1.2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法&微专题1“三线合一”巧解题-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第2课时等腰三 ①基础在线 、知识要点分类练 。,。 知识点1 等腰三角形的判定 1.下列三角形中，等腰三角形的个数是 5 909 35> 1009 4 45° 540° 0 @ ③ ④ A.1 B.2 C.3 D.4 2.（西安期中)在△ABC中，∠B=∠C,AB=2, 则AC的长度为 B 3.把一张长方形纸片如图折叠， E 则△ACE的形状是 B 4.(西安期中)如图，△ADB2△ADC,E是边 AC上一点，连接DE.若AB∥DE,求证： △ADE是等腰三角形. 5.(陕西期中)如图，△ABC为等边三角形，点 A,C在x轴上，点B在y轴上.过点B作BD ⊥AB,交x轴于点D,证明：△BCD是等腰三 角形. y 9探究在线八年级数学（下）·BS 角形的判定与反证法 知识点2反证法 6.(贵阳阶段练习)用反证法证明命题“一个三角 形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这 个三角形中 ( ) A.至多有两个角小于60度 B.三个内角都小于60度 C.至少有一个角是小于60度 D.三个内角都大于60度 7.小明在解答“已知△ABC中，AB=AC,求证 ∠B<90°”这道题时，写出了下面用反证法证 明这个命题过程中的四个推理步骤： (1)所以∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形 内角和定理相矛盾； (2)所以∠B<90°； (3)假设∠B≥90°； (4)那么，由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即 ∠B+∠C≥180°. 请你写出这四个步骤正确的顺序： 易错点未考虑三角形的三边关系而致错 8.(南通阶段练习)下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是 () A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:2:4 C.∠B=50°，∠C=80°D.∠A:∠B:∠C=112 ②能力在线》方法规律综合集 9.(运城期中)用反证法证明命题：“如果a∥b, a∥c,那么b∥c”.如图，若假设b与c相交于 点P,则需要推出的矛盾为 () A.两点确定一条直线 B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行 D.同位角相等，两直线平行 第9题图 第10题图 10.(教材P17随堂练习T1变式)如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB,∠ABC与∠ACB的平 分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB 于点E,交AC于点F,那么图中等腰三角形 的个数为 () A.3 B.5 C.6 D.7 11.下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条 直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能 够得到两个等腰三角形纸片的是 () A 23° 111°23° D. 88 2307 人52 23°7 12.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°， AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交 AD于点F,则图中共有等腰三角形个. 13.(中考·长沙)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作 弧，交CA于点M,交CB于点N,再分别以 点M,N为圆心，大于MN的长度为半径作 弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数； (2)若BC=2.5,求AD的长. M 14.如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°，D是 AB边上一点，且CD=CB,过点B作BF⊥ CD于点E,与AC交于点F. (1)求证：∠ABF=2∠BCD, (2)判断△BCF的形状，并说明理由. 3拓展在线 》培优拔尖提升练 … 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=20°.若某个三角形与△ABC 能拼成一个等腰三角形（无重叠）， 则拼成的等腰三角形有 () B A.4种B.5种 C.6种 D.7种 第-章10 微专题1 类型①直接利用“三线合一"解决问题 1.(西安期中)如图，在△ABC中，AB=AC=10, BC=12,且AD⊥BC,BE⊥AC,求BE的长. 2.(上海金山期末)已知：如图，在△PAC中，点 D,B分别在边PA,PC上，AB与CD相交于 点O,∠ADC=∠ABC,AD=BC. (1)求证：PA=PC; (2)连接PO并延长交AC于点E,求证：PE⊥ AC. 11探究在线八年级数学（下）·BS 线合一”巧解题 类型②利用“三线合一"作辅助线解决问题 方法1遇等腰三角形常作底边上的高 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为 边作△ACD,使得AD=AC,E为边BC上一 点，连接AE,DE,且∠BAE=号∠CAD.若 CD∥AB,求证：AE⊥AD 方法2遇等腰三角形的底边中点时，常作底边 上的中线 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，∠EAB=∠FAC,且AE=AF,求证： ∠EDB=∠FDC.