21.3.2 第2课时 菱形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时 基础在线》 目知识要点分类练… 知识点1有一组邻边相等的平行四边形是 菱形 1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于 点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定 四边形ABCD为菱形的是 () A.AD=CD B.AB=AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA B 第1题图 第3题图 2.(教材P72素材改编)如图，在□ABCD中，点 E在AD上，且AE=AB,过点E作EF∥CD 交BC于点F,求证：四边形ABFE是菱形. 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD 于点O.请添加一个条件： ,使四边形ABCD为菱形. 4.(中考·长春)如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3.求 证：口ABCD是菱形. 菱形的判定 知识点3四条边相等的四边形是菱形 5.如图，在∠A的基础上用尺规作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分 别交于点B,D;②分别以点B,D为圆心，AD 长为半径作弧，两弧相交于点C;③分别连接 DC,BC.可以直接判定四边形ABCD是菱形 的依据是 () B A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,E,F分别是边 BC,AD的中点，连接AE,CF,EF.求证：AC ⊥EF. D 第二十-章56 ②能力在线》 方法规律综合练 7.在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为 100cm的菱形画框.完成后，他们决定通过测 量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其 中不能判定画框为菱形的测量方式是() 60cm 100cm106 80cm B.74° 106° 100cm 100cm 100cm 100cm106100cm C. D.749 100cm 100cm 1069 8.(中考·德阳)如图，点E,F,G,H分别是四边 形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如果 BD=AC,四边形EFGH的面积为24，且HF =6,则GH= ( A.4 B.5 C.8 D.10 9.老师布置了一项作业：利用所学知识在一张平 行四边形纸片ABCD上做出一个菱形. ①嘉嘉的方案： ②淇淇的方案： 1.连接BD; 1.沿过点B的直线折叠 2.作BD的垂直平分线， 平行四边形纸片，使点A 分别交AD,BC于点E,F; 与BC边上的，点E重合， 3.连接BE,DF; 交边AD于点F; 4.四边形BFDE即为 2.连接EF; 所作的菱形 3.四边形ABEF即为所 作的菱形。 A 【解答问题】 (1)方案设计正确的是 (填写序号)； (2)请选择一种正确的方案进行证明， 57探究在线八年级数学（下） 3 拓展在线》培优拨尖提升练 10.(中考·青岛)如图，在□ABCD中，E为AB 的中点，F为ED延长线上一点，连接AF, BF,过点B作BG∥AF交FE的延长线于点 G,连接AG. (1)求证：△AEF≌△BEG; (2)已知 (从以下两个条件中选择一 个作为已知，填写序号)，请判断四边形 AGBF的形状，并证明你的结论 条件O:EF=CD, 条件②：EF⊥CD.∴.△AEO≌△BDO(AAS)..AE=BD. 能力在线 AE∥BD,∴.四边形AEBD是平行四边形. 9.C10.D11.112.513.30 (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 14.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， 证明如下： .AD∥BC,AD=BC ,AB=AC,点D是BC边上的中点， .'CF=BE,..BC=EF...AD=EF. .AD⊥BC,即∠ADB=90°. ,AD∥EF,四边形AEFD是平行四边形 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， AE⊥BC,∴.∠AEF=90°. .四边形AEBD是矩形. .平行四边形AEFD是矩形， 拓展在线 (2),四边形ABCD是菱形， 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC. 0C=号AC=合X12=6,ACLBD,BD=20B. ∴.∠FAG=∠ECH. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB=√/102-62=8， E,F分别是边BC和AD的中点， ∴.BD=2OB=2×8=16. CE=号BC,AF=ZAD.∴AF=CE Sem-号AC·BD-=号X12X16=96. 1 AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS), (3)S变形ABcD=AE·BC, (2)当AC=2AB时，四边形EHFG 是矩形. :AE=S装形AacD=96 BC 0=9.6. 证明：连接EF交AC于点O,如图 由(1)知，四边形AEFD是矩形， 由(1)知，△AFG≌△CEH, .DF=AE=9.6. ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 拓展在线 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 15.2√3 ∴.四边形EHFG是平行四边形..OG=OH. 第2课时菱形的判定 AG-CH-AC, 基础在线 1.C :.GH-AC-AG-CH-zAC. 2.四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD :OG=OH=AG=CH=子AC EF∥CD,∴.AB∥EF. .0A-OC-AC. 点E在AD上，点F在BC上， .AE∥BF. CE-BE,OE-AB. ∴.四边形ABFE是平行四边形 又·AE=AB,.