21.3.1 第2课时 矩形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时 基础在线> 知识要点分类练。 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.如图，在四边形ABCD D 中，AD∥BC,且AD= BC,若再补充一个条件， B 如∠A= °时，就能推出四边形ABCD 是矩形. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上 的中线，四边形ADBE是平行四边形.求证： 四边形ADBE是矩形， 知识点2有三个角是直角的四边形是矩形 3.如图，在四边形ABCD中，∠C D =∠D=90°，若再添加一个条 件，就能推出四边形ABCD是 矩形，条件是 (写出一 种情况即可). 4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，AN是△ABC的外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为E. 求证：四边形ADCE为矩形 矩形的判定 知识点3对角线相等的平行四边形是矩形 5.(中考·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() A.AB∥CD B.AB-BC C.∠B=∠D D.AC=BD 6.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,其中AD∥BC,AB∥CD,AC=2OB. 求证：四边形ABCD是矩形 易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错 7.下列命题正确的是 ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 21 能力在线沙方法规律综合集…。 8.(宜昌期末)如图，□ABCD的对角线AC,BD 交于点O,下列条件中，不能判定口ABCD是 矩形的条件是 () A.AB⊥BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.△ABO是等边三角形 第二十-章52 9.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 ( 2.5 2.5 2.5 2.5 B A D A 909 900 40°40° D 909 40°40入 B 10.(广州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE, 过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于点F. (1)求证：四边形BCDF是矩形； (2)连接CE,若∠A=30°，CE=2,求四边形 BCDF的面积. 11.(一题多解)（中考·青海）如图，在△ABC 中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A 作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接 AD,BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； 53探究在线八年级数学（下） (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形 状，并证明， ③拓展在线》培优拔尖提升练。 12.如图，在□ABCD中，E,F分别是边BC和 AD的中点，G,H在对角线AC上，且AG= CH=AC,连接GF,EH. (1)求证：△AFG≌△CEH; (2)连接GE,FH,当AC与AB满足怎样的 数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明 你的结论.能力在线 ∠ACE,∠ACB=∠ECD,∴.∠BCE=∠ACD. 8.C9.C10.12 又.BC=AC,EC=DC,∴.△BCE≌△ACD. 11.(1)证明：，∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=45°. 1 BF⊥AB,.∠ABF=90°.∴.∠CBF=45. BE=AD.…PF=2AD. :CE平分∠ACB,∴.∠ECB=45. 拓展在线 .∠ECB=∠CBF. 15.C D为BC边的中点，CD=DB. 微专题4平行四边形的证明思路 I∠ECD=∠FBD, 1.,AB∥DE,∠B=∠DEF 在△CDE和△BDF中，{CD=BD, AC∥DF,.∠ACB=∠F ∠CDE=∠BDF, BE=CF,..BE+CE=CF+CE.BC=EF. ,△CDE≌△BDF(ASA). 在△ABC和△DEF中， .DE=DF. ∠B=∠DEF, 四边形CEBF是平行四边形. BC=EF, (2),CE平分∠ACB,AC=BC, ∠ACB=∠F, 易证得△ACE≌△BCE(SAS), .△ABC≌△DEF(ASA)..AB=DE. AE=BE,∴∠EAB=∠EBA ,AB∥DE,∴.四边形ABED是平行四边形. ∠EAB+∠AFB=90°，∠EBA+∠EBF=90°， 2.∠B=∠E=90°， .∠AFB=∠EBF. ∴△ABC和△DEF都是直角三角形 .EF-BE-AE-2AF-2. 在Rt△ABC和R△DEF中，AB=DE, (AC=DF, ,四边形CEBF是平行四边形， '.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ..CF=BE=2. ∴.∠ACB=∠DFE. 