1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

3 直角三角形 ©第1课时 直角三角形的性质与判定 ①基础在线> 目知识要点分类练。 6.(太原期中)如图，在△ABC中，AB=3,BC= √5，AC=2,BD是AC边上的中线，则线段 知识点1直角三角形的性质 BD的长是 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B 的度数是 () A.50° B.60° C.70° D.80 2.如图，l1∥12，l3⊥14，∠1=42°，那么∠2的度数 为 第6题图 第7题图 A.21° B.38° C.42 D.48° 7.如图，为修通铁路需凿通隧道AC,测得∠A= 50°，∠B=40°，AB=10km,BC=8km,若每 天开凿隧道0.5km,则需要 天才能把 隧道AC凿通. 知识点3逆命题与逆定理 第2题图 第3题图 8.下列定理中，没有逆定理的是 () 3.如图，已知△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B A.两直线平行，内错角相等 分别在第一、四象限，且AB⊥x轴.若AB=6, B.全等三角形的对应边相等 OA=OB=5,则点A的坐标是 C.对顶角相等 4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE D.直角三角形的两个锐角互余 平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°， 9.(教材P27随堂练习T3变式)命题“等边三角 ∠ABE=25°.求∠DAC的度数， 形的三个角都相等”的逆命题是 这个逆命题是 (填“真”或“假”)命题， 2 能力在线》方法规律综合练 10.(厦门期中)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=23°，则∠ADE等于 () 知识点2直角三角形的判定 A.44° B.45° C.46 D.47 5.(湛江期中)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 D 边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为 直角三角形的是 A.∠A+∠B=90° B.a2=3,b=4,c2=5 C C.a=5,b=12,c=13D.a2=c2-b2 第10题图 第11题图 17探究在线八年级数学（下）·BS 11.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为 CD上任意一点，则PB2一PA的值为() A.6B.8 C.10 D.12 12.如图所示，在长方形纸片ABCD中，∠1= 65°.现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落 在点B1处，BC与AD交于点E;再将三角 形EDC沿B,C折叠，使点D落在点D1处， 则∠2= () 16.(赣州期末)如图所示，在△ABC中，AB:BC: A.10° B.15° C.17 D.20° CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开 D公园) 始沿AB边向点B以每秒1cm的速度运动； (学校)A 点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒 :D 2cm的速度运动，两点同时出发. D. B (小明家，（地铁口） (1)求证：△ABC是直角三角形； 第12题图 第14题图 (2)当运动了3秒时，求△BPQ的面积. 13.下列命题中，其逆命题成立的是 .(填 序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等. 14.(保定期中)如图，地铁口C和小明家B两地 恰好处在东西方向上，且相距2km,学校A 也在小明家B正北方向的2km处，公园D 与地铁口C的距离CD为4km,公园D到学 校A的距离AD为2√2km,则∠DAB的大 小为 15.(武汉期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，D为BC边上一点，CD=10,过 点D作DE⊥AB于点E,DE=4. ③拓展在线》塔倪拔尖提升然 (1)求AC的长； (2)求四边形ACDE的面积. 17.(朔州阶段练习)如图，在△ABC中，BC= 2/10,中线AD=1,AC=3,则AB的长为 第-章1813.(1)30°30 .BC=5 cm,..AB=BC+3=8 cm; (2)证明：由(1)得∠B=∠C (2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3cm时， :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90 则BC-AB=3cm. D是BC边的中点，BD=CD '.'BC=5 cm,.'AB=BC-3=2 cm. ∴，△BDE≌△CDF(AAS). 但是当AB=2cm时，三边长分别为2cm,2cm,5cm,而 (3)△DEF是等边三角形.