子DE,与斜 坡AM的交点是E,绳子DE可以在竹竿CF 上自由滑动.当DE=AC时，测得CE=2m, 则CN=2m.其中，运用到的判定三角形全等 的依据是 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB上一 点，DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥ BC交AB于点E.求证：ME=AB. ②能力在线》方法规律综合练 9.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB =4,则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全 等的是 600 A 609 360° 2 C D 10.(廊坊期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 点D在边AC上，点E在边BC上，DE= AD,DF⊥AB于点F,AF=CE,连接BD.若 AB=10,CE=2,则线段BE的长是（) A.4 B.6 C.8 D.10 第10题图 第11题图 11.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个 顶点均为格点，则∠1十∠2的度数是() A.45°B.50° C.40° D.35° 12.(新乡期末)如图，长方形纸片ABCD中，AB =5,BC=6,M是BC上的点，且CM=1.将 长方形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使 点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q 处，折痕为MN,则线段AP的长是() A.4 B.3.5C.3 D.2.5 Q D 第12题图 第13题图 13.（宿迁期末)如图，在Rt△ABC的斜边BC上 截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于 点E.若AB=5cm,DE=2cm,则BE的长 为 14.(宜宾期中)如图，在四边形ABCD中，AD= BC,BD与AC相交于点O,∠ADB=∠BCA =90°，则图中的全等三角形一共有对. 0 、0 A 15.(大庆期中)如图，在△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, 点F在AC上，且BD=DF.试证明： (1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB. D ③拓展在线》培优拔尖提升然 16.(苏州阶段练习)如图，在四边形纸片ABCD 中，AB=AD,∠BAD=60°，∠BCD=120°. 过点A作AE⊥BC,垂足为E.若AE= 6cm,则该纸片的面积为 () A.12 cm2 B.12√3cm2 C.18 cm2 D.183cm2 第-章20