拓展在线 点B,C,F,E在一条直线上， 124政号 .180°-∠ACB=180°-∠DFE. ∴∠ACF=∠DFC.∴.AC∥DF. 21.2.3三角形的中位线 又AC=DF,∴.四边形ACDF是平行四边形. 基础在线 3.四边形ABCD是平行四边形， 1.A2.B3.C4.(6,0)5.C6.A7.4√7 ∴.CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD. 8.D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 又△ADE和△BCF都是等边三角形， DE,EF是△ABC的中位线. ∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCI .DE∥AC,EF∥AB. =60° ∴四边形ADEF为平行四边形 ∴.BF=DE,CF=AE ∴.AE与DF互相平分. ,∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB 能力在线 ∠DAE,∠DCF=∠BAE. 9.B10.D11.A12.2 (CD-AB, 13.(1)证明：.BE垂直平分AC,.AE=CE 在△DCF和△BAE中，∠DCF=∠BAE, BF=FC,.EF∥AB,即AB∥DE. CF-AE, 又，BE∥AD,.四边形ABED是平行四边形. .△DCF≌△BAE(SAS)..DF=BE. (2),BE垂直平分AC, 又，BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形 .AE=CE,∠BEC=∠BEA=90. 4.四边形ABCD是平行四边形， BE∥AD, .AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO. .∠BEA=∠EAD=90° O为AC的中点，.OA=OC. ,BF=FC,∠ECF=60°，FC=1, 在△OAE和△OCF中， ∴.∠EBC=30°，BC=2CF=2. (∠EAO=∠FCO, OA=OC, CE-BC=1. ∠AOE=∠COF, ∴.BE=√BC-CE=√22-平=√3，AC=2CE-2. ∴.△OAE≌△OCF(ASA).∴.OE=OF. 同理可证OG=OH. .在平行四边形ABED中，BE=AD=√. .四边形EGFH是平行四边形. .在Rt△ADC中， 阶段测评3(21.1-21.2) CD=√AC+AD=√22+(W3)'=√7 1.B2.D3.C4.A5.C6.A 14.连接BE. 7.不稳定性8.1209.360°10.8cm P,F分别为BD,ED的中点， 11.40°12.20或2213.①③④ PF为△BDE的中位线. 14.(1)设这个多边形的边数是n,由题意，得 PF-BE. (n-2)×180°=2×360°-180°，解得n=5. .这个多边形的边数为5. ,∠BCE=∠ACB+∠ACE,∠ACD=∠ECD+ (2)360°或540°或720 一探究在线 15.连接BD,交AC于点O 8.49.C :四边形BEDF是平行四边形， 能力在线 ∴.OD=OB,OE=OF. 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 又：AE=CF, 15.(1)如图，△BED即为所求作的三 ∴.AE+OE=CF+OF. 角形. 即OA=OC. (2),四边形ABCD为矩形， ∴.四边形ABCD是平行四边形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD// 16.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， BC,∠A=90°.∴∠ADB=∠CBD. .DE为△ABC的中位线. ∠EBD=∠CBD,.∠FBD=∠FDB. DE∥BC,DE=号BC ..BF=DF. 设AF=x,则DF=BF=2-x, :CF=2BC,∴DE=CR 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, (2)由(1)可知，DE∥BC,DE=CF, 解得z=是，AF的长为是 ∴.四边形DCFE为平行四边形..EF=DC. 拓展在线 ,在等边三角形ABC中，D为AB的中点， CDLAB,AD--AB-2,AC-4. 16.130 2 第2课时矩形的判定 .CD=√AC-AD=2√3=EF. 基础在线 .EF的长为23， 1.90 17.(1)AB⊥AC,.∠BAC=90. 2.,AB=AC,AD是BC边上的中线， AB=3,AC=4, .AD⊥BC..∠ADB=90. ∴.BC=√AB2+AC=√32+4=5. 又，四边形ADBE是平行四边形， AGLBC,SM-AB.AC-BCAG, ∴.四边形ADBE是矩形 3.∠A=90°（答案不唯一） AG=AB,AC_3×4_12 4.AB=AC,AD是∠BAC的平分线， BC 55 ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=90°. 0C=0A=2AC=2,0B=0D. AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. :EC∥BD,BE∥AC, ,CE⊥AN,∠AEC-90°.四边形ADCE为矩形 ∴.四边形OBEC是平行四边形. 5.D ∴.CE=OB..CE=OD. 6.AD∥BC,AB∥CD, :EC∥BD,∴.∠FOD=∠FCE,∠FDO=∠FEC .四边形ABCD是平行四边形 ∴.△FOD≌△FCE(ASA)..OF=CF= 20C-1. ∴.OB=OD..BD=2OB. AC=2OB,.AC=BD..