证明如下： 2十2<5，不合题意，舍去 由(2)得△BDE≌△CDF,∠BED=∠CFD=90°， 故腰长为8cm. .DE=DF 7.8 由(1)得∠B=∠C=30°， 阶段测评1(1.1~1.2) ∴∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°. 1.C2.B3.D4.C5.D6.C ∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-60°-60°=60° 7.在△ABC中，AC=BC .△DEF是等边三角形. 8.59.5.510.511.6 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形， 12.:∠EFA十∠EAF+∠E=180°，∠EAF=100°，∠EFA ∴.AC=BC,∠A=∠BCF=60° =20°， ,AE=CF,.△ACE≌△CBF(SAS). ∴∠E=180°-∠EFA-∠EAF=60°， ∴∠ACE=∠CBF. :EF∥DC,∴.∠ECD=∠E=60°. (2)由(1)知，∠ACE=∠CBF, :∠BCD=130°，.∠ACB=∠BCD-∠ECD=70°. ∴·∠BPE=∠CBF+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB ,∠EAF=∠B+∠ACB, =60°. .∠B=∠EAF-∠ACB=30° EG⊥BF,即∠PGE=90°，.∠GEP=30°. 13.(1)设此多边形的边数为n,则 ∴.在Rt△PGE中，PE=2PG. (n一2)·180°=2340°，解得n=15, .PG=1,∴.PE=2. 故此多边形的边数为15. 拓展在线 (2)设多边形的一个内角为3x°，则一个外角为2x, 15.C .3x十2x=180,解得x=36. 微专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 2x=2×36=72,360°÷72°=5 1.C2.D3.6 故这个多边形的边数为5. 4.设△ABC为等腰三角形，AB=AC,分两种情况讨论： 14.(1).AB∥CD,.∠BAC=∠ACD ①若∠A<90°，如答图①所示. .CA平分∠BCD,.∠BCA=∠ACD. .BD⊥AC,.∠A+∠ABD=90° .∠BAC=∠BCA..AB=BC. ∠ABD=36°，∠A=90°-36°=54°. (2):∠CAB=30°，∠BAC=∠ACD=∠ACB=30° :AB=AC,∠ABC=∠C=2×(180-54)=63, AM⊥CD于点M, ②若∠A>90°，如答图②所示. ∴∠MAC+∠MCA=90,AM=2AC 同①可得∠DAB=90°-36°=54°， ∴∠MAC=60°. :AB=AC,∠ABC=∠C=号X54°=27 :AB=BC,BNLAC,.∴AN=号AC.AN=AM 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为63°或27°. ∴.△AMN是等边三角形. D 15.(1)∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠EAC=∠DAB, 3答图① 答图② :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 5.当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB,交BC于点D,如 ..AB=AC,AD=AE. 答图①所示， 在△ACE和△ABD中， .AB=AD,AH⊥BC,∠ABH=70°， (AC=AB, ∴.∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH ∠EAC=∠DAB, .AB+BH=CH,CD+DH=CH, LAE-AD, ∴AB=CD=AD.∴∠C=∠CAD=号∠ADB=35, ∴.△ACE≌△ABD(SAS). (2)过点D作DF⊥AB,垂足为F,如图 .∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75° 所示. 当∠ABC为钝角时，如答图②所示. ∠CAE=∠BAD=30°，DF⊥AB, .'AB+BH=CH,BC+BH-CH,..AB-BC. ∴.AD=2DF. 又：∠ABH=70,∠BAC=∠ACB=合∠ABH=35 ,△ABC是等腰直角三角形， .∠C=∠ABC=45°. 综上所述，∠BAC的度数为75°或35° 由(1)知，△ACE≌△ABD, .∠DBA=∠C=45° ∴△BFD为等腰直角三角形，BF=FD. .由勾股定理可得BD=BF2十DF=2DF2 H D AD-2DF,..AD=4DF-2BD 答图① 答图② 3直角三角形 6.,BD为AC边上的中线，AD=CD. (1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3cm时， 第1课时直角三角形的性质与判定 则AB-BC=3cm. 基础在线 1.A2.D3.(4,3) 18 一探究在线·八 4.BE平分∠ABC交AC边于点E, ..AE-AC. ∴∠ABE=2 ∠ABC=25.