温警提示：清做完后再看答案！ 又：∠4=∠1+∠2，.∠3+∠4=90°. 又.PG⊥BC,∴.∠3+∠5=90°.∴.∠4=∠5. 即∠BPD=∠CPG. 参考答案 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图①，连接DB,并延长至点E, 第一章三角形的证明及其应用 :∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, 1三角形内角和定理 ,'∠ABC=∠ABE+∠CBE, 第1课时三角形内角和定理和全等三角形 .∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C 基础在线 ∴.∠ABC-=∠A+∠ADC+∠C. 1.两直线平行，内错角相等∠5平角定义等量代换 (2)【类比探究】如图②，连接CF, 2.B3.D4.B 由(1)可知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E十 5.∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AB=DE) ∠EFC+∠DCF, 6.在△AOC和△BOD中， ∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， ∠C=∠D, ∴.150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+ ∠AOC=∠BOD, ∠DCF AC=BD, ∴.150°=90°+∠AFC+∠EFC.∴.∠AFE=60° .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 【拓展延伸】100 能力在线 7.C8.B9.A10.26°11.20°或60° 12.∠BCE=∠2， .∠BCE+∠ECA=∠2+∠ECA, 图① 图② 即∠BCA=∠ECD. 在△ABC和△DEC中， 第3课时 多边形的内角和 BC=EC. 基础在线 ∠BCA=∠ECD, 1.C2.2053.B4.B5.36 LAC=DC, 能力在线 6.B7.458.79.2 .∴.△ABC≌△DEC(SAS).∴.∠A=∠D. ∠3=∠4， 拓展在线 .∠1=∠2. 10.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） 13.(1)证明：，BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F. .∠BDC=∠EFC=90° .BD∥EF..∠3=∠2 :∠1=∠2，∠1=∠3.∴AD∥BC 图① 图② (2),∠1=∠2=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， (4)11或12或13 又.∠2+∠BEF=180°， 第4课时 多边形的外角和 ∴.3x-20+5x+40=180. 基础在线 解得x=20. 1.C2.B3.B4.10 .∴.∠2=(3X20-20)°=40°. 能力在线 又EF⊥CD,.∠CFE=90° 5.A6.D7.D8.45°9.120 .∠BCD=180°-∠CFE-∠2=50°. 拓展在线 拓展在线 10.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 14.36 ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360. ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 基础在线 1.D2.D3.C4.40 :∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. 5..∠A=60°，∠ACD=25 .∠1+∠2=∠3+∠4. ∴.∠BDC=∠A+∠ACD=85° ∠ABE=35°， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两 .∠BOC=∠BDC+∠ABE=120° 个内角的和. (3)609 6.∠1<∠2<∠3 能力在线 2等腰三角形 7.B8.D9.A10.40 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质 11.(1)如图所示. 基础在线 (2)①∠EAD=∠CAD ②∠AED 1.100°2.B3.A4.C5.C6.55 ③∠B④大 7.'AB=AC,AD=AE,.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 12.∠BPD=∠CPG.理由如下： :D为BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. .'AD,BE,CF分别是∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ADE+∠CDE=90°. :∠2=Z∠BAC,∠1=∠ABC,∠3=∠ACB :∠CAD=80,∴∠ADB=号(180°-∠CAD)=75 ∴∠1+∠2+∠3=Z(∠AC+∠BAC+∠ACB)=90 ∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 8.A9.D10.D 一探究在线·八年 11..△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60° ∴.∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB和△DCA中， :AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, .△EAB≌△DCA(SAS)..AD=BE 能力在线 12.C13.C14.28° 15.