□ABCD是矩形. (3)3 7.A 13 能力在线 21.3特殊的平行四边形 8.B9.D 21.3.1矩形 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 第1课时矩形的性质 .DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC. 基础在线 ∴.∠FDC+∠ACB=180°. 1.B2.C3.D ∠ACB=90°，.∠CDF=90. 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， BF⊥DF,∠F=90°. ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. .∠BCD=∠CDF=∠F=90. :∠BAE=∠CDF,.△ABE≌△DCF(ASA). 四边形BCDF是矩形 (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. (2),∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, ∠B=90°，AB=12,∴.BE=√AE-AB=5. .AB=2CE=4. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,.AD∥CE. :∠A=30,∴BC=2AB=2. .DE∥AC, ∴.AC=√AB-BC=2√3. .四边形ACED是平行四边形. (2)DE∥AC,∠E=35°，∴.∠OCB=∠E=35°. ∴CD=2AC=5. 在矩形ABCD中，OB=OC, .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. ∴.∠OBC=∠OCB=35°. 11.(1)证明：点O为AB的中点，.OA=OB. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. ,AE∥BC,.∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. 八年级数学（下）一 21 ∴.△AEO≌△BDO(AAS)..AE=BD. 能力在线 AE∥BD,∴.四边形AEBD是平行四边形. 9.C10.D11.112.513.30 (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 14.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， 证明如下： .AD∥BC,AD=BC ,AB=AC,点D是BC边上的中点， .'CF=BE,..BC=EF...AD=EF. .AD⊥BC,即∠ADB=90°. ,AD∥EF,四边形AEFD是平行四边形 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， AE⊥BC,∴.∠AEF=90°. .四边形AEBD是矩形. .平行四边形AEFD是矩形， 拓展在线 (2),四边形ABCD是菱形， 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC. 0C=号AC=合X12=6,ACLBD,BD=20B. ∴.∠FAG=∠ECH. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB=√/102-62=8， E,F分别是边BC和AD的中点， ∴.BD=2OB=2×8=16. CE=号BC,AF=ZAD.∴AF=CE Sem-号AC·BD-=号X12X16=96. 1 AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS), (3)S变形ABcD=AE·BC, (2)当AC=2AB时，四边形EHFG 是矩形. :AE=S装形AacD=96 BC 0=9.6. 证明：连接EF交AC于点O,如图 由(1)知，四边形AEFD是矩形， 由(1)知，△AFG≌△CEH, .DF=AE=9.6. ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 拓展在线 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 15.2√3 ∴.四边形EHFG是平行四边形..OG=OH. 第2课时菱形的判定 AG-CH-AC, 基础在线 1.C :.GH-AC-AG-CH-zAC. 2.四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD :OG=OH=AG=CH=子AC EF∥CD,∴.AB∥EF. .0A-OC-AC. 点E在AD上，点F在BC上， .AE∥BF. CE-BE,OE-AB. ∴.四边形ABFE是平行四边形 又·AE=AB,.平行四边形ABFE是菱形. :AC=2AB,OE=子AC 3.AD=BC(答案不唯一) 4.AB=5,OA=4,OB=3, ..OE=OG=OF=OH...EF=GH. .0B2+0A2=32+4=25,AB2=52=25. .平行四边形EHFG是矩形. ∴.OB2+OA2=AB2. 21.3.2菱形 .∠AOB=90°. 第1课时菱形的性质 ∴.AC⊥BD. 基础在线 四边形ABCD是平行四边形， 1.A2.A3.C4.C5.B ∴.四边形ABCD是菱形. 6.四边形ABCD是菱形，∴AB=BC 5.A .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6.四边形ABCD是平行四边形， 在△ABF和△CBE中， ∴.AD=BC,AB∥CD BF=BE, AB⊥AC,∴.