∴∠ABC=50°. AB=AE+EB,∴.AB=AC+EB .AC=AF+CF,..AB=AF+CF+EB=AF+2BE. ∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-60°=70°， 拓展在线 AD⊥BC,∠ADC=90° 16.B ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°. 4 线段的垂直平分线 ∠DAC的度数为20° 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 5.B6.√67.128.C 基础在线 9.三个角都相等的三角形是等边三角形真 1.B2.C3.C4.D 能力在线 5.DE是AB的垂直平分线，.DA=DB=10. 10.A11.D12.B13.①14.135° .∠DAB=∠B=15°..∠ADC=∠DAB+∠B=30. 15.(1),∠C=90°，∠A=60°， ∠B=90°-∠A=30°..AB=2AC. 又：∠C=90,AC=AD=号×10=5. .DE⊥AB,∴.BD=2DE=2×4=8 6.A7.C .BC=CD+BD=10+8=18. 8..'AB=AD, .AC+BC=AB2,..AC+182=(2AC)2. ∴.∠ABD=∠ADB,且点A在线段BD的垂直平分线上. 解得AC=6√3（负值舍去）： .'∠ABC=∠ADC, (2)BD=8,DE=4,DE⊥AB .∴·∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB. ∴.BE=√BD-DE=4√5. 即∠CBD=∠CDB, .四边形ACDE的面积=SAABC一SADE= 1×63×18 ∴.CB=CD ∴点C在线段BD的垂直平分线上 -×4×45-465. ∴.直线AC是对角线BD的垂直平分线 能力在线 16.(1)证明：.AB:BC:CA=3:4:5, 9.C10.A11.4 ,'.设AB=3x,则BC=4x,CA=5x. 12.(1)证明：如图，连接AE, AB+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5x)2=25x2 AD⊥BC,D为BE的中点， ∴.AB2十BC=CA2,.△ABC是直角三角形. .AD垂直平分BE (2)由(1)可知∠B=90°.根据题意，得 ..AB-AE. 3x十4x+5x=36,解得x=3. :EF垂直平分AC ..AB=9 cm,BC=12 cm. ∴.AE=CE..AB=CE 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm). (2)AE=CE,.∠CAE=∠C=32°.∠AEB=64° △BPQ的面积为2×6X6=18(cm). ,AB=AE,∴.∠B=∠AEB=64° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=84 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC 17.√13 点A在线段BC的垂直平分线上 第2课时直角三角形全等的判定 OB=OC,.点O在线段BC的垂直平分线上 基础在线 AE垂直平分BC. 1.C2.C3.B (2)由(1)知，AB=AC,∠BAC=60, 4.AC=BD(或BC=AD) .△ABC是等边三角形. 5.:AB=AC,AD平分∠BAC, .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°. ·ADLBC,BD=CD=号BC.∴∠ADB=90 由(1)知，AE垂直平分BC, CD=CE.BD=CE.EC⊥BC,∠BCE=90°. E为BC的中点.EC-2BC 又.'AB=BE,.Rt△ABD≌Rt△BEC(HL). 6.D 7.AAS :BDLAC,CD=号AC.EC=CD 8.DM⊥AB,.∠EDM=90°. ∴△CDE是等边三角形 ∠C=90°，∴.∠EDM=∠C=90°. 拓展在线 .ME∥BC,∴.∠DEM=∠B. 14.n-m 在△MED和△ABC中， 第2课时 三角形三边的垂直平分线 ∠EDM=∠C=90°， 基础在线 ∠DEM=∠B, 1.B2.C3.A MD-AC, 4.如图，直线AD即为所求作. ∴.△MED≌△ABC(AAS)..ME=AB 5.B6.C 能力在线 7.:P为△ABC三边垂直平分线的交点， 9.A10.B11.A12.A13.3cm14.3 ..PA=PC=PB. 15.(1),AD是∠BAC的平分线，∠DAC=∠DAE. .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB= .DE⊥AB,∴.∠C=∠AED=90° ∠PBA. 又，'AD=AD,.△ADC≌△ADE(AAS) ..CD=ED. ∴∠PAB=号×(180°-2X20°-2X30)=40 又.DF=BD,∠C=∠DEB=90°， 8.D Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴.CF=EB. 能力在线 (2)由(1)知，△ADC≌△ADE,CF=EB, 9.B10.B11.8° F级数学（下）·BS