平行四边形ABFE是菱形. :AC=2AB,OE=子AC 3.AD=BC(答案不唯一) 4.AB=5,OA=4,OB=3, ..OE=OG=OF=OH...EF=GH. .0B2+0A2=32+4=25,AB2=52=25. .平行四边形EHFG是矩形. ∴.OB2+OA2=AB2. 21.3.2菱形 .∠AOB=90°. 第1课时菱形的性质 ∴.AC⊥BD. 基础在线 四边形ABCD是平行四边形， 1.A2.A3.C4.C5.B ∴.四边形ABCD是菱形. 6.四边形ABCD是菱形，∴AB=BC 5.A .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6.四边形ABCD是平行四边形， 在△ABF和△CBE中， ∴.AD=BC,AB∥CD BF=BE, AB⊥AC,∴.∠BAC=∠ACD=90°. ∠B=∠B, ,E,F分别是边BC,AD的中点， BA=BC, ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. ∴AE=号BC=EBC,CF=2AD=AR 7.15 .AD=BC,..AE=EC=CF=AF. 8.:四边形ABCD是菱形，BD=4, ∴.四边形AECF是菱形. ∴OA=OC=合AC,0B=OD=合BD=2,ACLBD, ..ACLEF. ,在Rt△OCD中，∠OCD=30°， 能力在线 7.B8.B ,.CD=2OD=4. 9.(1)①② ∴.OC=√CD2-OD=√42-22=2√3. (2)选择方案①.证明如下： ∴.AC=2OC=4√5. 设EF,BD交于点O, ∴S装w-号AC·BD=号×45X4=8V5. ,四边形ABCD是平行四边形， 22 一探究在线· .AD∥BC :∠A=∠B=∠BFE=90°， ∴.∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB. 四边形ABFE是矩形 ,EF垂直平分BD,∴BE=DE,OB=OD .AE-AB. ∴.△OED≌△OFB(AAS).'.DE=BF ∴四边形ABFE是正方形， 又，DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形 能力在线 ,BE=DE,∴.四边形BEDF是菱形。 5.A6.正方形 选择方案②.证明如下： 拓展在线 由折叠的性质可得AB=BE,AF=EF,∠ABF-∠EBF, 7.(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. .∠ABC+∠DAB=180. ∴∠AFB=∠EBF.∴.∠AFB=∠ABF. ..AB=AF...AB=AF=EF=BE. :∠EAB=∠DAB,∠EBA=2∠ABC, .四边形ABEF是菱形. 拓展在线 ∠EAB+∠EBA=2(∠DAB+∠ABC)=90 10.(1)证明：BG∥AF, ∴.∠AEB=90°. ∴.∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE 同理可得∠AFD=∠BHC=∠CGD=90°， :E为AB的中点，.EA=EB. ∠AEB=90°，.∠HEF=90°. .△AEF≌△BEG(AAS). 四边形EFGH为矩形. (2)选择条件①，四边形AGBF为矩形.证明如下： (2)①正方形②8-2√3 ,'△AEF≌△BEG,∴.EF=EG 微专题5特殊平行四边形的性质与判定 :EA=EB,四边形AGBF为平行四边形， 1.[探究发现]四边形DEGF是菱形. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD. [探究证明]证明：'将△BMN沿MN翻折得到 EF=CDEF=合AB △HMN,∴.BN=HN,BM=HM. BN=BM,.HN=BN=BM=HM. :EF=EC,∴EF=2FG ∴.四边形BMHN是菱形.NH∥BC AB=FG..四边形AGBF为矩形 :E为边AD的中点，M为边BC的中点， 选择条件②，四边形AGBF为菱形.证明如下： .DE-ZAD,BM-7 BC. ,△AEF≌△BEG,.EF=EG ,四边形ABCD是平行四边形 ,EA=EB,∴四边形AGBF为平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD. .AD=BC,AD∥BC..DE=BM,AD∥NH. ,四边形DEGF是菱形，.DE=FG,FG∥AD. ,EF⊥CD,∴.EF⊥AB..四边形AGBF为菱形. ∴.FG=DE=BM=HN,FG∥NH. 21.3.3正方形 ∴.四边形GFHN是平行四边形. 第1课时正方形的性质 基础在线 [探究提升]四边形GFHN能成为轴对称图形，且四 1.D2.C3.200√2 边形GFHN为轴对称图形（矩形或芝形）时，铝的 4.四边形ABCD是正方形， ..AB=BC,∠ABE=∠C=90°」 值为号或号。 又，BE=CF,.△ABE≌△BCF 2.(1)四边形CODP是菱形.理由如下： .∠BAE=∠CBF. ,四边形ABCD是矩形， 又∠BAE+∠AEB=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°. .∠BGE=90°..AG⊥BF AC-BD.OA-OC-AC,OB-OD-BD. 能力在线 ..OC=OD 音6.(-3) DP∥OC,DP=OC ∴四边形CODP是平行四边形 7.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， OC=OD,∴.平行四边形CODP是菱形. .AD=BC,∠ADE=∠CBF=45. (2)四边形CODP是矩形.理由如下： ,DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS). ,四边形ABCD是菱形，AC⊥BD. (2)6 .∠DOC=90°. 拓展在线 .DP∥OC,DP=OC, 8.10 ∴四边形CODP是平行四边形， 第2课时正方形的判定 .∠DOC=90°，.平行四边形CODP是矩形. 基础在线 (3)四边形CODP是正方形.理由如下： 1.D2.C3.AC=BD(答案不唯一) :四边形ABCD是正方形， 4.,四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠C=90° ∴.AC⊥BD,AC=BD,OA=OC= 2AC,OB=OD= ,E是AD边上的一点，EF∥CD交BC于点F, .∠BFE=∠C=90°. 2BD. 年级数学（下）一