∠BAC=∠ACD=90°. ∠B=∠B, ,E,F分别是边BC,AD的中点， BA=BC, ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. ∴AE=号BC=EBC,CF=2AD=AR 7.15 .AD=BC,..AE=EC=CF=AF. 8.:四边形ABCD是菱形，BD=4, ∴.四边形AECF是菱形. ∴OA=OC=合AC,0B=OD=合BD=2,ACLBD, ..ACLEF. ,在Rt△OCD中，∠OCD=30°， 能力在线 7.B8.B ,.CD=2OD=4. 9.(1)①② ∴.OC=√CD2-OD=√42-22=2√3. (2)选择方案①.证明如下： ∴.AC=2OC=4√5. 设EF,BD交于点O, ∴S装w-号AC·BD=号×45X4=8V5. ,四边形ABCD是平行四边形， 22 一探究在线· .AD∥BC :∠A=∠B=∠BFE=90°， ∴.∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB. 四边形ABFE是矩形 ,EF垂直平分BD,∴BE=DE,OB=OD .AE-AB. ∴.△OED≌△OFB(AAS).'.DE=BF ∴四边形ABFE是正方形， 又，DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形 能力在线 ,BE=DE,∴.四边形BEDF是菱形。 5.A6.正方形 选择方案②.证明如下： 拓展在线 由折叠的性质可得AB=BE,AF=EF,∠ABF-∠EBF, 7.(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. .∠ABC+∠DAB=180. ∴∠AFB=∠EBF.∴.∠AFB=∠ABF. ..AB=AF...AB=AF=EF=BE. :∠EAB=∠DAB,∠EBA=2∠ABC, .四边形ABEF是菱形. 拓展在线 ∠EAB+∠EBA=2(∠DAB+∠ABC)=90 10.(1)证明：BG∥AF, ∴.∠AEB=90°. ∴.∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE 同理可得∠AFD=∠BHC=∠CGD=90°， :E为AB的中点，.EA=EB. ∠AEB=90°，.∠HEF=90°. .△AEF≌△BEG(AAS). 四边形EFGH为矩形. (2)选择条件①，四边形AGBF为矩形.证明如下： (2)①正方形②8-2√3 ,'△AEF≌△BEG,∴.EF=EG 微专题5特殊平行四边形的性质与判定 :EA=EB,四边形AGBF为平行四边形， 1.[探究发现]四边形DEGF是菱形. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD. [探究证明]证明：'将△BMN沿MN翻折得到 EF=CDEF=合AB △HMN,∴.BN=HN,BM=HM. BN=BM,.HN=BN=BM=HM. :EF=EC,∴EF=2FG ∴.四边形BMHN是菱形.NH∥BC AB=FG..四边形AGBF为矩形 :E为边AD的中点，M为边BC的中点， 选择条件②，四边形AGBF为菱形.证明如下： .DE-ZAD,BM-7 BC. ,△AEF≌△BEG,.EF=EG ,四边形ABCD是平行四边形 ,EA=EB,∴四边形AGBF为平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD. .AD=BC,AD∥BC..DE=BM,AD∥NH. ,四边形DEGF是菱形，.DE=FG,FG∥AD. ,EF⊥CD,∴.EF⊥AB..四边形AGBF为菱形. ∴.FG=DE=BM=HN,FG∥NH. 21.3.3正方形 ∴.四边形GFHN是平行四边形. 第1课时正方形的性质 基础在线 [探究提升]四边形GFHN能成为轴对称图形，且四 1.D2.C3.200√2 边形GFHN为轴对称图形（矩形或芝形）时，铝的 4.四边形ABCD是正方形， ..AB=BC,∠ABE=∠C=90°」 值为号或号。 又，BE=CF,.△ABE≌△BCF 2.(1)四边形CODP是菱形.理由如下： .∠BAE=∠CBF. ,四边形ABCD是矩形， 又∠BAE+∠AEB=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°. .∠BGE=90°..AG⊥BF AC-BD.OA-OC-AC,OB-OD-BD. 能力在线 ..OC=OD 音6.(-3) DP∥OC,DP=OC ∴四边形CODP是平行四边形 7.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， OC=OD,∴.平行四边形CODP是菱形. .AD=BC,∠ADE=∠CBF=45. (2)四边形CODP是矩形.理由如下： ,DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS). ,四边形ABCD是菱形，AC⊥BD. (2)6 .∠DOC=90°. 拓展在线 .DP∥OC,DP=OC, 8.10 ∴四边形CODP是平行四边形， 第2课时正方形的判定 .∠DOC=90°，.平行四边形CODP是矩形. 基础在线 (3)四边形CODP是正方形.理由如下： 1.D2.C3.AC=BD(答案不唯一) :四边形ABCD是正方形， 4.,四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠C=90° ∴.AC⊥BD,AC=BD,OA=OC= 2AC,OB=OD= ,E是AD边上的一点，EF∥CD交BC于点F, .∠BFE=∠C=90°. 2BD. 年级数学（下）一