(1)证明：：△ABC为等边三角形，BC=AC BD=AC,∴.BD=BC ,BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC. BE=BE,∴.△DBE≌△CBE(SAS) (2):△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB=60°. ,CE=CE,EA=EB,∴△CAE≌△CBE(SSS). .∠ACE=∠BCE. ,∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°， .∠ACE=∠BCE=30°. 由(1)知，△DBE≌△CBE, .∠BDE=∠BCE=30°. 拓展在线 16.B 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础在线 1.C2.23.等腰三角形 4.△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD. .AB∥DE,.∠BAD=∠EDA..∠EDA=∠CAD AE=DE.∴.△ADE是等腰三角形 5.:等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上， .OB⊥AC,∠BAC=∠CBA=60° BD⊥AB,.∠ABD=90° ∴∠BDA=90°-∠BAC=90°-60°=30°，∠C ∠ABD-∠CBA=90°-60°=30. ∴∠BDA=∠CBD.∴BC=DC ∴△BCD是等腰三角形. 6.B7.(3)(4)(1)(2)8.B 能力在线 9.C10.B11.D12.3 13.(1)AB=AC,∠B=72°，.∠ACB=∠B=72° 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ·∠BCD=∠ACD=?∠ACB=36. (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC -∠B-∠BCD=72°， ..∠BDC=∠B..CD=BC. 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=36°. ∴.∠A=∠ACD.∴.AD=CD..AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 14.(1)证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴.∠DCG+∠CDG=90. BC=DC, ÷LBCG=∠DcG=名∠BCD D ,BF⊥CD, ∴.∠ABF+∠CDG=90° ∠ABF=∠DCG=Z∠BCD, (2)△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45. ",'∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A十∠ABF ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. I∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴∠BCF=∠BFC, ∴.BF=BC.∴△BCF是等腰三角形 级数学（下）·BS一 拓展在线 15.D 微专题1“三线合一”巧解题 1..AB=AC,ADLBC,BC=12, BD=2BC=号×12=6. 在Rt△ABD中，AB=10, .AD=√AB-BD=√10-6=8. :SAC=2BC·AD=2AC·BE :BE=BC,AD=12X8=9.6. AC 10 2.(1):∠AOD=∠COB,∠ADC=∠ABC,AD=BC, .△AOD≌△COB(AAS). .∠DAO=∠BCO,OA=OC .∠OAC=∠OCA. ∴.∠DAO+∠OAC=∠BCO+∠OCA, 即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC. (2).PA=PC,AO=CO,PO=PO, .△APO≌△CPO(SSS). .∠APO=∠CPO,即PE平分∠APC ∴.PE⊥AC. 3.如图，过点A作AM⊥CD交CD于点M :AD=AC,.∠DAM=∠CAD. 1 ∠BAE=Z∠CAD, .∠DAM=∠BAE. CD∥AB,AM⊥CD,.∠BAM=90. .∠BAE+∠MAE=∠DAM+∠MAE=∠DAE=90°， 即AE⊥AD. BD= 4.连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∠ADB=∠ADC=90° ,'∠EAB=∠FAC ∴.∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD. 即∠DAE=∠DAF 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠DAE=∠DAF LAD-AD. 180° .△AED≌△AFD(SAS)..∠ADE=∠ADF. ∴.∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF 即∠EDB=∠FDC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 基础在线 1.C2.C3.2 4.AD=AE,∠E=30°，∴.∠ADE=∠E=30° .∠BAC=∠E+∠ADE=60° G DF⊥BC,.∠EFC=90°..∠C=90°-∠E=60 ∴.∠B=180°-∠C-/BAC=180°-60°-60°=60° .∠BAC=∠B=∠C..△ABC为等边三角形 5.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60° ,BD⊥AC,AE⊥BC, :CE-BC,CD-AC.:.CE-CD. :∠C=60°，.△CDE是等边三角形. 6.D7.C8.D 能力在线 9.B10.B11.A12.43-4 17